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Riesz–Schauder の定理（証明つき）

定理 3.1（「Fredholm 理論」§3） ・ ✓公理まで証明済み

XX を複素 Banach 空間、K∈K(X)K\in\mathcal{K}(X)、λ≠0\lambda\ne0 とする。

  1. Ker(K−λ)\mathrm{Ker}(K-\lambda) は有限次元で、Ran(K−λ)\mathrm{Ran}(K-\lambda) は閉である。
  2. ある pp について Ker(K−λ)p=Ker(K−λ)p+1\mathrm{Ker}(K-\lambda)^p=\mathrm{Ker}(K-\lambda)^{p+1} かつ Ran(K−λ)p=Ran(K−λ)p+1\mathrm{Ran}(K-\lambda)^p=\mathrm{Ran}(K-\lambda)^{p+1}。
  3. K−λK-\lambda が単射であることと全射であることは同値である。
  4. σ(K)∖{0}\sigma(K)\setminus\{0\} は固有値だけからなり、高々可算で、集積点は高々 00 である。dim⁡X=∞\dim X=\infty なら 0∈σ(K)0\in\sigma(K)。
  5. λ0∈σ(K)∖{0}\lambda_0\in\sigma(K)\setminus\{0\} の Riesz 射影 PP は有限階数で、Ran P=Ker(K−λ0)k\mathrm{Ran}\,P=\mathrm{Ker}(K-\lambda_0)^k（kk は 命題 7.3［ベクトル値解析と関数計算］ の極の位数）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 94 件、定義なども含めて 109 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件