ℝⁿ 上のフーリエ変換：反転公式・Plancherel の定理・Young の不等式・Poisson 和公式・Hermite 関数

0. この記事の要点

音や波のような、周期をもたない信号を「どんな速さの振動がどれだけ混ざっているか」に分解する道具が Fourier 変換です。この記事では、分解した結果から元の信号を正確に取り戻せること、分解の前後でエネルギー（二乗の積分）が変わらないことを示します。読み終えると、Fourier 変換をどんな関数の範囲で自由に使ってよいかが分かります。

• $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ の Fourier 変換 $\hat f(\xi)=\int f(x)e^{-ix\cdot\xi}dx$ は有界連続で、$|\xi|\to\infty$ で $0$ に収束します（Riemann–Lebesgue の補題）。畳み込みは積に、微分は掛け算に変わります。
• 反転公式: $f,\hat f\in L^1$ なら $f(x)=(2\pi)^{-n}\int\hat f(\xi)e^{ix\cdot\xi}d\xi$（ほとんど至るところ）。証明の鍵は Gauss 関数が Fourier 変換で自分自身に写ることです。
• Plancherel の定理: $(2\pi)^{-n/2}\mathcal{F}$ は $L^1\cap L^2$ 上の等長写像（長さを変えない写像）で、$L^2(\mathbb{R}^n)$ 全体のユニタリ作用素に拡張されます。
• Young の不等式 $\|f*g\|_r\le\|f\|_p\|g\|_q$（$\frac1p+\frac1q=1+\frac1r$）と、トーラスとの橋である Poisson 和公式を証明します。
• Hermite 関数は Fourier 変換の固有関数（変換しても定数倍にしかならない関数）で、固有値は $\sqrt{2\pi}\,(-i)^k$ です。$L^2(\mathbb{R})$ の正規直交基底をなします。

この記事で使う事前知識

• 優収束定理: 関数列が共通の可積分関数で上から抑えられていれば、極限と積分の順序を交換してよい、という定理。→ ルベーグ積分の定義と収束定理
• ほとんど至るところ: 測度 $0$ の集合を除いて成り立つ、という意味。→ ほとんど至るところ
• 畳み込み: $(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)\,dy$ という、二つの関数から新しい関数を作る演算。→ この記事の §5 で扱います。
• $L^p$ 空間とヘルダーの不等式: $\|f\|_p=(\int|f|^p)^{1/p}$ が有限な関数の空間と、積の積分を各因子のノルムで抑える不等式。→ $L^p$ 空間
• ユニタリ作用素: 内積を保つ全射の線形作用素。→ ユニタリ
• 正規直交基底: 互いに直交する長さ $1$ の関数の列で、全ての関数をその一次結合（の極限）で表せるもの。→ 正規直交基底

1. 動機

フーリエ級数 は周期関数を離散的な振動数 $n\in\mathbb{Z}$ で分解しました。周期をもたない関数には、振動数を連続変数 $\xi\in\mathbb{R}^n$ に拡げた Fourier 変換を使います。量子力学では位置表示と運動量表示を結ぶ変換で、偏微分方程式では微分を掛け算に変えて定数係数の方程式を代数方程式に直す道具です。

この記事はテーマ「フーリエ解析と超関数」の2本目で、Fourier 変換を使う以降の全ての章（超関数、Sobolev 空間、補間不等式、Hardy 空間など）の出発点です。また散乱理論の RAGE の定理の証明で使う Wiener の定理（スペクトル測度の Fourier 変換の時間平均）も、この章の最後（第 8 節）に証明します。

記号: $x\cdot\xi$ は内積、$|x|$ はノルム、$\tau_hf(x)=f(x-h)$、$(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)\,dy$ です。積分の順序交換には Fubini–Tonelli の定理（定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］、定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）を使います。非負の被積分関数なら Tonelli、符号や複素数をもつ場合は絶対値の積分が有限であることを Tonelli で確かめてから Fubini を使う、というのが毎回の手順です。

