作用素不等式と積分作用素：Löwner–Heinz・Heinz–Kato・Schur テスト・Schatten クラス・Daleckii–Krein・トレース不等式

0. この記事の要点

数のあいだには大小関係があり、$0\le a\le b$ なら $a^2\le b^2$ のように、関数で写しても大小は保たれます。行列（作用素）にも「$A$ は $B$ 以下」という大小の付け方がありますが、関数で写すと大小が保たれないことがあります。この記事では、どんな関数なら大小が保たれるのか、また作用素の大きさを不等式でどう測るのかを、証明つきで順に調べます。読み終えると、行列の平方根や対数の単調性、積分作用素の有界性の判定、トレースの不等式を、次元によらない形で使えるようになります。

• 自己共役作用素の順序 $A\le B$（Löwner 順序。すべてのベクトル $x$ で $\langle x,Ax\rangle\le\langle x,Bx\rangle$ という大小関係）は、関数で写すと壊れやすい順序です。$A\le B$ から $A^2\le B^2$ は出ませんが、$0\le\alpha\le1$ なら $A^\alpha\le B^\alpha$ です（Löwner–Heinz の不等式）。証明は $t^\alpha$ を「$t/(s+t)$ の重ね合わせ」と見る積分表示で、$\log$ も同じく単調です。
• 複素補間（三線定理。帯状の領域の両端での大きさから、内側での大きさを抑える定理）を使うと、Heinz–Kato の不等式 $|\langle y,Tx\rangle|\le\|A^\alpha x\|\|B^{1-\alpha}y\|$ と Cordes の不等式 $\|A^\alpha B^\alpha\|\le\|AB\|^\alpha$ が得られます。
• 積分作用素の $L^2$ 有界性（核 $K(x,y)$ の積分作用素のノルムが有限であること）は、正の試験関数を 1 組見つければ判定できます（Schur テスト）。Hilbert の不等式（定数 $\pi$）と Hardy の不等式（定数 $2$）がすぐに出ます。
• Schatten ノルム（特異値の $p$ 乗和の $1/p$ 乗）には正規直交系による変分表示があり、そこから三角不等式・完備性・Hölder 不等式 $\|KL\|_1\le\|K\|_p\|L\|_q$ が証明できます。$f(x)g(-i\nabla)$ の Hilbert–Schmidt ノルムは $(2\pi)^{-d/2}\|f\|_2\|g\|_2$ で、三線定理で $p=\infty$ とつなぐと Kato–Seiler–Simon の不等式 $\|f(x)g(-i\nabla)\|_p\le(2\pi)^{-d/p}\|f\|_p\|g\|_p$（$p\ge2$）が、2 進分解で $g$ を弱 $L^p$ に広げると Cwikel の評価 $s_n\le Cn^{-1/p}\|f\|_p[g]_{p,\infty}$（$p\gt2$）が出ます。
• $f(A)-f(B)$ はスペクトル射影で挟んだ「二重作用素積分」$\sum f^{[1]}(\lambda_i,\mu_j)P_i(A-B)Q_j$ で書け、Hilbert–Schmidt ノルムでは $\|f(A)-f(B)\|_2\le\|f'\|_\infty\|A-B\|_2$ が次元によらず成り立ちます。微分版が Daleckii–Krein 公式です。Klein の不等式から Gibbs の変分原理と Peierls–Bogoliubov の不等式を導き、Weyl の優越不等式と Lie–Trotter の積公式から Golden–Thompson の不等式 $\mathrm{tr}\,e^{A+B}\le\mathrm{tr}(e^Ae^B)$ を証明します。
• 並列和 $(P^{-1}+Q^{-1})^{-1}$ の変分表示から重み付き幾何平均の同時凹性を示し、それを左右の掛け算作用素に使って Lieb の凹性定理（Ando の証明）と相対エントロピーの同時凸性を証明します。

この記事で使う事前知識

• 関数計算: 自己共役作用素 $A$ と関数 $f$ から作用素 $f(A)$ を作る操作。スペクトル分解 $A=\sum\lambda_iP_i$ なら $f(A)=\sum f(\lambda_i)P_i$ にあたります。→ 関数計算
• コンパクト作用素: 有界な集合を、閉包がコンパクトな集合に写す作用素。→ コンパクト作用素
• 特異値: コンパクト作用素 $K$ について、$K^*K$ の固有値の平方根を大きい順に並べた数列 $s_1\ge s_2\ge\cdots$。作用素の「大きさの内訳」です。→ 特異値
• 正規直交系: 長さ $1$ で互いに直交するベクトルの集まり。→ 正規直交系
• 直交射影: 部分空間 $M$ の上へ、ベクトルを最も近い点に落とす作用素 $P$（$P=P^*=P^2$）。→ 直交射影
• Fourier 変換: 関数を振動数ごとの成分に分ける変換。$L^2$ ではユニタリです。→ Fourier 変換

1. 動機

実数では $0\le a\le b$ なら $a^2\le b^2$ ですが、行列ではそうなりません。順序 $A\le B$ は「すべてのベクトルで $\langle x,Ax\rangle\le\langle x,Bx\rangle$」という条件で、$A$ と $B$ が可換でなければ、固有ベクトルの向きのずれが単調性を壊すからです。にもかかわらず、平方根や対数は順序を保ちます。この非対称な現象を正確に述べるのが作用素単調関数の理論で、量子情報の相対エントロピーの単調性や、Powers–Størmer の不等式（状態の距離の比較）の基礎になっています。

もう一つの主題は、作用素を「数のように」評価する技術です。非有界作用素の定義域の比較（$\|Tx\|\le\|Ax\|$ から $A^\alpha$ についての評価を引き出す）、積分作用素のノルム、Schatten クラスの積、関数 $f$ を作用素に入れたときのリプシッツ性、統計力学の分配関数の評価がそれにあたります。どれも、有限次元の不等式を次元によらない形で証明することが要点です。

2. 準備

$\mathcal{H}$ は複素 Hilbert 空間です。自己共役な $A,B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ について、全 $x$ で $\langle x,Ax\rangle\le\langle x,Bx\rangle$ のとき $A\le B$ と書きます（Löwner 順序）。$A\ge0$ を正、$A\ge\varepsilon>0$ となるとき正定値と呼びます。有界自己共役作用素の関数 $f(A)$ はスペクトル定理による関数計算（定理 6.2［スペクトル定理と関数計算］）で定め、$\sigma(A)$ 上で連続な $f$ については $\|f(A)\|=\max_{\sigma(A)}|f|$ です。

補題 2.1（Löwner 順序の基本性質）✓

自己共役な有界作用素について、

1. $A\le B$ なら任意の $C\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ で $C^*AC\le C^*BC$。
2. $0\le A\le B$ なら $\|A\|\le\|B\|$。
3. $A,B$ が正定値なら、$A\le B$ と $\|A^{1/2}B^{-1/2}\|\le1$ は同値。
4. $A,B$ が正定値で $A\le B$ なら $B^{-1}\le A^{-1}$。

証明（補題 2.1）

1: $\langle x,C^*ACx\rangle=\langle Cx,ACx\rangle\le\langle Cx,BCx\rangle$。2: 正作用素では $\|A\|=\sup_{\|x\|=1}\langle x,Ax\rangle$（定理 6.10［有界作用素と共役作用素］）。3: $x=B^{-1/2}y$ と置けば、$\langle x,Ax\rangle\le\langle x,Bx\rangle$ は $\|A^{1/2}B^{-1/2}y\|^2\le\|y\|^2$ と同じです。4: 3 から $\|A^{1/2}B^{-1/2}\|\le1$ で、共役を取って $\|B^{-1/2}A^{1/2}\|\le1$。これは 3 を正定値作用素 $B^{-1}$, $A^{-1}$ に使った形（$(B^{-1})^{1/2}((A^{-1})^{-1})^{1/2}$）なので、$B^{-1}\le A^{-1}$ です。

∎

3. 作用素単調関数と Löwner–Heinz の不等式

定義 3.1（作用素単調関数）↗

区間 $I$ 上の連続関数 $f$ が作用素単調であるとは、任意の Hilbert 空間と、スペクトルが $I$ に含まれる自己共役な有界作用素 $A\le B$ について $f(A)\le f(B)$ となることをいう。

次の補題は、$t^\alpha$ を $t/(s+t)$ という簡単な関数を $s$ について足し合わせたものとして書く公式です。$t/(s+t)$ の単調性なら $s$ を固定して確かめられるので、これを使って $A\le B$ から $A^\alpha\le B^\alpha$ を引き出します（定理 3.3 の証明）。

補題 3.2（$t^α$ の積分表示）✓

$0<\alpha<1$, $t\ge0$ について

$$t^\alpha=\frac{\sin\pi\alpha}{\pi}\int_0^\infty s^{\alpha-1}\frac{t}{s+t}\,ds .$$

証明（補題 3.2）

$t=0$ では両辺 $0$ です。$t>0$ なら $s=tu$ と置くと右辺の積分は $t^\alpha\int_0^\infty\frac{u^{\alpha-1}}{1+u}du$ です。$\frac1{1+u}=\int_0^\infty e^{-(1+u)r}dr$ と Tonelli の定理から

$$\int_0^\infty\frac{u^{\alpha-1}}{1+u}du=\int_0^\infty e^{-r}\Bigl(\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-ur}du\Bigr)dr=\Gamma(\alpha)\int_0^\infty e^{-r}r^{-\alpha}dr=\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\frac{\pi}{\sin\pi\alpha}$$

で、最後は相反公式（定理 6.5［整関数とガンマ関数］）です。

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定理 3.3（Löwner–Heinz の不等式）✓

$0\le\alpha\le1$ なら $t\mapsto t^\alpha$ は $[0,\infty)$ 上の作用素単調関数である。すなわち $0\le A\le B$ なら $A^\alpha\le B^\alpha$。

証明（定理 3.3）

$\alpha=0,1$ は自明なので $0<\alpha<1$ とします。$s>0$ について $s+A\le s+B$ はどちらも正定値なので、補題 2.1 の 4 から $(s+B)^{-1}\le(s+A)^{-1}$、したがって

$$A(s+A)^{-1}=1-s(s+A)^{-1}\le1-s(s+B)^{-1}=B(s+B)^{-1}.$$

$x\in\mathcal{H}$ と $A$ のスペクトル測度 $\mu_x$ について、補題 3.2 と Tonelli の定理（被積分関数は非負）から

$$\langle x,A^\alpha x\rangle=\int\lambda^\alpha d\mu_x(\lambda)=\frac{\sin\pi\alpha}{\pi}\int_0^\infty s^{\alpha-1}\langle x,A(s+A)^{-1}x\rangle\,ds$$

で、$B$ についても同じです。被積分関数を比べれば $\langle x,A^\alpha x\rangle\le\langle x,B^\alpha x\rangle$ です。

∎

系 3.4（対数は作用素単調）✓

$A,B$ が正定値で $A\le B$ なら $\log A\le\log B$。

証明（系 3.4）

$\sigma(A)\cup\sigma(B)\subset[m,M]\subset(0,\infty)$ とすると、$(t^\alpha-1)/\alpha\to\log t$（$\alpha\downarrow0$）は $[m,M]$ 上一様なので、関数計算のノルムの等式から $(A^\alpha-1)/\alpha\to\log A$ がノルムで成り立ちます（$B$ も同様）。定理 3.3 から $(A^\alpha-1)/\alpha\le(B^\alpha-1)/\alpha$ で、極限に移ります。

