Fredholm 理論：Riesz–Schauder・指数の安定性・Atkinson・Krein–Rutman・Fredholm 行列式

0. この記事の要点

連立 1 次方程式では、未知数と式の数が同じなら「解が一意に決まる」ことと「どんな右辺でも解ける」ことが同時に成り立ちます。無限個の未知数をもつ方程式ではこの二つがずれることがあり、たとえば数列を 1 つ右にずらす操作は、一意性は保つのにすべての数列を作ることはできません。この記事は、ずれが起きない特別な場合（積分方程式に現れる形）を証明し、ずれの大きさを整数で測る方法を作ります。読み終えると、方程式が解けるための条件の数え方と、その整数が小さな変化で動かない理由が分かります。

• コンパクト作用素 $K$ と $\lambda\ne0$ について、$K-\lambda$ は「単射 ⇔ 全射」で、非零スペクトルは有限重複度の孤立固有値だけです（Riesz–Schauder）。コンパクト作用素の記事で主張だけ述べたこの定理を、Banach 空間で Riesz の補題から証明します。
• 核と余核が有限次元で値域が閉な作用素を Fredholm 作用素、$\mathrm{ind}\,T=\dim\mathrm{Ker}\,T-\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}\,T$ を指数といいます。Fredholm であることは「コンパクト作用素を法として可逆」と同値です（Atkinson）。
• 指数は積について加法的で、コンパクト摂動と小さな摂動で変わりません。とくに $1+K$（$K$ コンパクト）の指数は $0$ で、ここから Banach 空間版の Fredholm の択一定理（$\dim\mathrm{Ker}(K-\lambda)=\dim\mathrm{Ker}(K'-\lambda)$）が出ます。片側シフトは指数 $-1$ なので、可逆作用素のコンパクト摂動にはなりません。
• 錐を保つコンパクト作用素は、スペクトル半径が正なら、それ自身を固有値とし錐の中に固有ベクトルをもちます（Krein–Rutman）。Perron–Frobenius の無限次元版です。
• トレースクラス作用素 $A$ に対し $\det(1+A)$ が連続に定義でき、乗法的で、$\det(1+A)\ne0\iff1+A$ が可逆です。Hilbert–Schmidt 作用素には正則化した $\det_2$ が使えます。散乱理論や Birman–Schwinger の原理で固有値を行列式の零点として数える道具です。

この記事で使う事前知識

• コンパクト作用素: 有界集合を、閉包がコンパクトな集合に写す作用素。→ コンパクト作用素
• Banach 空間: ノルムが定まり、コーシー列がすべて収束する線形空間。→ Banach 空間
• 余次元: 部分空間 $M\subset Y$ に対し、商空間 $Y/M$ の次元のこと。「$M$ にあと何次元足すと全体になるか」を表します。
• 零化空間: 部分空間 $M$ の上で $0$ になる汎関数の全体。→ 零化空間
• 特異値・トレースクラス: コンパクト作用素の大きさを測る非負の数の列が特異値で、その総和が有限の作用素がトレースクラスです。→ 特異値
• 整関数: 複素平面全体で正則な関数。→ 整関数

1. 動機

コンパクト作用素 の章では、積分方程式 $x-Kx=y$ について「斉次方程式が自明解しかもたなければ非斉次方程式はつねに解ける」という Fredholm の択一定理を述べ、証明の筋道だけを示しました。有限次元では次元定理 $\dim\mathrm{Ker}+\dim\mathrm{Ran}=n$ の言い換えにすぎないこの事実が、無限次元でコンパクト摂動についてだけ生き残る理由を、この記事では正面から証明します。

鍵になるのは、核の次元と値域の余次元の差（指数）です。片側シフト $S$ は単射で値域の余次元が $1$ なので指数は $-1$ です。どちらの次元も摂動で変わりうるのに、差は変わりません。この安定性が、楕円型作用素の指数定理や Toeplitz 作用素の指数、量子ホール効果の位相的不変量の出発点です。

後半では、正値性の議論（Krein–Rutman）と行列式（Fredholm 行列式）を扱います。どちらも「有限次元の線形代数の定理を、コンパクト作用素に持ち上げる」という同じ型の主張で、多体量子系の HVZ 定理や Birman–Schwinger の原理、散乱理論の Birman–Krein 公式の準備になります。

2. 準備

$X,Y,Z$ は Banach 空間です。§3–§5 では係数体は $\mathbb{C}$ とし、§6 では実 Banach 空間も扱います。$T\in\mathcal{B}(X,Y)$ の双対作用素を $T'\in\mathcal{B}(Y^*,X^*)$, $T'\psi=\psi\circ T$ と書きます（Hilbert 空間の共役 $T^*$ と区別するため）。部分空間 $M\subset Y$ の零化空間を $M^\perp=\{\psi\in Y^*:\psi|_M=0\}$、$\mathrm{codim}\,M=\dim Y/M$ とします。

補題 2.1（Riesz の補題）✓

$M\subsetneq X$ を閉部分空間、$0<\theta<1$ とする。$\|x\|=1$ かつ $\mathrm{dist}(x,M)\ge\theta$ となる $x\in X$ がある。

証明（補題 2.1）

$x_0\notin M$ を取ると $M$ が閉なので $d=\mathrm{dist}(x_0,M)>0$ です。$m_0\in M$ を $\|x_0-m_0\|\le d/\theta$ となるように選び、$x=(x_0-m_0)/\|x_0-m_0\|$ と置くと、$m\in M$ について

$$\|x-m\|=\frac{\|x_0-(m_0+\|x_0-m_0\|m)\|}{\|x_0-m_0\|}\ge\frac{d}{d/\theta}=\theta .$$∎

系 2.2（Riesz の定理）✓

閉単位球がコンパクトなノルム空間は有限次元である。

証明（系 2.2）

無限次元なら、有限次元部分空間（完備なので閉）の真に増加する列 $M_1\subsetneq M_2\subsetneq\cdots$ が取れます。補題 2.1 で $x_n\in M_n$, $\|x_n\|=1$, $\mathrm{dist}(x_n,M_{n-1})\ge1/2$ を選ぶと、$m<n$ で $\|x_n-x_m\|\ge1/2$ なので収束部分列がありません。

∎

補題 2.3（有限次元・有限余次元の部分空間）✓

1. 有限次元部分空間 $F\subset X$ は閉で、有界な射影 $P$（$P^2=P$, $\mathrm{Ran}\,P=F$）をもつ。
2. $M\subset X$ が閉部分空間で $X=M\oplus N$（代数的直和、$\dim N<\infty$）なら、$M$ に沿った $N$ への射影は有界である。
3. 閉部分空間 $M$ と有限次元部分空間 $F$ の和 $M+F$ は閉である。
4. $M\subset Y$ が閉で $\mathrm{codim}\,M<\infty$ なら $\dim M^\perp=\mathrm{codim}\,M$ であり、$M=\{y:\psi(y)=0\ (\psi\in M^\perp)\}$ である。

証明（補題 2.3）

1: $F$ の基底 $f_1,\ldots,f_n$ の双対基底 $\varphi_i$（$F$ 上の線形汎関数、有限次元なので有界）を Hahn–Banach（定理 3.3［Banach 空間の基本定理］）で $X$ 上に拡張し、$P=\sum_i\varphi_i(\cdot)f_i$ とします。$F=\mathrm{Ran}\,P=\mathrm{Ker}(1-P)$ は閉です。

2: $M\times N$（ノルム $\|m\|+\|n\|$、$N$ は有限次元なので完備）から $X$ への $(m,n)\mapsto m+n$ は有界な全単射なので、逆写像定理（系 6.2［Banach 空間の基本定理］）から逆も有界で、射影 $m+n\mapsto n$ は有界です。

3: $F$ の次元の帰納法により $F=\mathbb{C}v$, $v\notin M$ の場合を示せば十分です。$\delta=\mathrm{dist}(v,M)>0$ で、$\|m+tv\|\ge|t|\delta$ です。$m_k+t_kv\to y$ なら $|t_k-t_l|\delta\le\|(m_k-m_l)+(t_k-t_l)v\|\to0$ なので $t_k\to t$、$m_k\to y-tv\in M$ で $y\in M+\mathbb{C}v$ です。

