Fredholm 行列式の微分公式

命題 7.12（「Fredholm 理論」§7）・ ✓公理まで証明済み

$I$ を区間とし、 $t\mapsto K(t)\in\mathcal{S}_1$ が $t\in I$ で $\|\cdot\|_1$ について微分可能（ $\|(K(t+h)-K(t))/h-K'(t)\|_1\to0$ ）で、 $1+K(t)$ が可逆であるとする。このとき $t\mapsto\det(1+K(t))$ は $t$ で微分可能で

\frac{d}{dt}\det(1+K(t))=\det(1+K(t))\,\mathrm{tr}\bigl((1+K(t))^{-1}K'(t)\bigr).

$\det(1+K(t))\ne0$ （定理 7.3 の 2）なので、これは $\frac{d}{dt}\log\det(1+K(t))=\mathrm{tr}((1+K(t))^{-1}K'(t))$ とも書ける。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 137 件、定義なども含めて 154 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

トレースノルムの変分表示✓補題 7.1・Fredholm 理論
- 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
Fredholm 行列式✓定理 7.3・Fredholm 理論
- 有限階数での評価✓補題 7.2・Fredholm 理論
  - トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
    階数 1 の和のトレース✓補題 7.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- トレースノルムの変分表示✓補題 7.1・Fredholm 理論（上で展開済み）
- Riesz–Schauder の定理（証明つき）✓定理 3.1・Fredholm 理論
  - Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論
    Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
  - 有限次元・有限余次元の部分空間✓補題 2.3・Fredholm 理論
    Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理この先をたどる →
    逆写像定理（有界逆定理）✓系 6.2・Banach 空間の基本定理この先をたどる →
  - Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
  - Riesz 射影によるスペクトル分解✓定理 7.2・ベクトル値解析と関数計算
    Riesz–Dunford の関数計算✓定理 6.2・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
    閉作用素のレゾルベント✓補題 7.1・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
    Hille の定理（閉作用素と積分の交換）✓定理 3.7・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
  - 有限ランクの Riesz 射影と極✓命題 7.3・ベクトル値解析と関数計算
    Riesz 射影によるスペクトル分解✓定理 7.2・ベクトル値解析と関数計算（上で展開済み）
- モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
行列式の 1 次の展開✓補題 7.11・Fredholm 理論
- Fredholm 行列式✓定理 7.3・Fredholm 理論（上で展開済み）
- 有限階数での評価✓補題 7.2・Fredholm 理論（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

群の交換子の行列式（Helton–Howe・Pincus）✓定理 5.6・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理

Fredholm 行列式の微分公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件