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例 3.5（t² は作用素単調でない）

$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ とすると $B-A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\ge0$ で $0\le A\le B$ ですが、

$$B^2-A^2=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\1&0\end{pmatrix}$$

は行列式が $-1<0$ なので正ではありません。$A$ と $B$ が可換でないことが原因で、可換なら $A\le B$ から $f(A)\le f(B)$ は任意の単調関数で成り立ちます。

注意 3.6

$(0,\infty)$ 上の関数が作用素単調であるための必要十分条件は、上半平面に正則に延びて虚部が非負になる（Pick 関数である）ことです（Löwner の定理）。$t^\alpha$ が作用素単調なのは $0\le\alpha\le1$ に限られます。この記事ではこの特徴づけは証明しません。補題 3.2 の積分表示は、その「$t/(s+t)$ の正の重ね合わせ」という構造の具体例です。

4. Heinz–Kato と Cordes の不等式

定理 4.1（Heinz–Kato の不等式）✓

$A,B\ge0$ を有界作用素、$T\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ が全 $x,y$ で $\|Tx\|\le\|Ax\|$, $\|T^*y\|\le\|By\|$ を満たすとする。このとき $0\le\alpha\le1$ について

$$|\langle y,Tx\rangle|\le\|A^\alpha x\|\,\|B^{1-\alpha}y\|\qquad(x,y\in\mathcal{H}).$$

証明の方針: $\alpha=0$ と $\alpha=1$ のときは不等式が仮定そのものです。その間の $\alpha$ を扱うために、$\alpha$ を複素数 $z$ に置き換えた関数 $F(z)$ を作り、帯の両端での評価から内側の評価を三線定理で引き出します。

証明（定理 4.1）

正定値の場合. $A,B\ge\varepsilon>0$ とします。$\log A$, $\log B$ は有界自己共役で、$A^z=e^{z\log A}=\sum_nz^n(\log A)^n/n!$ はノルムで正則な整関数、$\|A^{x+iy}\|=\max_{\sigma(A)}\lambda^x$ は帯 $0\le x\le1$ で有界、$A^{iy}$ はユニタリです。$u,v\in\mathcal{H}$ について $F(z)=\langle u,B^{z-1}TA^{-z}v\rangle$ は帯の上で有界連続、内部で正則です。$\|T^*y\|\le\|By\|$ に $y=B^{-1}w$ を入れると $\|T^*B^{-1}\|\le1$、同様に $\|TA^{-1}\|\le1$ なので

$$|F(iy)|\le\|B^{-1}T\|\|u\|\|v\|=\|T^*B^{-1}\|\|u\|\|v\|\le\|u\|\|v\|,\qquad|F(1+iy)|\le\|TA^{-1}\|\|u\|\|v\|\le\|u\|\|v\|.$$

Hadamard の三線定理（定理 5.4［最大値原理の一般化と正則関数族］）から $|F(\alpha)|\le\|u\|\|v\|$、すなわち $\|B^{\alpha-1}TA^{-\alpha}\|\le1$ です。よって

$$|\langle y,Tx\rangle|=|\langle B^{1-\alpha}y,\,B^{\alpha-1}TA^{-\alpha}\,A^\alpha x\rangle|\le\|B^{1-\alpha}y\|\|A^\alpha x\|.$$

一般の場合. $A_\varepsilon=A+\varepsilon$ は $\|(A+\varepsilon)x\|^2=\|Ax\|^2+2\varepsilon\langle x,Ax\rangle+\varepsilon^2\|x\|^2\ge\|Ax\|^2$ から仮定を満たし、$B_\varepsilon$ も同様です。$(t+\varepsilon)^\alpha\to t^\alpha$ は $[0,\|A\|]$ 上一様なので $A_\varepsilon^\alpha x\to A^\alpha x$ で、極限に移れます。

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$\|Tx\|\le\|Ax\|$ は $T^*T\le A^2$ と同じです。$T=1$, $B=A$ と取れば仮定は自明に成り立ち、結論は $|\langle y,x\rangle|\le\|A^\alpha x\|\|A^{1-\alpha}y\|$（Cauchy–Schwarz の補間）です。非有界作用素への応用では、$\|Tx\|\le\|Ax\|$ という定義域の比較から $A^\alpha$ に関する評価を引き出すのに使います。

定理 4.2（Cordes の不等式）✓

$A,B\ge0$ を有界作用素、$0\le\alpha\le1$ とすると $\|A^\alpha B^\alpha\|\le\|AB\|^\alpha$。

証明（定理 4.2）

まず $B$ を正定値とします。$c=\|AB\|$ と置くと $\|ABx\|\le c\|x\|$ なので $BA^2B\le c^2$、補題 2.1 の 1 を $C=B^{-1}$ で使って $A^2\le c^2B^{-2}$。定理 3.3 を指数 $\alpha$ で使うと $A^{2\alpha}\le c^{2\alpha}B^{-2\alpha}$、再び 1 を $C=B^\alpha$ で使って $B^\alpha A^{2\alpha}B^\alpha\le c^{2\alpha}$。C*-恒等式（定理 3.4［有界作用素と共役作用素］）から $\|A^\alpha B^\alpha\|^2=\|B^\alpha A^{2\alpha}B^\alpha\|\le c^{2\alpha}$ です。一般の $B$ は $B+\varepsilon$ で近似し、$\varepsilon\to0$ とします。

∎

5. 積分作用素と Schur テスト

定理 5.1（Schur テスト）✓

$(X,\mu)$, $(Y,\nu)$ を $\sigma$-有限な測度空間、$K:X\times Y\to\mathbb{C}$ を可測関数とする。正の可測関数 $p$ on $X$, $q$ on $Y$ と定数 $C_1,C_2$ があって、

$$\int_Y|K(x,y)|q(y)\,d\nu(y)\le C_1p(x)\ \ (\mu\text{-a.e. }x),\qquad\int_X|K(x,y)|p(x)\,d\mu(x)\le C_2q(y)\ \ (\nu\text{-a.e. }y)$$

ならば、$(Kf)(x)=\int_YK(x,y)f(y)\,d\nu(y)$ は $f\in L^2(Y)$ について a.e. $x$ で絶対収束し、$\|Kf\|_{L^2(X)}\le\sqrt{C_1C_2}\,\|f\|_{L^2(Y)}$ を満たす。

証明（定理 5.1）

$|K||f|=(|K|q)^{1/2}\cdot(|K|/q)^{1/2}|f|$ と分けて Cauchy–Schwarz の不等式を使うと

$$\int_Y|K(x,y)||f(y)|\,d\nu\le\Bigl(C_1p(x)\Bigr)^{1/2}\Bigl(\int_Y|K(x,y)|\frac{|f(y)|^2}{q(y)}d\nu\Bigr)^{1/2}.$$

2 乗して $x$ で積分し、Tonelli の定理（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）で積分の順序を入れ替えると

$$\int_X\Bigl(\int_Y|K||f|\,d\nu\Bigr)^2d\mu\le C_1\int_Y\frac{|f(y)|^2}{q(y)}\Bigl(\int_X|K(x,y)|p(x)\,d\mu\Bigr)d\nu\le C_1C_2\|f\|_2^2 .$$

とくに左辺の内側の積分は a.e. $x$ で有限です。

∎

$p=q=1$ と取れば、「行和と列和が有界なら $L^2$ 有界」という Young 型の判定になります。重み $p,q$ を選べるのが Schur テストの強みで、斉次な核では冪関数がうまくはまります。

例 5.2（Hilbert の不等式）

$L^2(0,\infty)$ 上の $K(x,y)=1/(x+y)$ に $p(x)=q(x)=x^{-1/2}$ を使うと、$y=xu$ と置いて

$$\int_0^\infty\frac{y^{-1/2}}{x+y}dy=x^{-1/2}\int_0^\infty\frac{u^{-1/2}}{1+u}du=\pi x^{-1/2}$$

（補題 3.2 の証明の積分で $\alpha=\frac12$）、対称性から $C_1=C_2=\pi$ です。よって

$$\Bigl|\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty\frac{f(x)\overline{g(y)}}{x+y}dx\,dy\Bigr|\le\pi\|f\|_2\|g\|_2 .$$

定数 $\pi$ は最良です（Mellin 変換で対角化すると、この作用素のスペクトルが $[0,\pi]$ であることがわかります）。

6. Schatten クラスの変分表示と Hölder 不等式

特異値 $s_n$ と Schatten クラス $\mathcal{S}_p$ は 定義 7.3［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ のとおりです。この節では $\mathcal{H}$ を無限次元の可分 Hilbert 空間とします（有限次元では、以下で使うミニマックス原理を Courant–Fischer の定理 定理 3.1［行列の固有値評価と不等式］ に置き換えれば同じです）。

補題 6.1（特異値の比較）✓

$K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$, $A,B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ について $s_n(K^*)=s_n(K)$ かつ $s_n(AKB)\le\|A\|s_n(K)\|B\|$。

証明（補題 6.1）

コンパクトな正作用素 $C$ の $n$ 番目に大きい固有値（足りなければ $0$）を $\lambda_n(C)$ とすると、ミニマックス原理（定理 6.3［作用素の収束と摂動］）を $-C$ に使って $\lambda_n(C)=-\mu_n(-C)$ です（$-C$ の本質スペクトルは $\{0\}$）。系 6.5［作用素の収束と摂動］ から $0\le C_1\le C_2$ なら $\lambda_n(C_1)\le\lambda_n(C_2)$。$s_n(K)^2=\lambda_n(K^*K)$ で、$K^*A^*AK\le\|A\|^2K^*K$ なので $s_n(AK)\le\|A\|s_n(K)$。極分解 $K=V|K|$ から $KK^*=V|K|^2V^*$ で、$V$ は $\overline{\mathrm{Ran}|K|}$ から $\overline{\mathrm{Ran}K}$ へのユニタリなので、$KK^*$ と $K^*K$ の正の固有値は重複度も込めて一致し、$s_n(K^*)=s_n(K)$。最後に $s_n(KB)=s_n(B^*K^*)\le\|B\|s_n(K)$ です。

∎

定理 6.2（Schatten ノルムの変分表示）✓

$1\le p<\infty$, $K\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$ とする。

$$\sum_ns_n(K)^p=\sup\Bigl\{\sum_n|\langle g_n,Kh_n\rangle|^p:(g_n),(h_n)\text{ は正規直交系}\Bigr\}$$

（両辺とも $\infty$ でありうる）。したがって $\|\cdot\|_p$ は $\mathcal{S}_p$ 上のノルムで、$\mathcal{S}_p$ は Banach 空間であり、$\|K^*\|_p=\|K\|_p$, $\|AKB\|_p\le\|A\|\|K\|_p\|B\|$ が成り立つ。

証明の方針: 右辺の和を、特異値分解の係数 $a_{nk}$ で行・列の両方向から押さえます。Bessel の不等式で行和・列和が $1$ 以下になることが鍵です。