4: $Y=M\oplus N$（$\dim N=\mathrm{codim}\,M$）と分け、2 の射影を $Q$（$N$ への）とします。$\psi\mapsto\psi|_N$ は $M^\perp$ から $N^*$ への写像で、$M$ と $N$ の両方で $0$ なら $\psi=0$ なので単射、$\eta\in N^*$ に対し $\eta\circ Q\in M^\perp$ なので全射です。後半: $y\notin M$ なら $Qy\ne0$ で、$\eta(Qy)\ne0$ となる $\eta\in N^*$ について $\eta\circ Q\in M^\perp$ は $y$ で $0$ になりません。

∎

補題 2.4（核と値域の零化空間）✓

$T\in\mathcal{B}(X,Y)$ について $\mathrm{Ker}\,T'=(\mathrm{Ran}\,T)^\perp$。とくに $\mathrm{Ran}\,T$ が閉で余次元有限なら $\dim\mathrm{Ker}\,T'=\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}\,T$ で、$\mathrm{Ran}\,T=\{y:\psi(y)=0\ (\psi\in\mathrm{Ker}\,T')\}$ である。

証明（補題 2.4）

$T'\psi=0\iff\psi(Tx)=0\ (\forall x)\iff\psi\in(\mathrm{Ran}\,T)^\perp$。後半は 補題 2.3 の 4 です。

∎

3. Riesz–Schauder 理論

定理 3.1（Riesz–Schauder の定理（証明つき））✓

$X$ を複素 Banach 空間、$K\in\mathcal{K}(X)$、$\lambda\ne0$ とする。

1. $\mathrm{Ker}(K-\lambda)$ は有限次元で、$\mathrm{Ran}(K-\lambda)$ は閉である。
2. ある $p$ について $\mathrm{Ker}(K-\lambda)^p=\mathrm{Ker}(K-\lambda)^{p+1}$ かつ $\mathrm{Ran}(K-\lambda)^p=\mathrm{Ran}(K-\lambda)^{p+1}$。
3. $K-\lambda$ が単射であることと全射であることは同値である。
4. $\sigma(K)\setminus\{0\}$ は固有値だけからなり、高々可算で、集積点は高々 $0$ である。$\dim X=\infty$ なら $0\in\sigma(K)$。
5. $\lambda_0\in\sigma(K)\setminus\{0\}$ の Riesz 射影 $P$ は有限階数で、$\mathrm{Ran}\,P=\mathrm{Ker}(K-\lambda_0)^k$（$k$ は 命題 7.3［ベクトル値解析と関数計算］ の極の位数）。

証明の方針を先に述べます。1 は、核の単位球がコンパクト集合の像に入ってしまうので、Riesz の定理から核が有限次元になる、という議論です。2 と 3 の核心は、核（や値域）が無限に真に大きくなり続けるなら、Riesz の補題で互いに距離 $|\lambda|/2$ 以上離れた単位ベクトルの列が作れ、その像に収束部分列がなくなってコンパクト性に反する、という点です。3 では、2 で列が止まる番号 $p$ を使って「単射なら全射」を出し、逆向きは止まらない核の列を作って矛盾させます。

証明（定理 3.1）

1. $E=\mathrm{Ker}(K-\lambda)$ 上で $x=\lambda^{-1}Kx$ なので、$E$ の閉単位球は $\lambda^{-1}K$ によるコンパクト集合の像に含まれ、系 2.2 から $E$ は有限次元です。補題 2.3 の 1 から $X=E\oplus X_1$（$X_1$ は閉）と分けます。ある $c>0$ で $\|(K-\lambda)x\|\ge c\|x\|$（$x\in X_1$）となることを示します。そうでなければ $x_n\in X_1$, $\|x_n\|=1$, $(K-\lambda)x_n\to0$ となる列があり、部分列で $Kx_n\to y$ とすると $x_n=\lambda^{-1}(Kx_n-(K-\lambda)x_n)\to\lambda^{-1}y=:x$、$\|x\|=1$, $x\in X_1$, $(K-\lambda)x=0$ となって $E\cap X_1=\{0\}$ に反します。よって $(K-\lambda)$ は Banach 空間 $X_1$ 上で下に有界で、$\mathrm{Ran}(K-\lambda)=(K-\lambda)X_1$ は閉です。

2. 二項展開から $(K-\lambda)^n=(-\lambda)^n+K_n$（$K_n$ はコンパクト）なので、1 を $(K-\lambda)^n=K_n-(-(-\lambda)^n)$ に使うと $N_n=\mathrm{Ker}(K-\lambda)^n$ は有限次元、$R_n=\mathrm{Ran}(K-\lambda)^n$ は閉です。$N_1\subsetneq N_2\subsetneq\cdots$ が無限に続くとし、補題 2.1 で $x_n\in N_n$, $\|x_n\|=1$, $\mathrm{dist}(x_n,N_{n-1})\ge1/2$ を取ります。$m<n$ なら

$$Kx_n-Kx_m=\lambda x_n+\bigl[(K-\lambda)x_n-Kx_m\bigr]$$

で、括弧の中は $N_{n-1}$ に属します（$(K-\lambda)x_n\in N_{n-1}$、$Kx_m=\lambda x_m+(K-\lambda)x_m\in N_m$）。よって $\|Kx_n-Kx_m\|\ge|\lambda|/2$ で、$(Kx_n)$ は収束部分列をもたず、$K$ のコンパクト性に反します。$R_1\supsetneq R_2\supsetneq\cdots$ が無限に続く場合も、$x_n\in R_n$, $\mathrm{dist}(x_n,R_{n+1})\ge1/2$ を取り、$m>n$ で括弧の中が $R_{n+1}$ に属することから同じ矛盾が出ます。

3. 単射なら全 $n$ で $(K-\lambda)^n$ は単射です。$y\in X$ について 2 の $p$ を使うと $(K-\lambda)^py\in R_p=R_{p+1}$ なので $(K-\lambda)^py=(K-\lambda)^{p+1}z$、単射性から $y=(K-\lambda)z$。逆に全射で $x_1\ne0$, $(K-\lambda)x_1=0$ なら、全射性から $(K-\lambda)x_{n+1}=x_n$ となる列が取れて、$x_n\in N_n\setminus N_{n-1}$ が全 $n$ で成り立ち、2 に反します。

4. 3 と逆写像定理から、$\lambda\ne0$ が固有値でなければ $\lambda\in\rho(K)$ です。$|\lambda_n|\ge\varepsilon>0$ となる相異なる固有値の無限列 $\lambda_n$ と固有ベクトル $v_n$ があったとすると、$v_n$ は 1 次独立で、$M_n=\mathrm{span}\{v_1,\ldots,v_n\}$ は真に増加し、$(K-\lambda_n)M_n\subset M_{n-1}$ です。2 と同じく $x_n\in M_n$, $\mathrm{dist}(x_n,M_{n-1})\ge1/2$ を取ると $m<n$ で $\|Kx_n-Kx_m\|\ge|\lambda_n|/2\ge\varepsilon/2$ となり矛盾します。よって各 $\{|z|\ge\varepsilon\}$ には有限個の固有値しかありません。$0\in\rho(K)$ なら $1=KK^{-1}$ がコンパクトで、系 2.2 から $\dim X<\infty$ です。

5. 4 から $\lambda_0$ は孤立点です。定理 7.2［ベクトル値解析と関数計算］ から $K$ は閉部分空間 $\mathrm{Ran}\,P$ を保ち、その制限 $K_1$ はコンパクトで $\sigma(K_1)=\{\lambda_0\}\not\ni0$ です。4 の最後の主張を Banach 空間 $\mathrm{Ran}\,P$ に使うと $\dim\mathrm{Ran}\,P<\infty$ で、残りは 命題 7.3［ベクトル値解析と関数計算］ です。

∎

この定理は コンパクト作用素 の 定理 5.1［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ の (1)–(4) を含んでいます。2 の議論が示すように、本質は「コンパクト作用素の像では、互いに離れた単位ベクトルの列が作れない」ことです。

