数学 › 複素関数論 › 正則関数の強力な性質

ローラン展開

定理 6.1（「正則関数の強力な性質」§6） ・ ✓公理まで証明済み

0≤r1<r2≤∞0 \le r_1 < r_2 \le \infty とし、円環領域

A={z∈C:r1<∣z−a∣<r2}A = \{z \in \mathbb{C} : r_1 < |z-a| < r_2\}

の上で ff が正則であるとする。このとき次の 2 つが成り立つ。

(1) 展開の存在. 任意の ρ∈(r1,r2)\rho \in (r_1,r_2) に対し

cn:=12πi∫C(a,ρ)f(ζ)(ζ−a) n+1 dζ(n∈Z)c_n := \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,\rho)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{\,n+1}}\,d\zeta \qquad (n \in \mathbb{Z})

は ρ\rho の取り方によらず定まり、すべての z∈Az \in A で

f(z)=∑n=−∞∞cn(z−a)n=∑n=0∞cn(z−a)n+∑n=1∞c−n(z−a)−nf(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^{n} + \sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}(z-a)^{-n}

が成り立つ。右辺の 2 つの級数はともに AA のコンパクト部分集合上で一様かつ絶対収束する。

(2) 一意性. AA 上で局所一様収束する級数 ∑n∈Zbn(z−a)n\sum_{n\in\mathbb{Z}}b_n(z-a)^{n} が AA 上で ff に等しいならば、すべての n∈Zn \in \mathbb{Z} で bn=cnb_n = c_n である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 40 件、定義なども含めて 47 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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