証明（定理 6.2）

特異値分解 $K=\sum_ks_k|f_k\rangle\langle e_k|$（定理 7.2［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）を使い、$a_{nk}=|\langle g_n,f_k\rangle||\langle e_k,h_n\rangle|$ と置きます。Cauchy–Schwarz と Bessel の不等式から $\sum_na_{nk}\le1$, $\sum_ka_{nk}\le1$ です。$|\langle g_n,Kh_n\rangle|\le\sum_ks_ka_{nk}$ で、重み $a_{nk}$ についての Hölder の不等式から

$$\Bigl(\sum_ks_ka_{nk}\Bigr)^p\le\Bigl(\sum_ka_{nk}\Bigr)^{p-1}\sum_ka_{nk}s_k^p\le\sum_ka_{nk}s_k^p .$$

$n$ について足すと $\sum_ks_k^p\sum_na_{nk}\le\sum_ks_k^p$。$g_n=f_n$, $h_n=e_n$ で等号です。

右辺の形から、$\ell^p$ の Minkowski の不等式（定理 4.5［L^p 空間と関数解析への導入］）で三角不等式が、$\langle g,K^*h\rangle=\overline{\langle h,Kg\rangle}$ から $\|K^*\|_p=\|K\|_p$ が出ます。$\|AKB\|_p$ の評価は 補題 6.1 です。完備性: $(K_m)$ が $\|\cdot\|_p$ のコーシー列なら、$\|\cdot\|\le\|\cdot\|_p$ から作用素ノルムで $K$ に収束し、$K$ はコンパクトです。有限個の正規直交ベクトルについて

$$\Bigl(\sum_{n\le N}|\langle g_n,(K-K_m)h_n\rangle|^p\Bigr)^{1/p}=\lim_{l\to\infty}\Bigl(\sum_{n\le N}|\langle g_n,(K_l-K_m)h_n\rangle|^p\Bigr)^{1/p}\le\sup_{l\ge m}\|K_l-K_m\|_p$$

で、上限を取れば $\|K-K_m\|_p\le\sup_{l\ge m}\|K_l-K_m\|_p\to0$ です。

∎

定理 6.3（Schatten クラスの Hölder 不等式）✓

$1\le p,q\le\infty$, $\frac1p+\frac1q=1$ とする（$\mathcal{S}_\infty$ はコンパクト作用素に作用素ノルムを入れたもの）。$K\in\mathcal{S}_p$, $L\in\mathcal{S}_q$ なら $KL\in\mathcal{S}_1$ で $\|KL\|_1\le\|K\|_p\|L\|_q$。

証明（定理 6.3）

$p=\infty$ は 定理 6.2 の $\|KL\|_1\le\|K\|\|L\|_1$ です。$\|KL\|_1=\|L^*K^*\|_1$ で、$p,q$ の一方は $2$ 以上なので、$2\le p<\infty$ としてよいです。

補題. $p\ge2$ と正規直交系 $(v_k)$ について $\sum_k\|Kv_k\|^p\le\|K\|_p^p$。実際、$|K|^2=\sum_js_j^2|e_j\rangle\langle e_j|$ と書くと $\|Kv\|^2=\sum_js_j^2w_j$, $w_j=|\langle e_j,v\rangle|^2$, $\sum_jw_j\le1$ で、$t\mapsto t^{p/2}$ は凸で $0$ で $0$ なので（Jensen の不等式）$\|Kv\|^p\le\sum_jw_js_j^p$。$k$ について足し、Bessel の不等式 $\sum_k|\langle e_j,v_k\rangle|^2\le1$ を使います。

本体. $KL$ と $L$ の特異値分解を $KL=\sum_n\sigma_n|\varphi_n\rangle\langle\psi_n|$, $L=\sum_kt_k|v_k\rangle\langle u_k|$ とすると

$$\|KL\|_1=\sum_n\langle\varphi_n,KL\psi_n\rangle=\sum_n\sum_kt_k\langle u_k,\psi_n\rangle\langle\varphi_n,Kv_k\rangle\le\sum_kt_k\Bigl(\sum_n|\langle u_k,\psi_n\rangle|^2\Bigr)^{\frac12}\Bigl(\sum_n|\langle\varphi_n,Kv_k\rangle|^2\Bigr)^{\frac12},$$

Bessel の不等式から右辺は $\sum_kt_k\|Kv_k\|$ 以下で、数列の Hölder の不等式と補題から $\le\|L\|_q\bigl(\sum_k\|Kv_k\|^p\bigr)^{1/p}\le\|L\|_q\|K\|_p$ です。$KL$ はコンパクトなので特異値分解をもち、上の計算は $n\le N$ の有限和でも同じ上界を与えるので、$\sum_n\sigma_n<\infty$、すなわち $KL\in\mathcal{S}_1$ もこれで示されています。

∎

これで 定理 7.4［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ がすべて証明されました。より一般に $\frac1r=\frac1p+\frac1q$ で $\|KL\|_r\le\|K\|_p\|L\|_q$ も成り立ちますが、これには特異値の積についての Horn の不等式が必要で、ここでは扱いません。

次は散乱理論や Lieb–Thirring 型不等式で使う、「位置の関数 × 運動量の関数」の評価です。$\mathcal{U}$ を $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上のユニタリな Fourier 変換、$\mathcal{W}=\mathcal{U}^{-1}$ とします（定理 4.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）。

命題 6.4（Kato–Seiler–Simon の不等式（p = 2））✓

$f,g\in L^2(\mathbb{R}^d)$ とし、$\varphi\in L^1\cap L^2$ に対し $f(x)g(-i\nabla)\varphi=f\cdot\mathcal{W}(g\cdot\mathcal{U}\varphi)$ と置く。この作用素は Hilbert–Schmidt 作用素に拡張され、

$$\|f(x)g(-i\nabla)\|_2=(2\pi)^{-d/2}\|f\|_2\|g\|_2 .$$

証明（命題 6.4）

$g\in L^1\cap L^2$ なら、Fubini の定理から

$$\mathcal{W}(g\,\mathcal{U}\varphi)(x)=(2\pi)^{-d}\iint g(\xi)\varphi(y)e^{i(x-y)\cdot\xi}\,dy\,d\xi=(2\pi)^{-d/2}\int(\mathcal{W}g)(x-y)\varphi(y)\,dy .$$

両辺は $g\in L^2$ について連続です（左辺は $\|g\,\mathcal{U}\varphi\|_2\le\|\mathcal{U}\varphi\|_\infty\|g\|_2$、右辺は Young の不等式 定理 5.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］ の $\|h*\varphi\|_2\le\|h\|_2\|\varphi\|_1$）ので、等式は全 $g\in L^2$ で成り立ちます。よって作用素は核 $k(x,y)=(2\pi)^{-d/2}f(x)(\mathcal{W}g)(x-y)$ の積分作用素で、Plancherel の定理から

$$\|k\|_{L^2(\mathbb{R}^{2d})}^2=(2\pi)^{-d}\int|f(x)|^2\int|(\mathcal{W}g)(x-y)|^2dy\,dx=(2\pi)^{-d}\|f\|_2^2\|g\|_2^2 .$$

定理 6.4［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ から、核が $L^2$ の積分作用素は Hilbert–Schmidt で、ノルムは核の $L^2$ ノルムです。

∎

$p=2$ の等式と、$p=\infty$ の自明な評価 $\|f(x)g(-i\nabla)\|\le\|f\|_\infty\|g\|_\infty$ の間を補間すると、$2\le p<\infty$ の評価が得られます。Schatten クラス全体の補間理論を用意する代わりに、必要な形だけを三線定理（定理 5.4［最大値原理の一般化と正則関数族］）から直接示します。帯 $\{0\le\mathrm{Re}\,z\le1\}$ を $\overline{S}$ と書きます。

補題 6.5（Schatten ノルムの三線補題）✓

$2\le p<\infty$, $\theta=2/p$ とする。$F:\overline{S}\to\mathcal{B}(\mathcal{H})$ は、任意の $u,v\in\mathcal{H}$ について $z\mapsto\langle u,F(z)v\rangle$ が $\overline{S}$ 上で有界かつ連続、内部で正則であるとし、

$$\sup_{y\in\mathbb{R}}\|F(iy)\|\le M_0,\qquad F(1+iy)\in\mathcal{S}_2,\quad \sup_{y\in\mathbb{R}}\|F(1+iy)\|_2\le M_1$$

を満たすとする。$F(\theta)$ がコンパクトなら $F(\theta)\in\mathcal{S}_p$ で、$\|F(\theta)\|_p\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$。

証明の方針: $\ell^p$ ノルムを、双対的な数列 $c_n$ との内積として測ります。$z=0$ で $\ell^\infty$ 側、$z=1$ で $\ell^2$ 側に対応するよう $c_n(z)$ の指数を選び、$z=\theta$ で元の $p$ に戻ります。

証明（補題 6.5）

定理 6.2 により、有限個の正規直交系 $(g_n)_{n\le N}$, $(h_n)_{n\le N}$ について $a_n=\langle g_n,F(\theta)h_n\rangle$ と置き、$\sum_{n\le N}|a_n|^p\le(M_0^{1-\theta}M_1^\theta)^p$ を示せば十分です（変分表示の右辺の和は有限部分和の上限です）。$\|a\|_p=(\sum|a_n|^p)^{1/p}\gt0$ としてよく、$p'=p/(p-1)$ と置いて

$$c_n=\overline{\mathrm{sgn}\,a_n}\,\frac{|a_n|^{p-1}}{\|a\|_p^{p-1}}$$

とすると $\sum_n|c_n|^{p'}=1$, $\sum_nc_na_n=\|a\|_p$ です（$\mathrm{sgn}\,a=a/|a|$、$\mathrm{sgn}\,0=0$）。$c_n=|c_n|e^{i\alpha_n}$ と書き、

$$c_n(z)=e^{i\alpha_n}|c_n|^{p'(1-z/2)}\quad(c_n=0\text{ なら }c_n(z)=0),\qquad\Phi(z)=\sum_{n\le N}c_n(z)\langle g_n,F(z)h_n\rangle$$

と置きます。$|c_n(z)|=|c_n|^{p'(1-\mathrm{Re}\,z/2)}$ は帯の上で有界なので、$\Phi$ は $\overline{S}$ 上で有界連続、内部で正則です。$p'(1-\theta/2)=p'(1-1/p)=1$ なので $c_n(\theta)=c_n$, $\Phi(\theta)=\|a\|_p$ です。

$\mathrm{Re}\,z=0$ では $|c_n(iy)|=|c_n|^{p'}$ なので $|\Phi(iy)|\le\sum_n|c_n|^{p'}\|F(iy)\|\le M_0$。$\mathrm{Re}\,z=1$ では $|c_n(1+iy)|^2=|c_n|^{p'}$ なので、Cauchy–Schwarz の不等式と 定理 6.2（$p=2$）から

$$|\Phi(1+iy)|\le\Bigl(\sum_n|c_n(1+iy)|^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_n|\langle g_n,F(1+iy)h_n\rangle|^2\Bigr)^{1/2}\le\|F(1+iy)\|_2\le M_1 .$$