4. Fredholm 作用素と指数

定義 4.1（Fredholm 作用素と指数）↗

$T\in\mathcal{B}(X,Y)$ が Fredholm 作用素であるとは、$\dim\mathrm{Ker}\,T<\infty$、$\mathrm{Ran}\,T$ が閉、$\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}\,T<\infty$ であることをいう。整数

$$\mathrm{ind}\,T=\dim\mathrm{Ker}\,T-\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}\,T$$

を $T$ の指数という。

可逆作用素は指数 $0$ の Fredholm 作用素です。$X,Y$ が有限次元なら、すべての線形写像が Fredholm で、次元定理から $\mathrm{ind}\,T=\dim X-\dim Y$ です。指数は「有限次元なら定義域と値域の次元の差」という量を、無限次元で意味のある形に直したものです。

定理 4.2（Atkinson の定理）✓

$T\in\mathcal{B}(X,Y)$ について次は同値である。

1. $T$ は Fredholm 作用素である。
2. $S\in\mathcal{B}(Y,X)$ と $K_1\in\mathcal{K}(X)$, $K_2\in\mathcal{K}(Y)$ で $ST=1+K_1$, $TS=1+K_2$ となるものがある。

さらに 1 のとき、$S$ は $ST=1-P_1$, $TS=1-P_2$（$P_1$ は $\mathrm{Ker}\,T$ への有界射影、$P_2$ は $\mathrm{Ran}\,T$ の補空間への有限階数の有界射影）となるように選べる。このような $S$ を $T$ のパラメトリクスという。

証明（定理 4.2）

（1 ⇒ 2）補題 2.3 から $X=\mathrm{Ker}\,T\oplus X_1$（$P_1$ は $\mathrm{Ker}\,T$ への有界射影）、$Y=\mathrm{Ran}\,T\oplus N$（$\dim N<\infty$、$P_2$ は $N$ への有界射影）と分けます。$T|_{X_1}:X_1\to\mathrm{Ran}\,T$ は Banach 空間の間の有界な全単射なので、逆写像定理で逆 $T_1^{-1}$ も有界です。$S=T_1^{-1}(1-P_2)$ と置けば、$ST=1-P_1$, $TS=1-P_2$ で、$P_1,P_2$ は有限階数なのでコンパクトです。

（2 ⇒ 1）$\mathrm{Ker}\,T\subset\mathrm{Ker}(1+K_1)$ は 定理 3.1 の 1（$\lambda=-1$）から有限次元です。$\mathrm{Ran}\,T\supset\mathrm{Ran}(1+K_2)$ で、後者は閉、さらに $1+K_2$ の指数が $0$（下の 補題 4.3。その証明は Riesz–Schauder の定理だけを使い、この定理を使いません）なので余次元有限です。$\mathrm{Ran}\,T=\mathrm{Ran}(1+K_2)+F$（$F$ は有限次元）と書けるので、補題 2.3 の 3 から $\mathrm{Ran}\,T$ は閉で、余次元も有限です。

∎

補題 4.3（1 + コンパクトの指数は 0）✓

$K\in\mathcal{K}(X)$ なら $1+K$ は Fredholm 作用素で $\mathrm{ind}(1+K)=0$ である。

証明（補題 4.3）

定理 3.1 の 1 から $n=\dim\mathrm{Ker}(1+K)<\infty$ で値域は閉です。$m=\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}(1+K)$（$\infty$ もありうる）と置きます。補題 2.3 の 1 で $X=\mathrm{Ker}(1+K)\oplus X_1$ と分け、$\mathrm{Ker}(1+K)$ への有界射影を $P_0$ とします。

$m>n$（$m=\infty$ を含む）と仮定します。$\mathrm{Ran}(1+K)$ と $0$ だけで交わる $n+1$ 次元部分空間 $G$ と、単射線形写像 $J:\mathrm{Ker}(1+K)\to G$ を取り、$F=JP_0$（有限階数）と置きます。$(1+K+F)x=0$ なら $(1+K)x=-Fx\in\mathrm{Ran}(1+K)\cap G=\{0\}$ なので $x\in\mathrm{Ker}(1+K)$、$Jx=0$ から $x=0$。よって $1+K+F$ は単射で、$K+F$ はコンパクトなので 定理 3.1 の 3 から全射です。一方 $g\in G\setminus J(\mathrm{Ker}(1+K))$ を取ると（次元の比較）、$g=r+j$（$r\in\mathrm{Ran}(1+K)$, $j\in J(\mathrm{Ker}(1+K))\subset G$）とは書けません（書けたら $r=g-j\in\mathrm{Ran}(1+K)\cap G=\{0\}$）。$\mathrm{Ran}(1+K+F)\subset\mathrm{Ran}(1+K)+J(\mathrm{Ker}(1+K))$ なので $g$ は値域に入らず、矛盾です。よって $m\le n$ で、とくに $m<\infty$ です。

$n>m$ とします。$\mathrm{Ran}(1+K)$ の $m$ 次元の補空間 $N$ と全射線形写像 $J:\mathrm{Ker}(1+K)\to N$ を取り、$F=JP_0$ と置きます。$\mathrm{Ran}(1+K)=(1+K)X_1$ なので、任意の $y$ は $y=(1+K)x_1+Jk$（$x_1\in X_1$, $k\in\mathrm{Ker}(1+K)$）と書け、$Fx_1=0$ から $(1+K+F)(x_1+k)=y$ です。よって $1+K+F$ は全射、定理 3.1 の 3 から単射です。しかし $n>m$ なので $Jk=0$ となる $k\ne0$ があり、$(1+K+F)k=0$ で矛盾します。よって $n=m$ です。

∎

定理 4.4（指数の積公式）✓

$T\in\mathcal{B}(X,Y)$, $S\in\mathcal{B}(Y,Z)$ が Fredholm 作用素なら、$ST$ も Fredholm 作用素で $\mathrm{ind}(ST)=\mathrm{ind}\,S+\mathrm{ind}\,T$。

証明の後半では、核と余核（値域の外側を表す商空間）を 6 つ並べた列を作ります。矢印の列が「完全」であるとは、各段で、手前の写像の像が次の写像の核にちょうど一致することです。有限次元ベクトル空間の完全列では、各写像に次元定理（核の次元 + 像の次元 = 定義域の次元）を使うと、次元を符号を交互に変えて足した和が $0$ になります。この式を整理すると指数の加法性が出ます。

証明（定理 4.4）

パラメトリクス $T^\sharp$, $S^\sharp$ を取ると $(T^\sharp S^\sharp)(ST)=T^\sharp(1+K)T=1+(\text{コンパクト})$、同様に $(ST)(T^\sharp S^\sharp)=1+(\text{コンパクト})$ なので、定理 4.2 から $ST$ は Fredholm です。次の線形写像の列は完全です（各段で前の写像の像が次の写像の核に等しい）。

$$0\to\mathrm{Ker}\,T\xrightarrow{\iota}\mathrm{Ker}\,ST\xrightarrow{T}\mathrm{Ker}\,S\xrightarrow{q}Y/\mathrm{Ran}\,T\xrightarrow{\bar S}Z/\mathrm{Ran}\,ST\xrightarrow{\pi}Z/\mathrm{Ran}\,S\to0$$

ここで $\iota$ は包含、$q(y)=[y]$、$\bar S[y]=[Sy]$、$\pi$ は $\mathrm{Ran}\,ST\subset\mathrm{Ran}\,S$ による自然な射影です。完全性を確かめます。$T|_{\mathrm{Ker}ST}$ の核は $\mathrm{Ker}\,T$。その像 $T(\mathrm{Ker}\,ST)=\mathrm{Ran}\,T\cap\mathrm{Ker}\,S$ は $q$ の核です。$\bar S[y]=0\iff Sy=STx\iff y-Tx\in\mathrm{Ker}\,S$ なので $\bar S$ の核は $q$ の像です。$\bar S$ の像は $\mathrm{Ran}\,S/\mathrm{Ran}\,ST=\mathrm{Ker}\,\pi$ で、$\pi$ は全射です。有限次元ベクトル空間の完全列では次元の交代和が $0$ なので（各段に次元定理を使う）

$$\dim\mathrm{Ker}\,T-\dim\mathrm{Ker}\,ST+\dim\mathrm{Ker}\,S-\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}\,T+\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}\,ST-\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}\,S=0,$$