2. $L^1$ 上の Fourier 変換

定義 2.1（Fourier 変換）↗

$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ に対し $\hat f(\xi)=\mathcal{F}f(\xi)=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\,e^{-ix\cdot\xi}\,dx$ を $f$ の Fourier 変換という。Schwartz 空間 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ を、$C^\infty$ 級関数 $f$ で全ての $\alpha,\beta$ について $\sup|x^\alpha\partial^\beta f|\lt\infty$ を満たすものの全体とする。

命題 2.2（L¹ での基本性質）✓

$f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)$ とする。

1. $\hat f$ は有界連続で $\|\hat f\|_\infty\le\|f\|_1$。
2. $f*g\in L^1$、$\|f*g\|_1\le\|f\|_1\|g\|_1$、$\widehat{f*g}=\hat f\,\hat g$。
3. （乗法公式）$\int\hat f\,g\,d\xi=\int f\,\hat g\,dx$。
4. $f_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}f(x/\varepsilon)$ なら $\hat{f_\varepsilon}(\xi)=\hat f(\varepsilon\xi)$。
5. $f\in\mathcal{S}$ なら $\widehat{\partial_jf}(\xi)=i\xi_j\hat f(\xi)$、$\widehat{x_jf}(\xi)=i\,\partial_{\xi_j}\hat f(\xi)$。

証明（命題 2.2）

1: 絶対値の評価は明らかで、連続性は優収束定理（定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］）から従います。2: Tonelli（定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）で $\|f*g\|_1\le\iint|f(x-y)||g(y)|dydx=\|f\|_1\|g\|_1$（とくに $f*g$ はほとんど至るところ定義される）、これで可積分性が確かめられたので Fubini（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）で $\widehat{f*g}(\xi)=\iint f(x-y)e^{-i(x-y)\cdot\xi}g(y)e^{-iy\cdot\xi}dxdy=\hat f(\xi)\hat g(\xi)$。3: 積分 $\iint f(x)g(\xi)e^{-ix\cdot\xi}dxd\xi$ の順序を、被積分関数の絶対値 $|f(x)||g(\xi)|$ が $\mathbb{R}^{2n}$ で可積分（Tonelli）であることを確かめて Fubini で入れ替えます。4: 変数変換 $x=\varepsilon u$（系 3.5［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）。5: 第 1 式は $x_j$ について部分積分し（境界項は急減少性で $0$）、第 2 式は積分記号下の微分（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）で $\partial_{\xi_j}\hat f=\int(-ix_j)f\,e^{-ix\cdot\xi}dx$ から出ます。

∎

補題 2.3（平行移動の連続性）✓

$1\le p\lt\infty$、$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ なら $\|\tau_hf-f\|_p\to0$（$h\to0$）。

証明（補題 2.3）

$g\in C_c(\mathbb{R}^n)$ なら $|h|\le1$ で $\|\tau_hg-g\|_p\le\|\tau_hg-g\|_\infty\,\bigl|\mathrm{supp}\,g+\overline{B_1}\bigr|^{1/p}\to0$（一様連続性）です。$C_c$ は $L^p$ で稠密（命題 7.2［L^p 空間と関数解析への導入］）なので、$\|f-g\|_p\lt\varepsilon$ となる $g$ をとり、$\|\tau_hf-f\|_p\le2\varepsilon+\|\tau_hg-g\|_p$ から結論が出ます。

∎

次の定理は、振動が速くなるほど関数との積の正の部分と負の部分が打ち消し合い、積分が小さくなる、という直感を述べたものです。証明では、$e^{-ix\cdot\xi}$ の符号がちょうど反転する距離だけ関数をずらし、もとの積分と平均をとります。

定理 2.4（Riemann–Lebesgue の補題）✓

$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ なら $\hat f(\xi)\to0$（$|\xi|\to\infty$）。