三線定理から $\|a\|_p=|\Phi(\theta)|\le M_0^{1-\theta}M_1^\theta$ です。

∎

$f(x)g(-i\nabla)$ を一般の $L^p$ の関数について定めるため、稠密な部分空間 $\mathcal{D}=\{\varphi\in L^2(\mathbb{R}^d):\mathcal{U}\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)\}$ を使います。$\mathcal{D}$ は Schwartz 空間に含まれるので $\mathcal{D}\subset L^1\cap L^2$ で、命題 6.4 の定義域にも入っています。$g$ が局所的に $L^1\cap L^2$ に属すれば、$\varphi\in\mathcal{D}$ について $g\,\mathcal{U}\varphi\in L^1\cap L^2$ なので $\mathcal{W}(g\,\mathcal{U}\varphi)\in L^2\cap L^\infty$（$\|\mathcal{W}h\|_\infty\le(2\pi)^{-d/2}\|h\|_1$）です。さらに $f\in L^p$（$2\le p\le\infty$）なら、$\frac12=\frac1p+\frac1r$ と置いて Hölder の不等式（定理 4.2［L^p 空間と関数解析への導入］）と $\|h\|_r\le\|h\|_2^{2/r}\|h\|_\infty^{1-2/r}$ から

$$f(x)g(-i\nabla)\varphi:=f\cdot\mathcal{W}(g\,\mathcal{U}\varphi)\in L^2$$

が意味を持ちます。

定理 6.6（Kato–Seiler–Simon の不等式）✓

$2\le p<\infty$, $f,g\in L^p(\mathbb{R}^d)$ とする。$\mathcal{D}$ 上の作用素 $f(x)g(-i\nabla)$ は $\mathcal{S}_p$ の元に一意に拡張され、

$$\|f(x)g(-i\nabla)\|_p\le(2\pi)^{-d/p}\|f\|_p\|g\|_p .$$

証明（定理 6.6）

単関数の場合. $f=\sum_i\alpha_i\mathbf{1}_{A_i}$, $g=\sum_j\beta_j\mathbf{1}_{B_j}$（有限和、$A_i$ は互いに素で測度有限、$\alpha_i\ne0$。$B_j,\beta_j$ も同様）とします。$f,g\in L^2\cap L^\infty$ なので、命題 6.4 から $f(x)g(-i\nabla)$ は Hilbert–Schmidt 作用素、とくにコンパクトです。$\mathrm{sgn}\,\alpha_i=\alpha_i/|\alpha_i|$ として

$$F(z)=\sum_{i,j}|\alpha_i|^{pz/2}|\beta_j|^{pz/2}\,\mathrm{sgn}\,\alpha_i\,\mathrm{sgn}\,\beta_j\;\mathbf{1}_{A_i}(x)\,\mathbf{1}_{B_j}(-i\nabla)$$

と置きます（$\mathbf{1}_{B}(-i\nabla)=\mathcal{W}\mathbf{1}_B\,\mathcal{U}$ は射影）。$\langle u,F(z)v\rangle$ は $e^{cz}$ 型の項の有限和なので、帯の上で有界連続、内部で正則です。

• $F(iy)=u_y(x)v_y(-i\nabla)$ で、$|u_y|=\mathbf{1}_{\cup A_i}$, $|v_y|=\mathbf{1}_{\cup B_j}$ です。掛け算作用素と $\mathcal{W}v_y\mathcal{U}$ のノルムは $1$ 以下なので $\|F(iy)\|\le1$。
• $F(1+iy)=u'_y(x)v'_y(-i\nabla)$ で、$|u'_y|=|f|^{p/2}$, $|v'_y|=|g|^{p/2}$ です。命題 6.4 から $\|F(1+iy)\|_2=(2\pi)^{-d/2}\||f|^{p/2}\|_2\||g|^{p/2}\|_2=(2\pi)^{-d/2}\|f\|_p^{p/2}\|g\|_p^{p/2}$。
• $\theta=2/p$ で $|\alpha_i|^{p\theta/2}\mathrm{sgn}\,\alpha_i=\alpha_i$ なので $F(\theta)=f(x)g(-i\nabla)$ で、これはコンパクトです。

補題 6.5 から

$$\|f(x)g(-i\nabla)\|_p\le1^{1-\theta}\Bigl((2\pi)^{-d/2}\|f\|_p^{p/2}\|g\|_p^{p/2}\Bigr)^{2/p}=(2\pi)^{-d/p}\|f\|_p\|g\|_p .$$

一般の場合. 単関数 $f_k\to f$, $g_k\to g$ を、$|f_k|\le|f|$, $|g_k|\le|g|$ かつほとんどいたるところ収束するように取ると、優収束定理で $L^p$ でも収束します。$\mathcal{D}$ 上で

$$f_k(x)g_k(-i\nabla)-f_l(x)g_l(-i\nabla)=(f_k-f_l)(x)g_k(-i\nabla)+f_l(x)(g_k-g_l)(-i\nabla)$$

で、右辺の各項に単関数の場合を使うと、$X_k=f_k(x)g_k(-i\nabla)$ は $\mathcal{S}_p$ のコーシー列です。定理 6.2 の完備性から $X_k\to X\in\mathcal{S}_p$ で、$\|X\|_p=\lim\|X_k\|_p\le(2\pi)^{-d/p}\|f\|_p\|g\|_p$。

残るのは $\varphi\in\mathcal{D}$ で $X\varphi=f\cdot\mathcal{W}(g\,\mathcal{U}\varphi)$ となることです。$\|\cdot\|\le\|\cdot\|_p$ から $X_k\varphi\to X\varphi$ です。一方

$$X_k\varphi-f\,\mathcal{W}(g\,\mathcal{U}\varphi)=(f_k-f)\,\mathcal{W}(g_k\,\mathcal{U}\varphi)+f\,\mathcal{W}\bigl((g_k-g)\,\mathcal{U}\varphi\bigr)$$

で、$\mathcal{U}\varphi$ は有界で台がコンパクトなので、優収束定理から $(g_k-g)\,\mathcal{U}\varphi\to0$ は $L^1$ と $L^2$ の両方で成り立ち、$\mathcal{W}(\cdot)$ は $L^2\cap L^\infty$ で $0$ に収束します。$\mathcal{W}(g_k\,\mathcal{U}\varphi)$ の $L^2$ ノルムと $L^\infty$ ノルムは $|g_k|\le|g|$ から $k$ によらず有界です。上の Hölder の評価 $\|fh\|_2\le\|f\|_p\|h\|_r$ を両項に使えば、右辺は $L^2$ で $0$ に収束します。よって $X$ は $\mathcal{D}$ 上で $f(x)g(-i\nabla)$ に一致し、$\mathcal{D}$ は稠密なので拡張は一意です。

∎

$p\to\infty$ の極限では右辺は $\|f\|_\infty\|g\|_\infty$ になり、自明な作用素ノルムの評価に一致します。$p\lt2$ では同じ形の評価は成り立ちません（注意 6.9）。

$g$ が $L^p$ に入らないが弱 $L^p$ に入る場合（典型例は $|\xi|^{-1}$ で、$|\{|\xi|^{-1}\gt t\}|=\omega_dt^{-d}$。$\omega_d$ は単位球の体積）には、$\mathcal{S}_p$ に入ることは期待できませんが、特異値の減衰の速さ $s_n=O(n^{-1/p})$ は保たれます。これが Cwikel の評価で、Schrödinger 作用素の束縛状態の個数の評価（CLR 不等式）の核心です。弱 $L^p$ の擬ノルム $[g]_{p,\infty}=\sup_{t\gt0}t\,|\{|g|\gt t\}|^{1/p}$ は 定義 2.1［補間と古典的不等式］ のとおりです。まず特異値についての簡単な補題を用意します。

補題 6.7（有界な摂動と特異値）✓

$B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$, $R\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$ で $B+R$ がコンパクトなら、すべての $n$ で $s_n(B+R)\le\|B\|+s_n(R)$。また $R\in\mathcal{S}_2$ なら $s_n(R)\le n^{-1/2}\|R\|_2$。

証明（補題 6.7）

$K=B+R$ とし、$s_n(K)\gt0$ としてよいです。特異値分解 $K=\sum_ks_k(K)|f_k\rangle\langle e_k|$, $R=\sum_kt_k|f'_k\rangle\langle e'_k|$（定理 7.2［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］。$t_k=s_k(R)$）を取ります。$n$ 次元の空間 $L=\mathrm{span}\{e_1,\ldots,e_n\}$ には $e'_1,\ldots,e'_{n-1}$ のすべて（$R$ の特異値が $n-1$ 個未満ならあるものすべて）に直交する単位ベクトル $x$ があります（高々 $n-1$ 個の一次条件）。$x\in L$ なので $\|Kx\|^2=\sum_{k\le n}s_k(K)^2|\langle e_k,x\rangle|^2\ge s_n(K)^2$、また $\|Rx\|^2=\sum_{k\ge n}t_k^2|\langle e'_k,x\rangle|^2\le t_n^2$ です。よって $s_n(K)\le\|Kx\|\le\|Bx\|+\|Rx\|\le\|B\|+s_n(R)$。後半は特異値の単調性から $ns_n(R)^2\le\sum_{k\le n}s_k(R)^2\le\|R\|_2^2$ です。

∎

定理 6.8（Cwikel の評価）✓

$p\gt2$ とし、$f\in L^p(\mathbb{R}^d)$、$g$ は $[g]_{p,\infty}\lt\infty$ を満たす可測関数とする。このとき $\mathcal{D}$ 上の作用素 $f(x)g(-i\nabla)$ はコンパクト作用素 $A$ に一意に拡張され、すべての $n\ge1$ で

$$s_n(A)\le C_{d,p}\,n^{-1/p}\,\|f\|_p\,[g]_{p,\infty},\qquad C_{d,p}=5+8(2\pi)^{-d/2}\Bigl(\frac{2^p}{2^p-4}\Bigr)^{1/2}.$$

証明の方針: $f$ と $g$ を大きさ $2^j$, $2^k$ ごとの層に分け、積の大きさ $2^{j+k}$ が小さい側は作用素ノルムで、大きい側は Hilbert–Schmidt ノルムで評価します（要点は証明のあとにまとめています）。

証明（定理 6.8）

準備. $f\cdot\mathcal{W}(g\,\mathcal{U}\varphi)$ が $\varphi\in\mathcal{D}$ で意味を持つには $g$ が局所的に $L^1\cap L^2$ であればよく（上の注意）、それは 補題 2.2［補間と古典的不等式］ と $p\gt2$ から出ます: 半径 $\rho$ の球 $B_\rho$ 上で $\int_{B_\rho}|g|^2=\int_0^\infty2t\,|\{|g|\gt t\}\cap B_\rho|\,dt\le\int_0^\infty2t\min(|B_\rho|,[g]_{p,\infty}^pt^{-p})\,dt\lt\infty$。両辺は $f$ と $g$ について斉次なので、$\|f\|_p=[g]_{p,\infty}=1$ としてよいです。

$j,k\in\mathbb{Z}$ について

$$F_j=\{2^j\le|f|\lt2^{j+1}\},\quad f_j=f\mathbf{1}_{F_j},\quad a_j=|F_j|;\qquad G_k=\{2^k\le|g|\lt2^{k+1}\},\quad g_k=g\mathbf{1}_{G_k}$$

と置きます。$\sum_j2^{jp}a_j\le\int|f|^p=1$ です。また $\{|g|\ge s\}=\bigcap_{t\lt s}\{|g|\gt t\}$ なので $|\{|g|\ge s\}|\le s^{-p}$、とくに $|G_k|\le2^{-kp}$ です。整数 $m$ を固定し、$f_j\ne0$ となる各 $j$ で $g$ を「$j+k\le m$ の部分」と「$j+k\gt m$ の部分」に分けます:

$$e_j=g\,\mathbf{1}_{\{|g|\lt2^{m-j+1}\}}=\sum_{k\le m-j}g_k,\qquad h_j=g\,\mathbf{1}_{\{|g|\ge2^{m-j+1}\}}=\sum_{k\ge m-j+1}g_k .$$