これを整理すれば主張です。

∎

定理 4.5（指数の安定性）✓

$T\in\mathcal{B}(X,Y)$ を Fredholm 作用素とする。

1. $K\in\mathcal{K}(X,Y)$ なら $T+K$ は Fredholm で $\mathrm{ind}(T+K)=\mathrm{ind}\,T$。
2. ある $\varepsilon>0$ があって、$\|B\|<\varepsilon$ なら $T+B$ は Fredholm で $\mathrm{ind}(T+B)=\mathrm{ind}\,T$。
3. したがって、ノルム連続な道 $t\mapsto T_t$（$t\in[0,1]$）がすべて Fredholm なら、$\mathrm{ind}\,T_t$ は一定である。

証明の方針は、パラメトリクス $S$ を $T$ の「近似的な逆」として使うことです。$T$ に摂動を加えても、$S$ をかけたものは $1+(\text{コンパクト})$ の形のまま（1）か、可逆作用素を介してその形になる（2）ので、指数は $-\mathrm{ind}\,S$ に保たれます。2 では左側と右側で別の作用素 $L$, $R$ を使いますが、Atkinson の定理の（2 ⇒ 1）は、左の等式から核の有限次元性を、右の等式から値域の閉性と余次元の有限性を別々に出しているので、左右が同じ作用素である必要はありません。

証明（定理 4.5）

定理 4.2 のパラメトリクス $S$（$ST=1-P_1$, $TS=1-P_2$）を取ります。定理 4.4 と 補題 4.3 から $\mathrm{ind}\,S+\mathrm{ind}\,T=\mathrm{ind}(1-P_1)=0$ です。

1: $S(T+K)=1-P_1+SK$ と $(T+K)S=1-P_2+KS$ は $1+(\text{コンパクト})$ なので $T+K$ は Fredholm で、$\mathrm{ind}\,S+\mathrm{ind}(T+K)=0$。よって $\mathrm{ind}(T+K)=-\mathrm{ind}\,S=\mathrm{ind}\,T$。

2: $\varepsilon=\|S\|^{-1}$ とします。$\|SB\|<1$ なので $1+SB$ は可逆で、$S(T+B)=(1+SB)\bigl(1-(1+SB)^{-1}P_1\bigr)$ は可逆作用素と $1+(\text{有限階数})$ の積なので Fredholm で指数 $0$ です。同様に $(T+B)S=(1+BS)-P_2$ も $1+(\text{コンパクト})$ の可逆倍です。したがって $L=(1+SB)^{-1}S$ と $R=S(1+BS)^{-1}$ について $L(T+B)$ と $(T+B)R$ はどちらも $1+(\text{コンパクト})$ です。定理 4.2 の（2 ⇒ 1）の証明は左側の等式から核の有限次元性を、右側の等式から値域の閉性と余次元の有限性を出しているので、左右で別の作用素 $L$, $R$ を使っても通ります。よって $T+B$ は Fredholm で、積公式から $\mathrm{ind}(T+B)=-\mathrm{ind}\,S=\mathrm{ind}\,T$。

3: 2 から $t\mapsto\mathrm{ind}\,T_t$ は局所定数で、$[0,1]$ は連結なので定数です。

∎

例 4.6（シフトの指数）

$\ell^2$ の片側シフト $S$ は単射で $\mathrm{Ran}\,S=\{e_1\}^\perp$ なので $\mathrm{ind}\,S=-1$、$S^*$ は $\mathrm{Ker}\,S^*=\mathbb{C}e_1$ で全射なので $\mathrm{ind}\,S^*=1$、積公式から $\mathrm{ind}\,S^n=-n$ です。定理 4.5 の 1 から、どんなコンパクト作用素 $K$ についても $S+K$ は可逆になりません（可逆なら指数 $0$）。

$|\lambda|<1$ なら $S-\lambda=(1-\lambda S^*)S$（$S^*S=1$ を使う）で、$1-\lambda S^*$ はノイマン級数で可逆なので、$S-\lambda$ は指数 $-1$ の Fredholm 作用素です。とくに全射でないので $\lambda\in\sigma(S)$ で、これは 例 6.11［有界作用素と共役作用素］ の $\sigma(S)=\{|z|\le1\}$ の別証明になっています。$|\lambda|=1$ では $S-\lambda$ は値域が閉でなく Fredholm ではありません（指数が $-1$ から $0$ に跳ぶところで Fredholm 性が壊れる必要があります）。

片側シフトは e_n を e_{n+1} に送る。値域に e_1 だけが入らないので余次元は 1、核は零空間で、指数は 0 - 1 = -1。

注意 4.7

単位円上の連続関数 $\phi$ を記号とする Toeplitz 作用素 $T_\phi$ は、$\phi$ が零点をもたなければ Fredholm で、$\mathrm{ind}\,T_\phi=-(\phi\text{ の原点のまわりの回転数})$ となります（Gohberg–Krein の定理）。$\phi(z)=z$ が片側シフトです。解析的な量（指数）が位相的な量（回転数）に等しいというこの型の定理の到達点が、Atiyah–Singer の指数定理です。

5. Fredholm の択一定理

定理 5.1（Fredholm の択一定理（Banach 空間版））✓

$K\in\mathcal{K}(X)$, $\lambda\ne0$ とする。

1. $\dim\mathrm{Ker}(K-\lambda)=\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}(K-\lambda)=\dim\mathrm{Ker}(K'-\lambda)<\infty$。
2. $(K-\lambda)x=y$ が解をもつための必要十分条件は、すべての $\psi\in\mathrm{Ker}(K'-\lambda)$ について $\psi(y)=0$ となることである。

$X=\mathcal{H}$ が Hilbert 空間なら、$K'$ を共役 $K^*$ に、$\mathrm{Ker}(K'-\lambda)$ を $\mathrm{Ker}(K^*-\bar\lambda)$ に、条件を $y\perp\mathrm{Ker}(K^*-\bar\lambda)$ に置き換えたものが成り立つ。

証明（定理 5.1）

$K-\lambda=-\lambda(1-\lambda^{-1}K)$ は 補題 4.3 から指数 $0$ の Fredholm 作用素で、最初の等号が出ます。$(K-\lambda)'=K'-\lambda$ なので、補題 2.4 から 2 番目の等号と 2 が出ます。Hilbert 空間では、リースの表現定理 $y\mapsto\langle y,\cdot\rangle$（共役線形）で $\psi\in\mathrm{Ker}(K'-\lambda)$ は $\langle y,\cdot\rangle$, $y\in\mathrm{Ker}(K^*-\bar\lambda)$ に対応します。

∎

これで 定理 5.3［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ の証明が完成します。

6. Krein–Rutman の定理

正の成分をもつ行列は、スペクトル半径を固有値とし、正の固有ベクトルをもちます（定理 6.3［行列の固有値評価と不等式］）。無限次元で「正」を表すのが錐です（たとえば関数の空間なら、$f\ge0$ となる関数全体）。

定義 6.1（錐と正作用素）↗

$X$ を実 Banach 空間とする。閉集合 $C\subset X$ が $C+C\subset C$、$tC\subset C$（$t\ge0$）、$C\cap(-C)=\{0\}$ を満たすとき錐という。$C-C$ が $X$ で稠密なとき全であるという。$T\in\mathcal{B}(X)$ が $TC\subset C$ を満たすとき正という。$C^*=\{\varphi\in X^*:\varphi\ge0\text{ on }C\}$ を双対錐という。

スペクトルは複素化 $X_{\mathbb{C}}=X+iX$（ノルム $\|x+iy\|=\sup_\theta\|x\cos\theta+y\sin\theta\|$）上の $T_{\mathbb{C}}(x+iy)=Tx+iTy$ について考え、$r(T)=r(T_{\mathbb{C}})$ とします。$T$ がコンパクトなら $T_{\mathbb{C}}$ もコンパクトで、$\varphi\in X^*$ は $\varphi(x+iy)=\varphi(x)+i\varphi(y)$ で $X_{\mathbb{C}}$ 上に複素線形に延ばせます。

