Riesz 射影によるスペクトル分解

定理 7.2（「ベクトル値解析と関数計算」§7）・ ✓公理まで証明済み

$T$ を $X$ における閉作用素とし、 $\sigma(T)=\sigma_1\cup\sigma_2$ （交わらない）で $\sigma_1$ はコンパクト、 $\sigma_2$ は閉とする。 $U$ を $\sigma_1\subset U$ , $U\cap\sigma_2=\emptyset$ となる開集合、 $\Gamma$ を $U$ の中で $\sigma_1$ を囲むサイクルとし、

P=-\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma R(z)\,dz

と置く。このとき次が成り立つ。

$P$ は $U$ , $\Gamma$ の取り方によらない有界な射影（ $P^2=P$ ）である。
$\mathrm{Ran}\,P\subset D(T)$ 、 $TP\in\mathcal{B}(X)$ 、 $x\in D(T)$ なら $PTx=TPx$ 。したがって $X=\mathrm{Ran}\,P\oplus\mathrm{Ker}\,P$ は $T$ を約し、 $T_1=T|_{\mathrm{Ran}P}$ （有界）と $T_2=T|_{D(T)\cap\mathrm{Ker}P}$ に分かれる。
$\sigma(T_1)=\sigma_1$ 、 $\sigma(T_2)=\sigma_2$ 。とくに $P=0$ と $\sigma_1=\emptyset$ は同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 85 件、定義なども含めて 100 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Riesz–Dunford の関数計算✓定理 6.2・ベクトル値解析と関数計算
- レゾルベント恒等式✓定理 6.4・有界作用素と共役作用素
- 大域的 Cauchy の定理✓定理 5.5・ベクトル値解析と関数計算
  - Bochner 積分の基本性質✓命題 3.6・ベクトル値解析と関数計算（上で展開済み）
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - リーマンの除去可能特異点定理✓命題 6.3・正則関数の強力な性質
    ローラン展開✓定理 6.1・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 連続関数に対するフビニの定理✓系 4.3・重積分と累次積分
    連続関数の可積分性✓定理 3.4・重積分と累次積分この先をたどる →
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - 回転数の性質✓補題 5.4・ベクトル値解析と関数計算
  - リューヴィルの定理✓定理 4.2・正則関数の強力な性質
    コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- レゾルベントの解析性✓命題 6.5・有界作用素と共役作用素
  - ノイマン級数✓定理 6.1・有界作用素と共役作用素
- Bochner 積分の基本性質✓命題 3.6・ベクトル値解析と関数計算
  - 系 3.3✓ベクトル値解析と関数計算
    Pettis の可測性定理✓定理 3.2・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
  - Bochner の定理✓定理 3.5・ベクトル値解析と関数計算
  - 分離定理（コンパクト凸集合と閉凸集合）✓定理 4.3・局所凸空間と弱位相
    コンパクト集合と閉集合のすき間✓補題 4.2・局所凸空間と弱位相
    分離定理（開凸集合）✓定理 4.1・局所凸空間と弱位相この先をたどる →
    最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
閉作用素のレゾルベント✓補題 7.1・ベクトル値解析と関数計算
- ノイマン級数✓定理 6.1・有界作用素と共役作用素
Hille の定理（閉作用素と積分の交換）✓定理 3.7・ベクトル値解析と関数計算
- Bochner 積分の基本性質✓命題 3.6・ベクトル値解析と関数計算（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Riesz–Schauder の定理（証明つき）✓定理 3.1・Fredholm 理論
有限ランクの Riesz 射影と極✓命題 7.3・ベクトル値解析と関数計算
Fermi の黄金律✓定理 4.1・共鳴
正型の点からなるスペクトル集合の局所スペクトル関数✓定理 5.5・局所 definitizability と Krein 空間の摂動論

Riesz 射影によるスペクトル分解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件