$f=\sum_jf_j$ で $F_j$ は互いに素なので、$\varphi\in\mathcal{D}$ について $F_j$ の上で $f\,\mathcal{W}(g\,\mathcal{U}\varphi)=f_j\mathcal{W}(e_j\,\mathcal{U}\varphi)+f_j\mathcal{W}(h_j\,\mathcal{U}\varphi)$ です。

有界な部分. $|f_j|\lt2^{j+1}$ と $F_j$ の互いに素であることから

$$\Bigl\|\sum_jf_j\mathcal{W}(e_j\,\mathcal{U}\varphi)\Bigr\|^2=\sum_j\|f_j\mathcal{W}(e_j\,\mathcal{U}\varphi)\|^2\le\int\Bigl(\sum_j4^{j+1}|e_j(\xi)|^2\Bigr)|\mathcal{U}\varphi(\xi)|^2\,d\xi .$$

$g(\xi)\ne0$ を固定すると、$e_j(\xi)\ne0$ となるのは $2^j|g(\xi)|\lt2^{m+1}$ を満たす $j$、すなわちある $j_0$ 以下のすべての整数で、等比級数から

$$\sum_j4^{j+1}|e_j(\xi)|^2=4|g(\xi)|^2\sum_{j\le j_0}4^j=\frac{16}{3}\bigl(2^{j_0}|g(\xi)|\bigr)^2\lt\frac{64}{3}\,4^m .$$

よって $B_m\varphi=\sum_jf_j\mathcal{W}(e_j\,\mathcal{U}\varphi)$ は $\|B_m\|\le(8/\sqrt3)2^m\lt5\cdot2^m$ の有界作用素に拡張されます。

Hilbert–Schmidt の部分. $\|f_j\|_2^2\le4^{j+1}a_j$、また $p\gt2$ から

$$\|h_j\|_2^2=\sum_{k\ge m-j+1}\|g_k\|_2^2\le\sum_{k\ge m-j+1}4^{k+1}2^{-kp}=\frac{4\cdot2^{(m-j+1)(2-p)}}{1-2^{2-p}}$$

は有限です。命題 6.4 から $X_j=f_j(x)h_j(-i\nabla)$ は Hilbert–Schmidt 作用素で、$X_j$ の値域は $L^2(F_j)$ に含まれます。$F_j$ は互いに素なので、任意の正規直交基底 $(u_n)$ について $\|\sum_{j\in J}X_ju_n\|^2=\sum_{j\in J}\|X_ju_n\|^2$、したがって有限集合 $J$ について $\|\sum_{j\in J}X_j\|_2^2=\sum_{j\in J}\|X_j\|_2^2$ です。

$$\sum_j\|X_j\|_2^2=(2\pi)^{-d}\sum_j\|f_j\|_2^2\|h_j\|_2^2\le(2\pi)^{-d}\frac{16\cdot2^{2-p}}{1-2^{2-p}}\,2^{m(2-p)}\sum_j2^{2j}2^{-j(2-p)}a_j\le(2\pi)^{-d}\frac{64}{2^p-4}\,2^{m(2-p)}$$

（最後に $\sum_j2^{jp}a_j\le1$）なので、部分和は $\mathcal{S}_2$ のコーシー列で、定理 6.2 の完備性から $R_m=\sum_jX_j\in\mathcal{S}_2$ が定まり、$\|R_m\|_2^2\le(2\pi)^{-d}\frac{64}{2^p-4}2^{m(2-p)}$ です。$\mathcal{D}\subset L^1\cap L^2$ なので $R_m\varphi=\sum_jf_j\mathcal{W}(h_j\,\mathcal{U}\varphi)$（$L^2$ 収束）です。

結論. 以上から $\mathcal{D}$ 上で $f(x)g(-i\nabla)=B_m+R_m$ で、右辺の有界作用素を $A$ とすると、$\mathcal{D}$ の稠密性から $A$ は $m$ によりません。$\|A-R_m\|=\|B_m\|\lt5\cdot2^m\to0$（$m\to-\infty$）で $R_m$ はコンパクトなので、命題 3.2［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ から $A$ もコンパクトです。補題 6.7 から、すべての $m$ で

$$s_n(A)\le\|B_m\|+n^{-1/2}\|R_m\|_2\le5\cdot2^m+8(2\pi)^{-d/2}(2^p-4)^{-1/2}\,2^{m(1-p/2)}n^{-1/2}.$$

$2^m\le n^{-1/p}\lt2^{m+1}$ となる $m$ を選ぶと $2^{-m}\lt2n^{1/p}$ なので $2^{m(1-p/2)}=2^m(2^{-m})^{p/2}\lt n^{-1/p}2^{p/2}n^{1/2}$ で、

$$s_n(A)\lt\Bigl(5+8(2\pi)^{-d/2}\Bigl(\frac{2^p}{2^p-4}\Bigr)^{1/2}\Bigr)n^{-1/p}.$$∎

証明の要は、二重の 2 進分解 $f(x)g(\xi)=\sum_{j,k}f_j(x)g_k(\xi)$ を対角線 $j+k=m$ で切ることです。$j+k\le m$ の側は大きさが $2^{j+k}\lesssim2^m$ の積の集まりで、$x$ 側の台が互いに素なので作用素ノルムが $2^m$ 程度に収まります。$j+k\gt m$ の側は $L^2$ ノルムが有限で、$p\gt2$ のおかげで $k$ についての和 $\sum2^{k(2-p)}$ が収束します。$p=2$ では最後の和が発散し、評価は成り立ちません。

注意 6.9

$2\le p\lt\infty$ の Kato–Seiler–Simon の不等式は 定理 6.6、弱 $L^p$ 版は 定理 6.8 で証明しました。$p\lt2$ では同じ形の評価は成り立たず、Birman–Solomyak の定理（$f,g$ を格子 $\mathbb{Z}^d$ の各単位立方体上の $L^2$ ノルムを並べた $\ell^p(L^2)$ 型のノルムで測る）がその代わりになります。こちらは主張のみとします。理由: 格子上の分解と、$\mathcal{S}_p$（$p\lt1$ を含む）の準ノルムでの和の評価を別に準備する必要があるためです。文献: B. Simon, Trace Ideals and Their Applications, 第 4 章。

7. 二重作用素積分と Daleckii–Krein 公式

この節では有限次元の Hermite 行列を扱い、定数が次元によらないことに注意を払います。$A=\sum_i\lambda_iP_i$, $B=\sum_j\mu_jQ_j$ をスペクトル分解（$P_i$, $Q_j$ は直交射影で $\sum P_i=\sum Q_j=1$）とし、関数 $\phi$ に対して

$$T^{A,B}_\phi(X)=\sum_{i,j}\phi(\lambda_i,\mu_j)\,P_iXQ_j$$

と置きます（二重作用素積分の有限次元版）。$f\in C^1(\mathbb{R})$ の差分商を $f^{[1]}(\lambda,\mu)=\int_0^1f'(\mu+s(\lambda-\mu))\,ds$ と定めます（$\lambda\ne\mu$ では $(f(\lambda)-f(\mu))/(\lambda-\mu)$、$\lambda=\mu$ では $f'(\lambda)$。$\mathbb{R}^2$ 上連続）。

補題 7.1（二重作用素積分の基本性質）✓

1. $\|T^{A,B}_\phi(X)\|_2\le\max_{i,j}|\phi(\lambda_i,\mu_j)|\,\|X\|_2$（Hilbert–Schmidt ノルム）。
2. $f\in C^1(\mathbb{R})$ なら $f(A)-f(B)=T^{A,B}_{f^{[1]}}(A-B)$。

証明（補題 7.1）

1: $\mathrm{tr}\bigl((P_iXQ_j)^*P_kXQ_l\bigr)=\mathrm{tr}(Q_lQ_jX^*P_iP_kX)=\delta_{ik}\delta_{jl}\|P_iXQ_j\|_2^2$ なので、ブロック $P_iXQ_j$ は Hilbert–Schmidt 内積で互いに直交し、$\|T_\phi(X)\|_2^2=\sum|\phi_{ij}|^2\|P_iXQ_j\|_2^2\le\max|\phi_{ij}|^2\|X\|_2^2$。2: $P_i(A-B)Q_j=(\lambda_i-\mu_j)P_iQ_j$ で、$f^{[1]}(\lambda_i,\mu_j)(\lambda_i-\mu_j)=f(\lambda_i)-f(\mu_j)$（$\lambda_i=\mu_j$ でも両辺 $0$）なので

$$T_{f^{[1]}}(A-B)=\sum_{i,j}\bigl(f(\lambda_i)-f(\mu_j)\bigr)P_iQ_j=f(A)\sum_jQ_j-\sum_iP_if(B)=f(A)-f(B).$$∎

定理 7.2（Hilbert–Schmidt ノルムでのリプシッツ性）✓

$f\in C^1(\mathbb{R})$ で $f'$ が有界なら、任意の次元の Hermite 行列 $A,B$ について $\|f(A)-f(B)\|_2\le\|f'\|_\infty\|A-B\|_2$。

証明（定理 7.2）

$|f^{[1]}|\le\|f'\|_\infty$ なので 補題 7.1 の 1 と 2 からただちに出ます。

∎

作用素ノルムでは同じ評価は成り立ちません。$f(t)=|t|$ はリプシッツですが、$\||A|-|B|\|\le C\|A-B\|$ となる次元によらない $C$ は存在しないことが知られています（Kato, McIntosh, Davies）。Hilbert–Schmidt ノルムで評価が自明になるのは、補題 7.1 の 1 のように「Schur 積」がブロックの直交性と両立するからです。

定理 7.3（Daleckii–Krein 公式）✓

$A,B$ を Hermite 行列、$A=\sum_i\lambda_iP_i$ とし、$f\in C^1(\mathbb{R})$ とする。このとき

$$\frac{d}{dt}f(A+tB)\Big|_{t=0}=T^{A,A}_{f^{[1]}}(B)=\sum_{i,j}f^{[1]}(\lambda_i,\lambda_j)P_iBP_j .$$

とくに $\frac{d}{dt}\mathrm{tr}f(A+tB)|_{t=0}=\mathrm{tr}\bigl(f'(A)B\bigr)$。

証明（定理 7.3）

補題 7.1 の 2 を $A+tB$ と $A$ に使うと $\frac1t\bigl(f(A+tB)-f(A)\bigr)=T^{A+tB,A}_{f^{[1]}}(B)$ です。$t\to0$ でこれが $T^{A,A}_{f^{[1]}}(B)$ に収束することを示します。$\phi(\lambda,\mu)=p(\lambda)q(\mu)$ の形なら $T^{A',A}_\phi(X)=p(A')Xq(A)$ は $A'$ について連続です。連続関数 $f^{[1]}$ は、スペクトルを含む正方形の上で、こうした積の有限和（2 変数多項式）で一様に近似できます（Stone–Weierstrass の定理 定理 4.3［Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass］）。補題 7.1 の 1 の一様な評価と合わせると（$\varepsilon/3$ 論法）、$A'\mapsto T^{A',A}_{f^{[1]}}(B)$ は連続です。トレースについては、$\mathrm{tr}(P_iBP_j)=\mathrm{tr}(P_jP_iB)=0$（$i\ne j$）と $f^{[1]}(\lambda_i,\lambda_i)=f'(\lambda_i)$ から $\mathrm{tr}\,T_{f^{[1]}}(B)=\sum_if'(\lambda_i)\mathrm{tr}(P_iB)=\mathrm{tr}(f'(A)B)$ です。

