Fredholm 行列式

定理 7.3（「Fredholm 理論」§7）・ ✓公理まで証明済み

写像 $F\mapsto\det(1+F)$ は、 $\mathcal{S}_1(\mathcal{H})$ 上の $\|\cdot\|_1$ について連続な関数 $A\mapsto\det(1+A)$ に一意に拡張され、補題 7.2 の 2 つの評価は $\mathcal{S}_1$ 全体で成り立つ。さらに $A,B\in\mathcal{S}_1$ について

$\det((1+A)(1+B))=\det(1+A)\det(1+B)$ 。
$\det(1+A)\ne0$ であることと、 $1+A$ が可逆であることは同値である。
$z\mapsto\det(1+zA)$ は整関数で、その零点はちょうど $-1/z\in\sigma(A)\setminus\{0\}$ となる $z$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 135 件、定義なども含めて 152 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限階数での評価✓補題 7.2・Fredholm 理論
- トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
  - 階数 1 の和のトレース✓補題 7.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
  - Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素この先をたどる →
    Schatten クラスの Hölder 不等式✓定理 6.3・作用素不等式と積分作用素この先をたどる →
トレースノルムの変分表示✓補題 7.1・Fredholm 理論
- 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
Riesz–Schauder の定理（証明つき）✓定理 3.1・Fredholm 理論
- Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論
  - Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
- 有限次元・有限余次元の部分空間✓補題 2.3・Fredholm 理論
  - Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理
    Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
  - 逆写像定理（有界逆定理）✓系 6.2・Banach 空間の基本定理
    開写像定理✓定理 6.1・Banach 空間の基本定理この先をたどる →
    命題 2.4✓Banach 空間の基本定理
- Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
- Riesz 射影によるスペクトル分解✓定理 7.2・ベクトル値解析と関数計算
  - Riesz–Dunford の関数計算✓定理 6.2・ベクトル値解析と関数計算
    レゾルベント恒等式✓定理 6.4・有界作用素と共役作用素
    大域的 Cauchy の定理✓定理 5.5・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
    レゾルベントの解析性✓命題 6.5・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
    Bochner 積分の基本性質✓命題 3.6・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
  - 閉作用素のレゾルベント✓補題 7.1・ベクトル値解析と関数計算
    ノイマン級数✓定理 6.1・有界作用素と共役作用素
  - Hille の定理（閉作用素と積分の交換）✓定理 3.7・ベクトル値解析と関数計算
    Bochner 積分の基本性質✓命題 3.6・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
- 有限ランクの Riesz 射影と極✓命題 7.3・ベクトル値解析と関数計算
  - Riesz 射影によるスペクトル分解✓定理 7.2・ベクトル値解析と関数計算（上で展開済み）
モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質

これを使っている定理証明で参照している 5 件

強極限の Fredholm 行列式表示✓命題 5.4・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
det₂ の性質✓命題 7.8・Fredholm 理論
行列式の 1 次の展開✓補題 7.11・Fredholm 理論
Fredholm 行列式の微分公式✓命題 7.12・Fredholm 理論
摂動行列式による表示✓定理 5.4・1 次元散乱と Jost 関数

Fredholm 行列式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件