補題 6.2（双対錐による判定）✓

$C$ を錐とする。$x\in X$ がすべての $\varphi\in C^*$ で $\varphi(x)\ge0$ を満たせば $x\in C$。とくに全 $\varphi\in C^*$ で $\varphi(x)=0$ なら $x=0$。

証明（補題 6.2）

$x\notin C$ なら、定理 4.3［局所凸空間と弱位相］ を $\{x\}$ と閉凸集合 $C$ に（実ノルム空間として）適用して、$\varphi(x)<\gamma<\varphi(c)$（全 $c\in C$）となる $\varphi\in X^*$ を得ます。$0\in C$ から $\gamma<0$、$tc\in C$ から $\varphi(c)\ge0$（さもなくば $t\to\infty$ で $-\infty$）なので $\varphi\in C^*$ で $\varphi(x)<0$ です。後半は $x$ と $-x$ に使って $x\in C\cap(-C)$。

∎

定理 6.3（Krein–Rutman の定理）✓

$X$ を実 Banach 空間、$C$ を全な錐、$T\in\mathcal{B}(X)$ を正のコンパクト作用素とし、$r=r(T)>0$ とする。このとき $r$ は $T$ の固有値で、$Tv=rv$ となる $v\in C\setminus\{0\}$ がある。

証明の方針です。スペクトル半径の円周 $|\lambda|=r$ 上には、スペクトルの点が必ずあり、そこでレゾルベント $(\lambda-T)^{-1}$ は発散します。正値性から、$|\lambda|>r$ でのレゾルベントの大きさは、実軸上の点 $|\lambda|$ での値で抑えられます（ステップ 1）。したがって、円周上で発散するなら $\lambda=r$ でも発散しており、$r$ がスペクトルに入ります（ステップ 2）。最後に、$r$ でのレゾルベントの発散の主要部（極の先頭の係数）を取り出すと、それが錐の中の固有ベクトルを与えます（ステップ 3）。

証明（定理 6.3）

$|\lambda|>r$ について $R(\lambda)=(\lambda-T_{\mathbb{C}})^{-1}=\sum_{n\ge0}\lambda^{-n-1}T^n$ です（スペクトル半径公式 定理 6.7［有界作用素と共役作用素］ から級数はノルム収束）。

ステップ 1（正値性による評価）. $x\in C$, $\varphi\in C^*$ なら $\varphi(T^nx)\ge0$ なので、$|\lambda|>r$ で

$$|\varphi(R(\lambda)x)|\le\sum_n|\lambda|^{-n-1}\varphi(T^nx)=\varphi\bigl(R(|\lambda|)x\bigr).$$

また $t>r$ なら $R(t)$ は $X$ を $X$ に、$C$ を $C$ に写します（$C$ の元の収束級数で、$C$ は閉）。

ステップ 2（$r\in\sigma(T)$）. $\sigma(T_{\mathbb{C}})$ はコンパクトなので $|\lambda_1|=r$ となる $\lambda_1\in\sigma(T_{\mathbb{C}})$ があり、$\lambda_1\ne0$ です。定理 3.1 の 5 と 命題 7.3［ベクトル値解析と関数計算］ から、ある $k\ge1$ について $Q_1=\lim_{t\downarrow1}(t-1)^kR(t\lambda_1)$ が存在して $Q_1\ne0$ です（$(z-\lambda_1)^k(z-T_{\mathbb{C}})^{-1}$ の極限に $\lambda_1^{-k}$ を掛けたもの）。$r\notin\sigma(T_{\mathbb{C}})$ と仮定すると、$R$ は $r$ の近傍で連続なので $R(tr)$ は $t\downarrow1$ で有界です。ステップ 1 から、$x\in C$, $\varphi\in C^*$ について

$$|\varphi(Q_1x)|=\lim_{t\downarrow1}(t-1)^k|\varphi(R(t\lambda_1)x)|\le\lim_{t\downarrow1}(t-1)^k\varphi(R(tr)x)=0 .$$

$Q_1x=u+iw$（$u,w\in X$）と書けば $\varphi(u)=\varphi(w)=0$ が全 $\varphi\in C^*$ で成り立ち、補題 6.2 から $Q_1x=0$。よって $Q_1$ は $C$ 上で、したがって線形性と連続性から $\overline{C-C}=X$ 上で、さらに $X_{\mathbb{C}}=X+iX$ 上で $0$ となり、$Q_1\ne0$ に矛盾します。

ステップ 3（錐の中の固有ベクトル）. ステップ 2 から $r\in\sigma(T_{\mathbb{C}})\setminus\{0\}$ なので、同じ命題から $k\ge1$ と $Q=\lim_{t\downarrow1}(t-1)^kR(tr)\ne0$ があります。ステップ 1 から $(t-1)^kR(tr)$ は $X$ を $X$ に、$C$ を $C$ に写すので、極限 $Q$ も同じです。$Q$ が $C$ 上で $0$ なら、ステップ 2 と同じく $Q=0$ になるので、$v=Qx\ne0$ となる $x\in C$ があり、$v\in C$ です。$(T-r)R(tr)=-1+(t-1)rR(tr)$ に $(t-1)^k$ を掛けると

$$(T-r)(t-1)^kR(tr)=-(t-1)^k+r(t-1)\cdot(t-1)^kR(tr)\longrightarrow0\quad(t\downarrow1)$$

（$(t-1)^kR(tr)$ は有界）なので $(T-r)Q=0$、すなわち $Tv=rv$ です。

∎

例 6.4（正の核をもつ積分作用素）

$X=C([0,1];\mathbb{R})$（最大値ノルム）、$C=\{f\ge0\}$ とします。$C$ は全な錐です（$f=\max(f,0)-\max(-f,0)$）。$k$ を $[0,1]^2$ 上の連続関数で $k\ge m>0$ とし、$(Tf)(s)=\int_0^1k(s,t)f(t)\,dt$ と置くと、$T$ は正で、Arzelà–Ascoli の定理（定理 3.3［Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass］）からコンパクトです。$T\mathbf{1}\ge m\mathbf{1}$ と正値性から $T^n\mathbf{1}\ge m^n\mathbf{1}$、$\|T^n\|\ge m^n$ なので $r(T)\ge m>0$。定理 6.3 から、$Tv=r(T)v$ となる $v\ge0$, $v\ne0$ があります。さらに $v=r^{-1}Tv\ge r^{-1}m\int v>0$ なので $v$ は至るところ正です。

注意 6.5

$r(T)>0$ は外せません。$L^2$ ではなく $C([0,1];\mathbb{R})$ 上で考えた Volterra 作用素 $(Vf)(s)=\int_0^sf$ は正のコンパクト作用素ですが、$r(V)=0$ で固有値をもちません（例 6.13［有界作用素と共役作用素］ と同じ評価 $\|V^n\|\le1/n!$）。正値性改良性を仮定すると、$r$ が単純固有値で固有ベクトルが錐の内部にとれること（強い Krein–Rutman の定理）が言えます。半群の版が 定理 7.3［1 径数ユニタリ群と強連続半群］ の基底状態の一意性です。

7. Fredholm 行列式

この節では $\mathcal{H}$ を可分 Hilbert 空間とし、Schatten クラス $\mathcal{S}_p$ と特異値 $s_n$ は 定義 7.3［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ のとおりとします。まずトレースノルムの扱いやすい表示を用意します。

補題 7.1（トレースノルムの変分表示）✓

$K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$ について

$$\sum_ns_n(K)=\sup\Bigl\{\sum_n|\langle g_n,Kh_n\rangle|:(g_n),(h_n)\text{ は正規直交系}\Bigr\}$$

（両辺とも $\infty$ でありうる）。したがって $\|K^*\|_1=\|K\|_1$、$\|K+L\|_1\le\|K\|_1+\|L\|_1$、$\|AKB\|_1\le\|A\|\|K\|_1\|B\|$（$A,B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$）が成り立つ。

証明（補題 7.1）

特異値分解 $K=\sum_ks_k|f_k\rangle\langle e_k|$（定理 7.2［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）と Cauchy–Schwarz、Bessel の不等式から

$$\sum_n|\langle g_n,Kh_n\rangle|\le\sum_ks_k\sum_n|\langle g_n,f_k\rangle||\langle e_k,h_n\rangle|\le\sum_ks_k\Bigl(\sum_n|\langle g_n,f_k\rangle|^2\Bigr)^{\frac12}\Bigl(\sum_n|\langle e_k,h_n\rangle|^2\Bigr)^{\frac12}\le\sum_ks_k ,$$