∎

注意 7.4

無限次元では、2 つの可換な射影値測度 $X\mapsto E_A(\cdot)X$ と $X\mapsto XE_B(\cdot)$ の積測度で $\int\!\!\int\phi(\lambda,\mu)\,dE_A(\lambda)\,X\,dE_B(\mu)$ を Hilbert–Schmidt 作用素の空間上で定義できます（Birman–Solomyak の二重作用素積分）。定理 7.2 は $A-B\in\mathcal{S}_2$ の自己共役作用素にそのまま拡張されます。$\mathcal{S}_1$ や作用素ノルムで同じことをするには $\phi$ を積の積分で表す必要があり、$f$ が Besov 空間に属するといった条件が現れます（Peller の理論）。

8. トレース不等式

定理 8.1（Klein の不等式）✓

$A,B$ を Hermite 行列、$f$ をスペクトルを含む区間 $I$ 上の凸関数で、$B$ のスペクトル上で微分可能とする。このとき

$$\mathrm{tr}\bigl[f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)\bigr]\ge0 .$$

$f$ が狭義凸なら、等号は $A=B$ のときに限る。

証明（定理 8.1）

$A=\sum_ia_i|u_i\rangle\langle u_i|$, $B=\sum_jb_j|v_j\rangle\langle v_j|$（正規直交固有基底）とし、$c_{ij}=|\langle u_i,v_j\rangle|^2$ と置くと $\sum_ic_{ij}=\sum_jc_{ij}=1$ です。$\mathrm{tr}f(A)=\sum_{i,j}c_{ij}f(a_i)$, $\mathrm{tr}f(B)=\sum_{i,j}c_{ij}f(b_j)$, $\mathrm{tr}((A-B)f'(B))=\sum_{i,j}c_{ij}(a_i-b_j)f'(b_j)$ なので

$$\mathrm{tr}\bigl[f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)\bigr]=\sum_{i,j}c_{ij}\bigl[f(a_i)-f(b_j)-(a_i-b_j)f'(b_j)\bigr]\ge0$$

（凸関数は接線の上にある）。狭義凸で等号なら、$c_{ij}>0$ となる組で $a_i=b_j$ なので $Av_j=\sum_ia_i\langle u_i,v_j\rangle u_i=b_jv_j$、すなわち $A=B$ です。

∎

定理 8.2（Gibbs の変分原理）✓

$H$ を Hermite 行列、$Z=\mathrm{tr}\,e^{-H}$ とする。密度行列 $\rho$（$\rho\ge0$, $\mathrm{tr}\rho=1$）について

$$\mathrm{tr}(\rho H)+\mathrm{tr}(\rho\log\rho)\ge-\log Z$$

（$0\log0=0$）であり、等号は $\rho=e^{-H}/Z$ のときに限る。

証明（定理 8.2）

$\sigma=e^{-H}/Z$ は正定値で $\log\sigma=-H-\log Z$ です。$f(t)=t\log t$ は $[0,\infty)$ 上で狭義凸、$(0,\infty)$ で $f'(t)=\log t+1$ です。定理 8.1 を $A=\rho$, $B=\sigma$ に使うと

$$\mathrm{tr}(\rho\log\rho)-\mathrm{tr}(\sigma\log\sigma)-\mathrm{tr}\bigl((\rho-\sigma)(\log\sigma+1)\bigr)=\mathrm{tr}(\rho\log\rho)-\mathrm{tr}(\rho\log\sigma)\ge0$$

（$\mathrm{tr}\rho=\mathrm{tr}\sigma=1$）。$-\mathrm{tr}(\rho\log\sigma)=\mathrm{tr}(\rho H)+\log Z$ を代入すれば主張で、等号条件も Klein の不等式からです。

∎

左辺 $\mathrm{tr}(\rho\log\rho)-\mathrm{tr}(\rho\log\sigma)$ は相対エントロピー $S(\rho\|\sigma)$ で、その非負性が統計力学の自由エネルギー最小原理です。

系 8.3（Peierls–Bogoliubov の不等式）✓

Hermite 行列 $A,B$ について

$$\frac{\mathrm{tr}\,e^{A+B}}{\mathrm{tr}\,e^A}\ge\exp\Bigl(\frac{\mathrm{tr}(e^AB)}{\mathrm{tr}\,e^A}\Bigr).$$

証明（系 8.3）

定理 8.2 を $H=-(A+B)$ と $\rho=e^A/\mathrm{tr}\,e^A$ に使います。$\mathrm{tr}(\rho\log\rho)=\mathrm{tr}(\rho A)-\log\mathrm{tr}\,e^A$ なので

$$-\mathrm{tr}(\rho A)-\mathrm{tr}(\rho B)+\mathrm{tr}(\rho A)-\log\mathrm{tr}\,e^A\ge-\log\mathrm{tr}\,e^{A+B},$$

すなわち $\log\mathrm{tr}\,e^{A+B}-\log\mathrm{tr}\,e^A\ge\mathrm{tr}(\rho B)$ です。

∎

統計力学の言葉では、$A=-\beta H_0$, $B=-\beta V$ として「$H_0+V$ の自由エネルギーは、$H_0$ の自由エネルギーに $V$ の $H_0$ の Gibbs 状態での期待値を足したもの以下」（Bogoliubov の不等式）で、平均場近似が自由エネルギーの上界を与える理由です。

Peierls–Bogoliubov の不等式は $\mathrm{tr}\,e^{A+B}$ の下界でした。上界を与えるのが Golden–Thompson の不等式です。証明の道具は、非正規行列の固有値と特異値を比べる Weyl の不等式と、Lie–Trotter の積公式です。以下、$T\in M_n(\mathbb{C})$ の特異値 $s_1(T)\ge\cdots\ge s_n(T)\ge0$ は $T^*T$ の固有値の非負平方根とします。

補題 8.4（Weyl の優越不等式）✓

$T\in M_n(\mathbb{C})$ の固有値を重複度込みで $|\lambda_1|\ge\cdots\ge|\lambda_n|$ と並べ、$s_i=s_i(T)$ とする。このとき

1. $1\le k\le n$ について $\prod_{i\le k}|\lambda_i|\le\prod_{i\le k}s_i$。
2. 任意の $p>0$ について $\sum_i|\lambda_i|^p\le\sum_is_i^p$。

証明（補題 8.4）

1. Schur 分解（定理 3.1［行列の分解と標準形］）で $T=URU^*$、$R$ は上三角で対角成分が順に $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ とします。$T^*T=UR^*RU^*$ なので $s_i(T)=s_i(R)$ です。$E:\mathbb{C}^k\to\mathbb{C}^n$ を最初の $k$ 座標への埋め込み、$R_k=E^*RE$（左上の $k\times k$ ブロック）とします。$R$ は上三角なので最初の $k$ 個の基底ベクトルの張る部分空間を保ち、$RE=ER_k$ です。$E^*E=1_k$ と合わせて

$$R_k^*R_k=R_k^*E^*ER_k=E^*R^*RE .$$

Courant–Fischer の定理（定理 3.1［行列の固有値評価と不等式］）から、$i\le k$ について

$$s_i(R_k)^2=\max_{\dim S=i}\ \min_{x\in S,\|x\|=1}\langle R^*REx,Ex\rangle\le s_i(R)^2$$

です（$S\subset\mathbb{C}^k$ が $i$ 次元なら $ES\subset\mathbb{C}^n$ も $i$ 次元で、$\|Ex\|=\|x\|$）。$R_k$ は対角成分 $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ の上三角行列なので

$$\prod_{i\le k}|\lambda_i|=|\det R_k|=\det(R_k^*R_k)^{1/2}=\prod_{i\le k}s_i(R_k)\le\prod_{i\le k}s_i .$$

2. $\lambda_i\ne0$ となる $i$ の個数を $r$ とします（$r=0$ なら自明）。1 から $i\le r$ で $s_i>0$ です。$x_i=\log|\lambda_i|$, $y_i=\log s_i$（$i\le r$）はどちらも非増加で、1 から $D_k=\sum_{i\le k}(y_i-x_i)\ge0$ です。$g(u)=e^{pu}$ は凸で増加なので、弦の傾き $c_i=\frac{g(y_i)-g(x_i)}{y_i-x_i}$（$x_i=y_i$ なら $g'(x_i)$）は両端点のそれぞれについて非減少です（凸関数の三弦補題）。$x_i\ge x_{i+1}$, $y_i\ge y_{i+1}$ なので $c_1\ge c_2\ge\cdots\ge c_r\ge0$。Abel の総和法（$D_0=0$）で

$$\sum_{i\le r}\bigl(g(y_i)-g(x_i)\bigr)=\sum_{i\le r}c_i(D_i-D_{i-1})=\sum_{i<r}(c_i-c_{i+1})D_i+c_rD_r\ge0 .$$

よって $\sum_i|\lambda_i|^p=\sum_{i\le r}|\lambda_i|^p\le\sum_{i\le r}s_i^p\le\sum_is_i^p$ です。

∎

補題 8.5（冪のトレースの比較）✓

$X,Y$ を正定値行列、$m\ge1$ を整数とすると $\mathrm{tr}\bigl((XY)^{2m}\bigr)\le\mathrm{tr}\bigl((X^2Y^2)^m\bigr)$。

証明（補題 8.5）

$XY=X^{1/2}\bigl(X^{1/2}YX^{1/2}\bigr)X^{-1/2}$ は正定値行列 $X^{1/2}YX^{1/2}$ に相似なので、固有値 $\lambda_i$ は正です。Schur 分解の上三角行列の冪を考えれば $(XY)^{2m}$ の固有値は $\lambda_i^{2m}$ で、補題 8.4 の 2 を $p=2m$ で使うと

$$\mathrm{tr}\bigl((XY)^{2m}\bigr)=\sum_i\lambda_i^{2m}\le\sum_is_i(XY)^{2m}=\mathrm{tr}\bigl(((XY)^*XY)^m\bigr)=\mathrm{tr}\bigl((YX^2Y)^m\bigr).$$

$(YX^2Y)^m=Y(X^2Y^2)^{m-1}X^2Y$ とトレースの巡回性から、右辺は $\mathrm{tr}\bigl((X^2Y^2)^m\bigr)$ です。

∎

定理 8.6（Golden–Thompson の不等式）✓

Hermite 行列 $A,B$ について $\mathrm{tr}\,e^{A+B}\le\mathrm{tr}\bigl(e^Ae^B\bigr)$。

証明（定理 8.6）

$k\ge1$ を固定し、$X=e^{A/2^k}$, $Y=e^{B/2^k}$（正定値）と置きます。補題 8.5 を正定値行列の組 $(X^{2^j},Y^{2^j})$ と $m=2^{k-j-1}$ に $j=0,1,\ldots,k-1$ の順で使うと

$$\mathrm{tr}\bigl((XY)^{2^k}\bigr)\le\mathrm{tr}\bigl((X^2Y^2)^{2^{k-1}}\bigr)\le\mathrm{tr}\bigl((X^4Y^4)^{2^{k-2}}\bigr)\le\cdots\le\mathrm{tr}\bigl(X^{2^k}Y^{2^k}\bigr)=\mathrm{tr}\bigl(e^Ae^B\bigr).$$

