数学 › 微分積分学 › 重積分と累次積分

連続関数に対するフビニの定理

系 4.3（「重積分と累次積分」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f$ が $R=[a,b]\times[c,d]$ 上連続ならば、2 つの累次積分はともに存在して等しく、重積分に一致する。すなわち

\int_a^b\!\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx = \int_c^d\!\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy = \iint_R f(x,y)\,dx\,dy .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

連続関数の可積分性✓定理 3.4・重積分と累次積分
- 長方形の分割と分割の幅定義 3.1・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分
  - 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
  - 上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
  - 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理証明で参照している 4 件

ベータ関数とガンマ関数の関係✓定理 6.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
大域的 Cauchy の定理✓定理 5.5・ベクトル値解析と関数計算
因子を 1 つ増やすことは移動平均すること✓定理 4.4・ボールウェイン積分
Peano 核定理✓定理 3.2・数値積分 I

関連するノック 2 問