$g_n=f_n$, $h_n=e_n$ で等号です。$\langle g,K^*h\rangle=\overline{\langle h,Kg\rangle}$ から $\|K^*\|_1=\|K\|_1$、三角不等式は右辺の形から明らかです。$\|AK\|_1$ は、上の評価で $\langle g_n,AKh_n\rangle=\sum_ks_k\langle e_k,h_n\rangle\langle A^*g_n,f_k\rangle$ とし、$\sum_n|\langle g_n,Af_k\rangle|^2\le\|Af_k\|^2\le\|A\|^2$ を使えば $\|A\|\|K\|_1$ 以下です。$KB=(B^*K^*)^*$ と合わせて主張を得ます。

∎

これで 定理 7.4［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ の $p=1$ の場合が示されました。$s_n$ は減少列なので $\|K\|\le\|K\|_2\le\|K\|_1$ です。

有限階数の場合. $F$ を有限階数とし、$V\supset\mathrm{Ran}\,F$ を有限次元部分空間とします。$1+F$ は $V$ を $V$ に写し、$V\oplus V^\perp$ に関して $\begin{pmatrix}(1+F)|_V&*\\0&1\end{pmatrix}$ の形なので、$\det(1+F)=\det\bigl((1+F)|_V\bigr)$ は 補題 4.1［行列の固有値評価と不等式］ により $V$ の取り方によりません（2 つの $V$ をその和と比べる）。$V\supset\mathrm{Ran}\,F+\mathrm{Ran}\,G$ と取れば $\det((1+F)(1+G))=\det(1+F)\det(1+G)$ です。

補題 7.2（有限階数での評価）✓

$\Phi(s)=\exp(s+s^2/2)$ と置く。有限階数の $F,G$ について

$$|\det(1+F)|\le\Phi(\|F\|_1),\qquad|\det(1+F)-\det(1+G)|\le\|F-G\|_1\,\Phi\bigl(\|F\|_1+2\|G\|_1+1\bigr).$$

この評価の役目は、$\det(1+F)$ を有限階数の作用素からトレースクラス作用素へ連続に延ばすことです。第 1 式は行列式の大きさがトレースノルムだけで抑えられること、第 2 式は近い作用素の行列式が近いことを表します。どちらの右辺にも空間の次元は現れないので、階数を増やす極限をとっても評価が壊れません。証明の鍵は、$1+\mu\le e^{\mu}$ という不等式を固有値ごとに使うことです。

証明（補題 7.2）

$V\supset\mathrm{Ran}\,F+\mathrm{Ran}\,F^*$ と取ると $V$ は $1+F$ と $1+F^*$ で不変で、$M=(1+F)|_V$ の随伴は $(1+F^*)|_V$ です。$M^*M=(1+C)|_V$、$C=F+F^*+F^*F$ は自己共役で $1+C\ge0$ なので、$V$ 上の固有値 $1+\mu_j\ge0$ について $1+\mu_j\le e^{\mu_j}$ から

$$|\det(1+F)|^2=\det(M^*M)=\prod_j(1+\mu_j)\le e^{\mathrm{tr}\,C}=e^{2\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}F+\|F\|_2^2}\le e^{2\|F\|_1+\|F\|_1^2}$$

です（定理 7.7［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ の $|\mathrm{tr}\,F|\le\|F\|_1$ と $\|F\|_2\le\|F\|_1$）。差の評価: $D=F-G\ne0$ とし $g(z)=\det(1+G+zD)$ と置くと、$V\supset\mathrm{Ran}\,G+\mathrm{Ran}\,D$ 上の行列の成分が $z$ の 1 次式なので $g$ は多項式です。$\rho=1+\|D\|_1^{-1}$ として Cauchy の積分公式から

$$|g(1)-g(0)|=\Bigl|\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=\rho}\frac{g(z)}{z(z-1)}dz\Bigr|\le\frac{\max_{|z|=\rho}|g(z)|}{\rho-1}=\|D\|_1\max_{|z|=\rho}|g(z)|,$$

$|z|=\rho$ では $\|G+zD\|_1\le\|G\|_1+\|D\|_1+1\le\|F\|_1+2\|G\|_1+1$ なので、前半の評価から主張を得ます。

∎

定理 7.3（Fredholm 行列式）✓

写像 $F\mapsto\det(1+F)$ は、$\mathcal{S}_1(\mathcal{H})$ 上の $\|\cdot\|_1$ について連続な関数 $A\mapsto\det(1+A)$ に一意に拡張され、補題 7.2 の 2 つの評価は $\mathcal{S}_1$ 全体で成り立つ。さらに $A,B\in\mathcal{S}_1$ について

1. $\det((1+A)(1+B))=\det(1+A)\det(1+B)$。
2. $\det(1+A)\ne0$ であることと、$1+A$ が可逆であることは同値である。
3. $z\mapsto\det(1+zA)$ は整関数で、その零点はちょうど $-1/z\in\sigma(A)\setminus\{0\}$ となる $z$ である。

証明（定理 7.3）

特異値分解を $N$ 項で切った $A_N$ は有限階数で、$A-A_N$ の特異値は $s_{N+1},s_{N+2},\ldots$ なので $\|A-A_N\|_1\to0$。有限階数作用素は $\mathcal{S}_1$ で稠密で、補題 7.2 から $\det(1+\cdot)$ は有界集合上で一様連続なので、連続な拡張が一意に存在し、評価も極限に移ります。

1: $(1+A)(1+B)=1+(A+B+AB)$ で、補題 7.1 から $\|AB-A_NB_N\|_1\le\|A-A_N\|_1\|B\|+\|A_N\|\|B-B_N\|_1\to0$ なので、有限階数の場合の乗法性が極限に移ります。

2: $1+A$ が可逆なら $(1+A)^{-1}=1+B$, $B=-A(1+A)^{-1}\in\mathcal{S}_1$ で、1 から $\det(1+A)\det(1+B)=1$。逆に $1+A$ が可逆でなければ、定理 3.1 から $-1$ は $A$ の固有値で、その Riesz 射影 $P$ は有限階数で $A$ と可換、$\mathrm{Ran}\,P\supset\mathrm{Ker}(1+A)$ です。$AP\cdot A(1-P)=0$ なので $1+A=(1+AP)(1+A(1-P))$ で、$\det(1+AP)=\det\bigl((1+A)|_{\mathrm{Ran}P}\bigr)=0$（$\mathrm{Ran}\,P$ に $-1$ の固有ベクトルがある）。1 から $\det(1+A)=0$ です。

3: $\det(1+zA_N)$ は $z$ の多項式で、補題 7.2 から $\det(1+zA)$ に $z$ の有界集合上で一様収束します。一様収束極限なので Morera の定理（定理 3.6［正則関数の強力な性質］）から整関数です。零点の記述は 2 と $\det(1)=1$ から出ます。

∎

例 7.4（Fredholm 行列式の計算）

(1) 階数 1: $V=\mathbb{C}u$ 上で $(1+|u\rangle\langle v|)u=(1+\langle v,u\rangle)u$ なので $\det(1+|u\rangle\langle v|)=1+\langle v,u\rangle$。

(2) 対角作用素 $Ae_n=a_ne_n$（$\sum|a_n|<\infty$）では、有限切断と連続性から $\det(1+A)=\prod_n(1+a_n)$。

(3) $L^2([0,1])$ 上の $-d^2/dx^2$（Dirichlet 境界条件）の逆、すなわち Green 作用素 $G$ は、固有値 $(\pi n)^{-2}$ をもつ正のトレースクラス作用素です（演習 8.1［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ でトレース $\sum(\pi n)^{-2}=1/6$ を計算しました）。(2) と Euler の無限積（系 5.4［整関数とガンマ関数］）から

$$\det(1-z^2G)=\prod_{n\ge1}\Bigl(1-\frac{z^2}{\pi^2n^2}\Bigr)=\frac{\sin z}{z},$$