証明（定理 2.4）

$\xi\neq0$ に対し $h=\pi\xi/|\xi|^2$ とおくと $e^{-ih\cdot\xi}=-1$ なので、$x$ を $x-h$ にずらして $\hat f(\xi)=-\int f(x-h)e^{-ix\cdot\xi}dx$ です。もとの式と平均して $|\hat f(\xi)|\le\frac12\|f-\tau_hf\|_1$ で、$|h|=\pi/|\xi|\to0$ なので 補題 2.3 から $0$ に収束します。

∎

3. Gauss 関数と反転公式

命題 3.1（Gauss 関数の Fourier 変換）✓

$\gamma(x)=e^{-|x|^2/2}$ の Fourier 変換は $\hat\gamma(\xi)=(2\pi)^{n/2}e^{-|\xi|^2/2}$ である。したがって $G_\varepsilon(x)=(2\pi)^{-n/2}\varepsilon^{-n}e^{-|x|^2/(2\varepsilon^2)}$ は $\int G_\varepsilon=1$、$\widehat{G_\varepsilon}(\xi)=e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/2}$ を満たし、逆に $\varphi_\varepsilon(\xi)=e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/2}$ の Fourier 変換は $\hat\varphi_\varepsilon=(2\pi)^nG_\varepsilon$（$G_\varepsilon$ は偶関数）である。

証明（命題 3.1）

積の形なので $n=1$ で示せば十分です。$g(\xi)=\int e^{-x^2/2}e^{-ix\xi}dx$ とすると、命題 2.2 の 5 と同様に $g'(\xi)=\int(-ix)e^{-x^2/2}e^{-ix\xi}dx=i\int(e^{-x^2/2})'e^{-ix\xi}dx=-i\int e^{-x^2/2}(-i\xi)e^{-ix\xi}dx=-\xi g(\xi)$ です。よって $(e^{\xi^2/2}g)'=0$、$g(\xi)=g(0)e^{-\xi^2/2}=\sqrt{2\pi}\,e^{-\xi^2/2}$（$g(0)=\int e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}$ は Gauss 積分 定理 3.3［広義積分・パラメータ積分とガンマ関数］ のスケーリング）。$G_\varepsilon=(G_1)_\varepsilon$ と 命題 2.2 の 4 が $\widehat{G_\varepsilon}$ を与えます。また $\varphi_\varepsilon(\xi)=\gamma(\varepsilon\xi)$ なので、$\hat\varphi_\varepsilon(x)=\int\gamma(\varepsilon\xi)e^{-ix\cdot\xi}d\xi=\varepsilon^{-n}\hat\gamma(x/\varepsilon)=(2\pi)^{n/2}\varepsilon^{-n}e^{-|x|^2/2\varepsilon^2}=(2\pi)^nG_\varepsilon(x)$ です。

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補題 3.2（Gauss 核による近似）✓

1. $1\le p\lt\infty$、$f\in L^p$ なら $\|f*G_\varepsilon-f\|_p\to0$（$\varepsilon\to0$）。
2. $f$ が有界で $x_0$ で連続なら $(f*G_\varepsilon)(x_0)\to f(x_0)$。

証明（補題 3.2）

$(f*G_\varepsilon)(x)-f(x)=\int G_1(u)\bigl(f(x-\varepsilon u)-f(x)\bigr)du$ で、$G_1\,du$ は確率測度です。1: Jensen の不等式と Tonelli で $\|f*G_\varepsilon-f\|_p^p\le\int G_1(u)\|\tau_{\varepsilon u}f-f\|_p^p\,du$ で、被積分関数は $\le2^p\|f\|_p^pG_1(u)$ で各点 $\to0$（補題 2.3）。優収束定理で $\to0$。2: 同様に被積分関数が $2\|f\|_\infty G_1$ で抑えられ、各点 $\to0$ です。

∎

反転公式の証明の方針です。$\hat f$ から $f$ を戻す積分をそのまま扱うのは難しいので、積分の中に減衰因子 $e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/2}$ を掛けて計算できる形にします。すると結果が $f$ と Gauss 関数 $G_\varepsilon$ の畳み込みになり、$\varepsilon\to0$ で $f$ に近づくことを、上の補題で確かめます。