左辺は $\mathrm{tr}\bigl((e^{A/2^k}e^{B/2^k})^{2^k}\bigr)$ で、Lie–Trotter の積公式（命題 2.2［行列 Lie 群と指数写像］）を部分列 $2^k$ に使えば $(e^{A/2^k}e^{B/2^k})^{2^k}\to e^{A+B}$ です。トレースは連続なので $k\to\infty$ として主張を得ます。

∎

$A,B$ が可換なら両辺は等しく、Golden–Thompson の不等式は「非可換性は $\mathrm{tr}\,e^{A+B}$ を小さくする方向にしか働かない」と読めます。系 8.3 と合わせると、$\mathrm{tr}\,e^{A+B}$ は可換な場合の公式で上下から挟まれます。3 つの行列では $\mathrm{tr}\,e^{A+B+C}\le|\mathrm{tr}(e^Ae^Be^C)|$ は一般には成り立たず、Lieb はその代わりになる三重行列の不等式を与えました。

注意 8.7

補題 8.5 の反復で得た $\mathrm{tr}(XY)^{2^k}\le\mathrm{tr}(X^{2^k}Y^{2^k})$ は、実際には任意の正の整数冪で成り立ち、さらに $\mathrm{tr}\bigl((Y^{1/2}XY^{1/2})^{rp}\bigr)\le\mathrm{tr}\bigl((Y^{r/2}X^rY^{r/2})^p\bigr)$（$r\ge1$, $p>0$）に一般化されます（Araki–Lieb–Thirring の不等式）。こちらは外積冪を使った特異値の対数的優越が必要で、この記事では扱いません。Golden–Thompson の不等式の証明には 2 の冪の場合で足ります。もう一つの柱である Lieb の凹性定理は、次節で作用素凸関数を用意して証明します。

9. 作用素凸関数と Lieb の凹性定理

この節では有限次元で考え、$M_n$ は $n$ 次複素正方行列の全体、$P,Q>0$ は正定値を表します。Hermite 行列の間の不等式はすべて Löwner 順序です。

定義 9.1（作用素凸関数・同時凹写像）↗

区間 $I$ 上の連続関数 $f$ が作用素凸であるとは、任意の $n$ と、スペクトルが $I$ に含まれる Hermite 行列 $A,B\in M_n$、$0\le\lambda\le1$ について

$$f\bigl(\lambda A+(1-\lambda)B\bigr)\le\lambda f(A)+(1-\lambda)f(B)$$

が成り立つことをいう。$-f$ が作用素凸のとき $f$ を作用素凹という。正定値行列の組 $(P,Q)$ から Hermite 行列への写像 $\Phi$ が同時凹であるとは、$\Phi\bigl(\lambda P_1+(1-\lambda)P_2,\lambda Q_1+(1-\lambda)Q_2\bigr)\ge\lambda\Phi(P_1,Q_1)+(1-\lambda)\Phi(P_2,Q_2)$ が成り立つことをいう。

$\lambda A+(1-\lambda)B$ の固有値は $A,B$ の最小固有値の凸結合以上、最大固有値の凸結合以下（Rayleigh 商）なので、左辺の $f$ は定義されています。行列の不等式 $M\ge N$ は「全ベクトル $x$ で $\langle x,Mx\rangle\ge\langle x,Nx\rangle$」なので、凹性は各 $x$ ごとの 2 次形式の凹性に帰着します。とくに、各 $x$ について $\langle x,\Phi(\cdot)x\rangle$ が線形な関数族の下限や、凹関数の正の重みによる積分で書ければ、$\Phi$ は凹です。以下ではこの原理を繰り返し使います。

補題 9.2（逆行列の変分表示と作用素凸性）✓

$P>0$ と $x\in\mathbb{C}^n$ について

$$\langle x,P^{-1}x\rangle=\max_{y\in\mathbb{C}^n}\bigl(2\,\mathrm{Re}\langle x,y\rangle-\langle y,Py\rangle\bigr)$$

であり、最大は $y=P^{-1}x$ で達成される。したがって $t\mapsto t^{-1}$ は $(0,\infty)$ 上の作用素凸関数である。

証明（補題 9.2）

展開すると

$$\bigl\langle y-P^{-1}x,\,P(y-P^{-1}x)\bigr\rangle=\langle y,Py\rangle-2\,\mathrm{Re}\langle x,y\rangle+\langle x,P^{-1}x\rangle\ge0$$

で、等号は $y=P^{-1}x$ のときです。右辺の括弧の中は各 $y$ について $P$ のアフィン関数なので、その最大値は $P$ の凸関数です。

∎

補題 9.3（並列和の同時凹性）✓

$P,Q>0$ について $P:Q=(P^{-1}+Q^{-1})^{-1}$ と置くと、

$$\langle x,(P:Q)x\rangle=\min_{y\in\mathbb{C}^n}\bigl(\langle y,Py\rangle+\langle x-y,Q(x-y)\rangle\bigr).$$

したがって $(P,Q)\mapsto P:Q$ は同時凹である。

証明（補題 9.3）

$M=P:Q$, $y_0=P^{-1}Mx$ と置きます。$(P^{-1}+Q^{-1})M=1$ から $x-y_0=Q^{-1}Mx$ なので $Py_0=Q(x-y_0)=Mx$ です。$y=y_0+h$ と書くと、交差項 $2\,\mathrm{Re}\langle h,Py_0-Q(x-y_0)\rangle$ が消えて

$$\langle y,Py\rangle+\langle x-y,Q(x-y)\rangle=\langle y_0,Py_0\rangle+\langle x-y_0,Q(x-y_0)\rangle+\langle h,(P+Q)h\rangle .$$

最後の項は非負で、$h=0$ での値は $\langle P^{-1}Mx,Mx\rangle+\langle Q^{-1}Mx,Mx\rangle=\langle(P^{-1}+Q^{-1})Mx,Mx\rangle=\langle x,Mx\rangle$ です。右辺の括弧の中は各 $y$ について $(P,Q)$ の線形関数なので、その最小値は同時凹です。

∎

定理 9.4（冪関数の作用素凹性）✓

$0\le\alpha\le1$ なら $t\mapsto t^\alpha$ は $[0,\infty)$ 上の作用素凹関数である。また $\log$ は $(0,\infty)$ 上の作用素凹関数である。

証明（定理 9.4）

$\alpha=0,1$ は自明なので $0<\alpha<1$ とします。$s>0$ について $A\mapsto A(s+A)^{-1}=1-s(s+A)^{-1}$ は、補題 9.2 を $s+A$ に使えば作用素凹です。定理 3.3 の証明と同じく、補題 3.2 から

$$\langle x,A^\alpha x\rangle=\frac{\sin\pi\alpha}{\pi}\int_0^\infty s^{\alpha-1}\langle x,A(s+A)^{-1}x\rangle\,ds$$

で、被積分関数は各 $s$ で $A$ の凹関数、重みは正なので、左辺は $A$ の凹関数です。$\log$ については、系 3.4 の証明と同じく $(A^\alpha-1)/\alpha\to\log A$ が $\alpha\downarrow0$ でノルム収束し、凹性の不等式は極限で保たれます。

∎

一方 $t^2$ は作用素凸ですが（$\frac{A^2+B^2}2-\bigl(\frac{A+B}2\bigr)^2=\bigl(\frac{A-B}2\bigr)^2\ge0$）、例 3.5 のとおり作用素単調ではありません。$t^3$ は $[0,\infty)$ 上で作用素凸ですらありません。作用素凸性も作用素単調性も、凸性・単調性よりずっと強い条件です。

次の対象は、正定値行列の重み付き幾何平均

$$P\#_tQ=P^{1/2}\bigl(P^{-1/2}QP^{-1/2}\bigr)^tP^{1/2}\qquad(0\le t\le1)$$

です。$P,Q$ が可換なら $P^{1-t}Q^t$ に一致します。

定理 9.5（重み付き幾何平均の同時凹性）✓

$0<t<1$ と $P,Q>0$ について

$$P\#_tQ=\frac{\sin\pi t}{\pi}\int_0^\infty s^{t-1}\bigl(P^{-1}+sQ^{-1}\bigr)^{-1}ds$$

が成り立つ。したがって $(P,Q)\mapsto P\#_tQ$ は同時凹である。

証明（定理 9.5）

$Z=P^{-1/2}QP^{-1/2}>0$ と置きます。$Z$ の固有基底で見ると、各固有値 $z$ について 補題 3.2 が $z^t=\frac{\sin\pi t}{\pi}\int_0^\infty s^{t-1}\frac{z}{s+z}ds$ を与えるので、行列の成分ごとの積分として $Z^t=\frac{\sin\pi t}{\pi}\int_0^\infty s^{t-1}Z(s+Z)^{-1}ds$ です。成分ごとの積分は定数行列による左右からの積と交換するので、

$$P\#_tQ=\frac{\sin\pi t}{\pi}\int_0^\infty s^{t-1}P^{1/2}Z(s+Z)^{-1}P^{1/2}\,ds .$$

$s>0$ では $Z(s+Z)^{-1}=(1+sZ^{-1})^{-1}$ で、$Z^{-1}=P^{1/2}Q^{-1}P^{1/2}$ と $(CDC)^{-1}=C^{-1}D^{-1}C^{-1}$ から

$$P^{1/2}(1+sZ^{-1})^{-1}P^{1/2}=\bigl(P^{-1/2}(1+sZ^{-1})P^{-1/2}\bigr)^{-1}=\bigl(P^{-1}+sQ^{-1}\bigr)^{-1}.$$

これで積分表示が示されました。被積分関数は $P:(s^{-1}Q)$ で、$(P,Q)\mapsto(P,s^{-1}Q)$ は線形なので、補題 9.3 から各 $s$ で同時凹です。2 次形式 $\langle x,\cdot\,x\rangle$ を取って正の重みで積分すれば、同時凹性が積分に移ります。

∎

Lieb の凹性定理は、この同時凹性を「行列に左から掛ける作用素」と「右から掛ける作用素」に使うことで得られます（Ando の証明）。

定理 9.6（Lieb の凹性定理）✓

$0\le t\le1$, $K\in M_n$ とする。半正定値行列の組 $(A,B)$ の関数

$$(A,B)\longmapsto\mathrm{tr}\bigl(K^*A^tKB^{1-t}\bigr)$$

は同時凹である（$A^0=B^0=1$ と約束する）。

証明（定理 9.6）

$t=0,1$ では線形なので、$0<t<1$ とします。まず $A,B>0$ とします。$M_n$ に Hilbert–Schmidt 内積 $\langle X,Y\rangle=\mathrm{tr}(X^*Y)$ を入れ、$M_n$ 上の線形作用素 $L_A(X)=AX$, $R_B(X)=XB$ を考えます。$A=\sum_ia_iu_iu_i^*$, $B=\sum_jb_jw_jw_j^*$ をスペクトル分解とすると、$E_{ij}=u_iw_j^*$ は $\mathrm{tr}(E_{ij}^*E_{kl})=\delta_{ik}\delta_{jl}$ から $M_n$ の正規直交基底で、

$$L_AE_{ij}=a_iE_{ij},\qquad R_BE_{ij}=u_i(Bw_j)^*=b_jE_{ij}.$$

よって $L_A,R_B$ は同じ正規直交基底で対角化される正定値作用素で、$R_B^{-1/2}L_AR_B^{-1/2}E_{ij}=(a_i/b_j)E_{ij}$ から

$$\bigl(R_B\#_tL_A\bigr)E_{ij}=b_j^{1/2}\Bigl(\frac{a_i}{b_j}\Bigr)^tb_j^{1/2}E_{ij}=a_i^tb_j^{1-t}E_{ij}=L_{A^t}R_{B^{1-t}}E_{ij}.$$