零点 $z=\pi n$ はちょうど $z^2$ が $-d^2/dx^2$ の固有値になる点です。定理 7.3 の 3 の具体例です。

注意 7.5

一般のトレースクラス作用素についても $\det(1+A)=\prod_j(1+\lambda_j(A))$（固有値は代数的重複度を込める）と $\mathrm{tr}\,A=\sum_j\lambda_j(A)$ が成り立ちます（Lidskii の定理）。ここでは証明しません。Volterra 作用素のように固有値をもたない作用素では、これは $\det(1+zA)\equiv1$ を意味します。

注意 7.6（Toeplitz 行列式への応用）

定理 7.3 の連続性は、有限切断した行列式の極限を無限次元の行列式として捉えるのに使えます。典型例が Toeplitz 行列式で、滑らかな正のシンボル $a$ について $D_n(a)/G(a)^n=\det(1+\Pi_nK\Pi_n)$（$K$ は Hankel 作用素から作ったトレースクラス作用素、$\Pi_n$ は最初の $n$ 個の基底ベクトルへの射影）と書け、$\|\Pi_nK\Pi_n-K\|_1\to0$ から Szegő の強極限 $\lim D_n(a)/G(a)^n=\det T(a)T(a^{-1})$ が出ます（命題 5.4［Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理］）。

Hilbert–Schmidt 作用素 $A$ は一般にトレースクラスでないので $\det(1+A)$ は定義できませんが、発散の原因である 1 次の項を除けば行列式が作れます。$A\in\mathcal{S}_2$ なら $m\ge2$ で $\|A^m\|_1\le\|A\|_2^2\|A\|^{m-2}\le\|A\|_2^m$（演習 8.4［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ と 補題 7.1）なので、

$$R_2(A)=(1+A)e^{-A}-1=\sum_{m\ge2}\frac{(-1)^{m-1}(m-1)}{m!}A^m$$

は $\mathcal{S}_1$ で収束します（$m=0,1$ の項は打ち消し合います）。

定義 7.7（正則化行列式）↗

$A\in\mathcal{S}_2(\mathcal{H})$ に対し $\det_2(1+A)=\det\bigl(1+R_2(A)\bigr)=\det\bigl((1+A)e^{-A}\bigr)$ と定める。

命題 7.8（det₂ の性質）✓

1. $A\in\mathcal{S}_1$ なら $\det_2(1+A)=\det(1+A)e^{-\mathrm{tr}A}$。
2. $\det_2(1+A)\ne0$ であることと $1+A$ が可逆であることは同値である。
3. $A\mapsto\det_2(1+A)$ は $\mathcal{S}_2$ 上 $\|\cdot\|_2$ について連続である。

証明（命題 7.8）

1: $e^{-A}=1+(e^{-A}-1)$ で $e^{-A}-1\in\mathcal{S}_1$ なので、定理 7.3 の 1 から $\det_2(1+A)=\det(1+A)\det(e^{-A})$。$\det e^{B}=e^{\mathrm{tr}B}$（$B\in\mathcal{S}_1$）は、有限階数 $B$ では $V\supset\mathrm{Ran}\,B$ 上の行列の等式（Jordan 標準形 定理 6.2［対角化とジョルダン標準形］ で三角化すれば対角成分が $e^{\mu_j}$）で、$B\mapsto e^B-1$ と $\mathrm{tr}$ の $\mathcal{S}_1$ での連続性から一般の場合に移ります。2: $e^{-A}$ は可逆なので、$(1+A)e^{-A}$ が可逆 $\iff1+A$ が可逆で、定理 7.3 の 2 を使います。3: $m\ge2$ では $A^m-B^m=\sum_jA^j(A-B)B^{m-1-j}$ の各項が $A-B$ と少なくとも 1 つの他の $\mathcal{S}_2$ の因子を含むので $\|A^m-B^m\|_1\le mM^{m-1}\|A-B\|_2$（$M=\max(\|A\|_2,\|B\|_2)$）で、$R_2$ は $\mathcal{S}_2$ から $\mathcal{S}_1$ への連続写像です。$\det$ の連続性と合わせて主張を得ます。

∎

注意 7.9

$\det_2$ は Schrödinger 作用素の固有値を数えるのに使われます。$H=H_0+V$ について、$E<\inf\sigma(H_0)$ が $H$ の固有値であることは、$-1$ が Birman–Schwinger 核 $K_E=|V|^{1/2}(H_0-E)^{-1}V^{1/2}$ の固有値であること、すなわち $\det_2(1+K_E)=0$ と同値です（$K_E$ が Hilbert–Schmidt になるのが 3 次元の典型的な状況）。左辺の固有値問題は非有界作用素の問題ですが、右辺は解析関数の零点の問題になります。

最後に、トレースクラス作用素の族の行列式を微分する公式を示します。行列については $\frac{d}{dt}\log\det M(t)=\mathrm{tr}(M(t)^{-1}M'(t))$ がよく知られていますが、その無限次元版です。Toeplitz 行列式の強極限の値の計算（定理 5.6［Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理］）で使います。まず、トレースノルムで連続な族の積分を扱う補題を用意します。

補題 7.10（トレースノルムで連続な族の積分）✓

$s\mapsto Z(s)\in\mathcal{S}_1$ が $[a,b]$ 上で $\|\cdot\|_1$ について連続なら、作用素ノルムでの Riemann 積分 $\int_a^bZ(s)\,ds$ は $\mathcal{S}_1$ に属し

$$\Bigl\|\int_a^bZ(s)\,ds\Bigr\|_1\le\int_a^b\|Z(s)\|_1\,ds,\qquad\mathrm{tr}\int_a^bZ(s)\,ds=\int_a^b\mathrm{tr}\,Z(s)\,ds .$$

証明（補題 7.10）

$\|Z\|\le\|Z\|_1$ なので $Z$ は作用素ノルムでも連続で、Riemann 和は作用素ノルムで $I=\int_a^bZ\,ds$ に収束します。Riemann 和は有限個のトレースクラス作用素の和なのでコンパクトで、コンパクト作用素はノルム閉なので（命題 3.2［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）$I$ はコンパクトです。正規直交系 $(g_n)$, $(h_n)$ と $N$ について、Riemann 和の極限を取ると

$$\sum_{n\le N}|\langle g_n,Ih_n\rangle|\le\int_a^b\sum_{n\le N}|\langle g_n,Z(s)h_n\rangle|\,ds\le\int_a^b\|Z(s)\|_1\,ds$$

（右の不等式は 補題 7.1）。$N$ と正規直交系について上限を取れば、補題 7.1 から $\|I\|_1$ は右辺以下です。同じ評価を $I-(\text{Riemann 和})$ に使えば Riemann 和は $\|\cdot\|_1$ でも $I$ に収束するので、$|\mathrm{tr}\,T|\le\|T\|_1$（定理 7.7［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）から、トレースと積分の交換は Riemann 和の段階の線形性から極限に移ります。

∎

補題 7.11（行列式の 1 次の展開）✓

$L\in\mathcal{S}_1$ について $z\mapsto\det(1+zL)$ の $z=0$ での微分係数は $\mathrm{tr}\,L$ である。さらに $\|L\|_1\le1$ なら

$$|\det(1+L)-1-\mathrm{tr}\,L|\le\bigl(e^{3/2}+2\bigr)\|L\|_1^2 .$$

証明（補題 7.11）

$g(z)=\det(1+zL)$ は整関数です（定理 7.3 の 3）。$L$ が有限階数なら、$V\supset\mathrm{Ran}\,L$ 上の行列 $M=L|_V$ について $g(z)=\det(I+zM)$ で、Leibniz の展開で $z$ の 1 次の項は対角成分の積 $\prod_j(1+zM_{jj})$ からしか来ないので $g'(0)=\mathrm{tr}\,M$ です。$V$ の正規直交基底を $\mathcal{H}$ の正規直交基底に延ばすと、$V^\perp$ の基底ベクトル $e$ では $Le\in V\perp e$ なので $\langle e,Le\rangle=0$、よって $\mathrm{tr}\,M=\mathrm{tr}\,L$ です。一般の $L$ では特異値分解の切断 $L_N$ について、補題 7.2 から $\det(1+zL_N)\to g(z)$ が $|z|\le2$ で一様に成り立つので、Cauchy の積分公式で微分係数も収束し、$g'(0)=\lim\mathrm{tr}\,L_N=\mathrm{tr}\,L$ です（$|\mathrm{tr}(L-L_N)|\le\|L-L_N\|_1$）。