定理 3.3（反転公式）✓

$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ かつ $\hat f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ なら、ほとんど至るところ

$$f(x)=\frac1{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}\hat f(\xi)\,e^{ix\cdot\xi}\,d\xi.$$

とくに $f\in L^1$ で $\hat f=0$ なら $f=0$ ほとんど至るところ（Fourier 変換は $L^1$ 上で単射）。

証明（定理 3.3）

$I_\varepsilon(x)=(2\pi)^{-n}\int\hat f(\xi)e^{ix\cdot\xi}e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/2}d\xi$ とおきます。$\hat f$ に定義を代入して Fubini（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］。$|f(y)|e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/2}$ が $\mathbb{R}^{2n}$ で可積分であることは Tonelli で確かめる）を使うと

$$I_\varepsilon(x)=\int f(y)\Bigl[(2\pi)^{-n}\int e^{i(x-y)\cdot\xi}e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/2}d\xi\Bigr]dy=\int f(y)G_\varepsilon(x-y)\,dy=(f*G_\varepsilon)(x)$$

です。括弧の中は、$z=x-y$ として $(2\pi)^{-n}\int e^{iz\cdot\xi}\varphi_\varepsilon(\xi)\,d\xi=(2\pi)^{-n}\hat\varphi_\varepsilon(-z)=G_\varepsilon(z)$（命題 3.1 の最後の主張と $G_\varepsilon$ の偶性）です。

$\varepsilon\to0$ のとき、補題 3.2 の 1 により $I_\varepsilon=f*G_\varepsilon\to f$（$L^1$ で）。一方 $\hat f\in L^1$ なので、優収束定理で各点 $I_\varepsilon(x)\to(2\pi)^{-n}\int\hat fe^{ix\cdot\xi}d\xi$ です。$L^1$ 収束列は a.e. 収束する部分列をもつので、二つの極限はほとんど至るところ一致します。後半は $\hat f=0\in L^1$ に前半を適用します。

∎

4. Plancherel の定理

$U=(2\pi)^{-n/2}\mathcal{F}$ とおき、$(Wg)(x)=(2\pi)^{-n/2}\int g(\xi)e^{ix\cdot\xi}d\xi=(Ug)(-x)$ とします。$L^2$ の内積は $\langle f,g\rangle=\int\overline fg$ です。

Plancherel の定理は、Fourier 変換が $L^2$ の中で長さを保つ、という主張です。証明は二段に分かれます。まず可積分でもある関数について長さが保たれることを Gauss 関数の減衰因子で示し、次にそれを $L^2$ 全体へ広げて、逆写像が $W$ であることを確かめます。

定理 4.1（Plancherel の定理）✓

1. $f\in L^1\cap L^2$ なら $\hat f\in L^2$ で $\|\hat f\|_2^2=(2\pi)^n\|f\|_2^2$、すなわち $\|Uf\|_2=\|f\|_2$。
2. $U$ は $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上のユニタリ作用素に一意に拡張され、その逆は $W$ である。

証明（定理 4.1）

1: $\tilde f(x)=\overline{f(-x)}$、$h=f*\tilde f$ とおくと $h(x)=\int f(x+y)\overline{f(y)}dy$ で $h(0)=\|f\|_2^2$、$h\in L^1$ です。Cauchy–Schwarz と 補題 2.3 の $p=2$ から $|h(x)-h(x')|\le\|\tau_{x'-x}f-f\|_2\|f\|_2$ なので $h$ は連続で、$|h|\le\|f\|_2^2$ です。また $\hat{\tilde f}=\overline{\hat f}$ なので 命題 2.2 の 2 から $\hat h=|\hat f|^2$ です。乗法公式（命題 2.2 の 3）を $\varphi_\varepsilon(\xi)=e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/2}$ に使うと、命題 3.1 の $\hat\varphi_\varepsilon=(2\pi)^nG_\varepsilon$ から

$$\int|\hat f(\xi)|^2e^{-\varepsilon^2|\xi|^2/2}d\xi=(2\pi)^n\int h(x)G_\varepsilon(x)\,dx=(2\pi)^n(h*G_\varepsilon)(0)\xrightarrow{\varepsilon\to0}(2\pi)^nh(0)$$

