作用素凸関数・同時凹写像

区間 $I$ 上の連続関数 $f$ が作用素凸であるとは、任意の $n$ と、スペクトルが $I$ に含まれる Hermite 行列 $A,B\in M_n$、$0\le\lambda\le1$ について

が成り立つことをいう。$-f$ が作用素凸のとき $f$ を作用素凹という。正定値行列の組 $(P,Q)$ から Hermite 行列への写像 $\Phi$ が同時凹であるとは、$\Phi\bigl(\lambda P_1+(1-\lambda)P_2,\lambda Q_1+(1-\lambda)Q_2\bigr)\ge\lambda\Phi(P_1,Q_1)+(1-\lambda)\Phi(P_2,Q_2)$ が成り立つことをいう。