したがって $R_B\#_tL_A=L_{A^t}R_{B^{1-t}}$ で、

$$\mathrm{tr}\bigl(K^*A^tKB^{1-t}\bigr)=\bigl\langle K,\,L_{A^t}R_{B^{1-t}}K\bigr\rangle=\bigl\langle K,\,(R_B\#_tL_A)K\bigr\rangle .$$

$(A,B)\mapsto(R_B,L_A)$ は線形で、正定値行列の組を $M_n$ 上の正定値作用素の組に写すので、定理 9.5（Hilbert 空間 $M_n$ に適用）から右辺は $(A,B)$ について同時凹です。

半正定値の場合は $A+\varepsilon$, $B+\varepsilon$ に適用し $\varepsilon\downarrow0$ とします。$(\lambda+\varepsilon)^t\to\lambda^t$ は $[0,\|A\|]$ 上一様なので、関数計算のノルムの等式から $(A+\varepsilon)^t\to A^t$ で、凹性の不等式は極限で保たれます。

∎

系 9.7（相対エントロピーの同時凸性）✓

正定値行列 $\rho,\sigma$ について $S(\rho\|\sigma)=\mathrm{tr}\bigl(\rho\log\rho-\rho\log\sigma\bigr)$ と置くと、$(\rho,\sigma)\mapsto S(\rho\|\sigma)$ は同時凸である。とくに密度行列 $\rho_i,\sigma_i>0$ と確率 $p_i$ について $S\bigl(\sum_ip_i\rho_i\big\|\sum_ip_i\sigma_i\bigr)\le\sum_ip_iS(\rho_i\|\sigma_i)$。

証明（系 9.7）

$\rho=\sum_ir_iu_iu_i^*$, $\sigma=\sum_jq_jw_jw_j^*$ とし、$c_{ij}=|\langle u_i,w_j\rangle|^2$（$\sum_jc_{ij}=1$）と置くと

$$g(t)=\mathrm{tr}\bigl(\rho^t\sigma^{1-t}\bigr)=\sum_{i,j}c_{ij}r_i^tq_j^{1-t}$$

は $t$ について微分可能で、$g(1)=\sum_ir_i=\mathrm{tr}\rho$、

$$g'(1)=\sum_{i,j}c_{ij}r_i(\log r_i-\log q_j)=\mathrm{tr}(\rho\log\rho)-\mathrm{tr}(\rho\log\sigma)=S(\rho\|\sigma)$$

です（$\mathrm{tr}(\rho\log\sigma)=\sum_{i,j}r_i\log q_j\,c_{ij}$）。よって

$$S(\rho\|\sigma)=\lim_{t\uparrow1}\frac{\mathrm{tr}\rho-\mathrm{tr}\bigl(\rho^t\sigma^{1-t}\bigr)}{1-t}.$$

各 $t\in(0,1)$ で右辺の分子は、線形関数 $\mathrm{tr}\rho$ から 定理 9.6（$K=1$）の同時凹関数を引いたものなので同時凸で、正の数 $1-t$ で割っても同時凸です。同時凸関数の各点極限は同時凸です。

∎

Klein の不等式（定理 8.1）が与えたのは $S(\rho\|\sigma)\ge0$ でした。同時凸性はそれよりずっと強く、部分トレースのもとでの単調性 $S(\rho_{12}\|\sigma_{12})\ge S(\rho_1\|\sigma_1)$ や、量子エントロピーの強劣加法性はここから導かれます（ユニタリ群上の平均で部分トレースを表し、同時凸性とユニタリ不変性を使います）。

注意 9.8

この記事で証明せずに残したのは、$p\lt2$ の Birman–Solomyak の定理（注意 6.9）と Araki–Lieb–Thirring の不等式の一般形です。Kato–Seiler–Simon の不等式（定理 6.6）は、Schatten クラスの補間理論の全体ではなく、$p=2$ と $p=\infty$ をつなぐのに必要な形の三線補題（補題 6.5）だけで証明しました。前者はさらに格子上の分解を要するので主張だけにとどめています。

10. 演習

演習 10.1易

$L^2(0,\infty)$ 上の Hardy 作用素 $(Hf)(x)=\frac1x\int_0^xf(y)\,dy$ について、定理 5.1 を $p(x)=q(x)=x^{-1/2}$ で使い、$\|H\|\le2$ を示してください。

解答

核は $K(x,y)=x^{-1}\mathbf{1}_{\{y<x\}}$ です。$\int_0^xx^{-1}y^{-1/2}dy=2x^{-1/2}$、$\int_y^\infty x^{-1}x^{-1/2}dx=2y^{-1/2}$ なので $C_1=C_2=2$ で、$\|H\|\le\sqrt{2\cdot2}=2$。これが Hardy の不等式 $\int_0^\infty\bigl|\frac1x\int_0^xf\bigr|^2dx\le4\int_0^\infty|f|^2$ で、定数 $4$ は最良です。

演習 10.2標準

$A,B\ge0$ を有界作用素、$X\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$、$0\le\alpha\le1$ とします。定理 4.1 の証明と同じ方法で $\|A^\alpha XB^\alpha\|\le\|AXB\|^\alpha\|X\|^{1-\alpha}$ を示し、$X=1$ として 定理 4.2 を再び導いてください。

解答

$A,B$ を正定値として示せば、$A+\varepsilon$, $B+\varepsilon$ で近似して一般の場合が出ます。$F(z)=\langle u,A^zXB^zv\rangle$ は帯 $0\le\mathrm{Re}\,z\le1$ で有界連続、内部で正則です。$A^{iy}$, $B^{iy}$ はユニタリなので $|F(iy)|\le\|X\|\|u\|\|v\|$、$|F(1+iy)|=|\langle u,A^{iy}(AXB)B^{iy}v\rangle|\le\|AXB\|\|u\|\|v\|$。三線定理から $|F(\alpha)|\le\|X\|^{1-\alpha}\|AXB\|^\alpha\|u\|\|v\|$ です。$X=1$ なら $\|A^\alpha B^\alpha\|\le\|AB\|^\alpha$ です。

演習 10.3標準

Hermite 行列 $A,B$ について $\varphi(t)=\log\mathrm{tr}\,e^{A+tB}$ が凸関数であることを、定理 7.3 と 系 8.3 を使って示してください。

解答

定理 7.3 から $\varphi'(t)=\mathrm{tr}(e^{A+tB}B)/\mathrm{tr}\,e^{A+tB}$ です。系 8.3 を $A+tB$ と $(s-t)B$ に使うと

$$\varphi(s)\ge\varphi(t)+(s-t)\frac{\mathrm{tr}(e^{A+tB}B)}{\mathrm{tr}\,e^{A+tB}}=\varphi(t)+(s-t)\varphi'(t)$$

がすべての $s,t$ で成り立ちます。微分可能な関数が各点で接線の上にあれば凸なので、$\varphi$ は凸です。統計力学では、自由エネルギーが結合定数について凹（$-\varphi$）であることに対応します。

演習 10.4標準

Hermite 行列 $A,B$ について

$$\mathrm{tr}\,e^A\cdot\exp\Bigl(\frac{\mathrm{tr}(e^AB)}{\mathrm{tr}\,e^A}\Bigr)\le\mathrm{tr}\,e^{A+B}\le\mathrm{tr}\bigl(e^Ae^B\bigr)$$

を示し、$A,B$ が可換で $B=b\cdot1$（$b\in\mathbb{R}$）のとき両側が等号になることを確かめてください。また、$2\times2$ の例 $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ で 3 つの量を計算し、不等式が狭義であることを確かめてください。

解答

左の不等式は 系 8.3、右は 定理 8.6 です。$B=b\cdot1$ なら 3 つの量はどれも $e^b\,\mathrm{tr}\,e^A$ です。

例では $(A+B)^2=2\cdot1$ なので $e^{A+B}=\cosh\sqrt2\cdot1+\frac{\sinh\sqrt2}{\sqrt2}(A+B)$、$\mathrm{tr}\,e^{A+B}=2\cosh\sqrt2\approx4.356$。$e^A=\mathrm{diag}(e,e^{-1})$ で $\mathrm{tr}(e^AB)=0$ なので左辺は $\mathrm{tr}\,e^A=2\cosh1\approx3.086$。$e^B=\cosh1\cdot1+\sinh1\cdot B$ なので $\mathrm{tr}(e^Ae^B)=\cosh1\cdot\mathrm{tr}\,e^A=2\cosh^21\approx4.762$。よって $3.086<4.356<4.762$ で、どちらも狭義です。

演習 10.5標準

系 9.7 を使って、密度行列 $\rho,\sigma>0$ と、ユニタリ行列 $U_1,\ldots,U_N$、確率 $p_1,\ldots,p_N$ について $S\bigl(\sum_kp_kU_k\rho U_k^*\big\|\sum_kp_kU_k\sigma U_k^*\bigr)\le S(\rho\|\sigma)$ を示してください。

解答

$\log(U\sigma U^*)=U(\log\sigma)U^*$ と $\mathrm{tr}$ の巡回性から $S(U\rho U^*\|U\sigma U^*)=S(\rho\|\sigma)$ です。同時凸性から

$$S\Bigl(\sum_kp_kU_k\rho U_k^*\Big\|\sum_kp_kU_k\sigma U_k^*\Bigr)\le\sum_kp_kS(U_k\rho U_k^*\|U_k\sigma U_k^*)=S(\rho\|\sigma).$$

適切なユニタリの平均で部分トレース（と最大混合状態のテンソル積）を表せることと組み合わせると、部分トレースのもとでの単調性が得られます。

参考文献

• R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer (GTM 169), 1997 — Chapter V（作用素単調関数、Löwner–Heinz）、Chapter IX（Golden–Thompson、トレース不等式）。
• T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, 2nd edition, Springer, 1976 — Chapter V §4（Heinz–Kato の不等式）。
• B. Simon, Trace Ideals and Their Applications, 2nd edition, American Mathematical Society, 2005 — Chapter 2（Schatten クラスの変分表示と Hölder 不等式）、Chapter 4（Kato–Seiler–Simon、Birman–Solomyak）。
• M. Cwikel, “Weak type estimates for singular values and the number of bound states of Schrödinger operators”, Annals of Mathematics 106 (1977) 93–100。
• M. Sh. Birman, M. Solomyak, “Double operator integrals in a Hilbert space”, Integral Equations Operator Theory 47 (2003) 131–168。
• T. Ando, “Concavity of certain maps on positive definite matrices and applications to Hadamard products”, Linear Algebra and its Applications 26 (1979) 203–241。
• E. A. Carlen, “Trace inequalities and quantum entropy: an introductory course”, in Entropy and the Quantum, Contemporary Mathematics 529, American Mathematical Society, 2010, 73–140。
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, 2nd edition, Cambridge University Press, 1952 — Chapter IX（Hilbert と Hardy の不等式）。