評価: $L\ne0$ とし、$h(z)=g(z)-1-z\,\mathrm{tr}\,L$ と置くと $h(0)=h'(0)=0$ なので $h(z)/z^2$ は整関数です。$\rho=\|L\|_1^{-1}\ge1$ とすると、$|z|=\rho$ で $\|zL\|_1=1$ なので 定理 7.3 の評価から $|g(z)|\le\exp(1+1/2)$、また $|z\,\mathrm{tr}\,L|\le\rho\|L\|_1=1$。最大値の原理を $h(z)/z^2$ に $|z|\le\rho$ で使うと $|h(1)|\le(e^{3/2}+2)\rho^{-2}$ です。

∎

命題 7.12（Fredholm 行列式の微分公式）✓

$I$ を区間とし、$t\mapsto K(t)\in\mathcal{S}_1$ が $t\in I$ で $\|\cdot\|_1$ について微分可能（$\|(K(t+h)-K(t))/h-K'(t)\|_1\to0$）で、$1+K(t)$ が可逆であるとする。このとき $t\mapsto\det(1+K(t))$ は $t$ で微分可能で

$$\frac{d}{dt}\det(1+K(t))=\det(1+K(t))\,\mathrm{tr}\bigl((1+K(t))^{-1}K'(t)\bigr).$$

$\det(1+K(t))\ne0$（定理 7.3 の 2）なので、これは $\frac{d}{dt}\log\det(1+K(t))=\mathrm{tr}((1+K(t))^{-1}K'(t))$ とも書ける。

証明（命題 7.12）

$t$ を固定し、$L_h=(1+K(t))^{-1}(K(t+h)-K(t))$ と置きます。補題 7.1 から $L_h\in\mathcal{S}_1$ で

$$\Bigl\|\frac{L_h}h-(1+K(t))^{-1}K'(t)\Bigr\|_1\le\|(1+K(t))^{-1}\|\,\Bigl\|\frac{K(t+h)-K(t)}h-K'(t)\Bigr\|_1\to0 ,$$

特に $\|L_h\|_1=O(h)$ です。$1+K(t+h)=(1+K(t))(1+L_h)$ なので、定理 7.3 の 1 から $\det(1+K(t+h))=\det(1+K(t))\det(1+L_h)$。補題 7.11 から $\det(1+L_h)=1+\mathrm{tr}\,L_h+O(h^2)$ で、$|\mathrm{tr}\,T|\le\|T\|_1$ から $\mathrm{tr}\,L_h/h\to\mathrm{tr}((1+K(t))^{-1}K'(t))$ です。よって

$$\frac{\det(1+K(t+h))-\det(1+K(t))}{h}=\det(1+K(t))\Bigl(\frac{\mathrm{tr}\,L_h}{h}+O(h)\Bigr)\to\det(1+K(t))\,\mathrm{tr}\bigl((1+K(t))^{-1}K'(t)\bigr).$$∎

8. 演習

演習 8.1標準

Fredholm 作用素 $T\in\mathcal{B}(X,Y)$ について、$\mathrm{ind}\,T=0$ であることと、可逆な $U$ と有限階数の $F$ で $T=U+F$ と書けることが同値であることを示してください。これを使って、$\ell^2\oplus\ell^2$ 上の $S\oplus S^*$ は可逆でないが「可逆 + 有限階数」であることを確かめてください。

解答

（⇐）定理 4.5 の 1 から $\mathrm{ind}\,T=\mathrm{ind}\,U=0$。（⇒）$n=\dim\mathrm{Ker}\,T=\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}\,T$。$\mathrm{Ker}\,T$ への有界射影 $P$（補題 2.3 の 1）と $\mathrm{Ran}\,T$ の補空間 $N$、線形同型 $J:\mathrm{Ker}\,T\to N$ を取り、$U=T+JP$ と置きます。$Ux=0$ なら $Tx=-JPx\in\mathrm{Ran}\,T\cap N=\{0\}$ なので $x\in\mathrm{Ker}\,T$, $Jx=0$, $x=0$。全射性は 補題 4.3 の証明と同じく $y=Tx_1+Jk$ と書けることから出ます。逆写像定理で $U$ は可逆、$F=-JP$ です。

$S\oplus S^*$ の指数は $-1+1=0$ で、核 $0\oplus\mathbb{C}e_1$、値域の補空間 $\mathbb{C}e_1\oplus0$ なので、$J(0,e_1)=(e_1,0)$ として $U=S\oplus S^*+|(e_1,0)\rangle\langle(0,e_1)|$ が可逆です。

演習 8.2標準

$T\in\mathcal{B}(X,Y)$ が Fredholm なら、$T'$ も Fredholm で $\mathrm{ind}\,T'=-\mathrm{ind}\,T$ であることを示してください。

解答

補題 2.4 から $\dim\mathrm{Ker}\,T'=\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}\,T$。次に $\mathrm{Ran}\,T'=(\mathrm{Ker}\,T)^\perp$ を示します。$\subset$ は $T'\psi(x)=\psi(Tx)$ から明らかです。$\eta\in(\mathrm{Ker}\,T)^\perp$ なら、$\mathrm{Ran}\,T$ 上で $\psi_0(Tx)=\eta(x)$ と矛盾なく定まり、$T:X\to\mathrm{Ran}\,T$ は開写像なので（定理 6.1［Banach 空間の基本定理］）$\|x\|\le c\|Tx\|$ となる代表 $x$ が取れて $\psi_0$ は有界、Hahn–Banach で $Y$ に延ばした $\psi$ が $T'\psi=\eta$ を満たします。$(\mathrm{Ker}\,T)^\perp$ は閉で、$X^*/(\mathrm{Ker}\,T)^\perp\cong(\mathrm{Ker}\,T)^*$（制限写像）なので余次元は $\dim\mathrm{Ker}\,T$ です。よって $\mathrm{ind}\,T'=\mathrm{codim}\,\mathrm{Ran}\,T-\dim\mathrm{Ker}\,T$。

演習 8.3易

$F=|u_1\rangle\langle v_1|+|u_2\rangle\langle v_2|$ について $\det(1+F)=\det\begin{pmatrix}1+\langle v_1,u_1\rangle&\langle v_1,u_2\rangle\\\langle v_2,u_1\rangle&1+\langle v_2,u_2\rangle\end{pmatrix}$ を示してください（$u_1,u_2$ は 1 次独立とします）。

解答

$V=\mathrm{span}\{u_1,u_2\}$ 上で $(1+F)u_j=u_j+\sum_i\langle v_i,u_j\rangle u_i$ なので、基底 $u_1,u_2$ に関する $(1+F)|_V$ の行列は $(\delta_{ij}+\langle v_i,u_j\rangle)_{ij}$ です。行列式は基底によらないので主張を得ます。一般に $\det(1+\sum_{j\le n}|u_j\rangle\langle v_j|)=\det(\delta_{ij}+\langle v_i,u_j\rangle)$ で、これは Sylvester の行列式恒等式 系 4.5［行列の固有値評価と不等式］ の作用素版です。

参考文献

• T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, 2nd edition, Springer, 1976 — Chapter IV §5（Fredholm 作用素、指数の安定性）。
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, revised and enlarged edition, Academic Press, 1980 — Chapter VI（Riesz–Schauder、Fredholm の択一定理）。
• B. Simon, Trace Ideals and Their Applications, 2nd edition, American Mathematical Society, 2005 — Chapter 3（Fredholm 行列式）、Chapter 9（正則化行列式）。
• I. Gohberg, S. Goldberg, N. Krupnik, Traces and Determinants of Linear Operators, Birkhäuser, 2000。
• K. Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, 1985 — §19（Krein–Rutman の定理）。
• M. G. Krein, M. A. Rutman, “Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space”, Uspekhi Mat. Nauk 3 (1948)（英訳 Amer. Math. Soc. Translations 26, 1950）。