（補題 3.2 の 2）。左辺は単調収束で $\int|\hat f|^2$ に増加するので、1 が従います。

2: $L^1\cap L^2$ は $L^2$ で稠密なので、等長写像 $U$ は一意に $L^2$ の等長作用素に拡張されます。$f,g\in L^1\cap L^2$ なら Fubini（$f(x)g(\xi)$ は $\mathbb{R}^{2n}$ で可積分）により $\langle Uf,g\rangle=(2\pi)^{-n/2}\iint\overline{f(x)}e^{ix\cdot\xi}g(\xi)dxd\xi=\langle f,Wg\rangle$ です。両辺は $L^2$ で連続なので全ての $f,g\in L^2$ で成り立ち、$U^*=W$ です。$U$ は等長なので $U^*U=1$、すなわち $WU=1$。$W=RU$（$R$ は反転 $Rg(x)=g(-x)$、ユニタリ）も等長で、$W^*=U$ なので $UW=W^*W=1$ です。したがって $U$ は全射のユニタリで $U^{-1}=W$ です。

∎

5. 畳み込みと Young の不等式

Young の不等式は、畳み込みが $L^p$ のノルムでどれだけ大きくなりうるかを評価します。証明のこつは、被積分関数 $f(x-y)g(y)$ を三つの因子に分け、指数 $p,q,r$ の関係式 $\frac1p+\frac1q=1+\frac1r$ に合うように冪を割り振ってから Hölder の不等式を使うことです。

定理 5.1（Young の不等式）✓

$1\le p,q,r\le\infty$、$\frac1p+\frac1q=1+\frac1r$ とする。$f\in L^p$、$g\in L^q$ なら $f*g(x)=\int f(x-y)g(y)dy$ はほとんど至るところ絶対収束し、

$$\|f*g\|_r\le\|f\|_p\,\|g\|_q.$$

証明（定理 5.1）

$f,g\ge0$ としてよい（絶対値に取り替える）。$r=\infty$ なら $q=p'$ で Hölder の不等式（定理 4.2［L^p 空間と関数解析への導入］）そのものです。$r\lt\infty$ とします。$\frac1p-\frac1r=1-\frac1q\ge0$、$\frac1q-\frac1r=1-\frac1p\ge0$ に注意し、$s_1=(\frac1p-\frac1r)^{-1}$、$s_2=(\frac1q-\frac1r)^{-1}$（$0$ のときは $\infty$、対応する因子は省く）とおくと $\frac1r+\frac1{s_1}+\frac1{s_2}=1$ です。被積分関数を

$$f(x-y)g(y)=\bigl(f(x-y)^pg(y)^q\bigr)^{1/r}\cdot f(x-y)^{p(\frac1p-\frac1r)}\cdot g(y)^{q(\frac1q-\frac1r)}$$

と分けて 3 つの因子に Hölder の不等式を使うと、

$$(f*g)(x)\le\Bigl(\int f(x-y)^pg(y)^qdy\Bigr)^{1/r}\|f\|_p^{\,p(\frac1p-\frac1r)}\|g\|_q^{\,q(\frac1q-\frac1r)}$$

です（$\int f(x-y)^{p}dy=\|f\|_p^p$ など）。$r$ 乗して $x$ で積分し Tonelli（定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）で積分の順序を入れ替えると $\|f*g\|_r^r\le\|f\|_p^p\|g\|_q^q\|f\|_p^{r-p}\|g\|_q^{r-q}=\|f\|_p^r\|g\|_q^r$ です。

∎

とくに $p=1$ なら $r=q$ で、$\|f*g\|_q\le\|f\|_1\|g\|_q$ です。また $f,g\in L^2$ なら $f*g\in L^\infty$ です。このとき $f*g\in L^1$ とは限らないので、反転公式（定理 3.3）は直接は使えませんが、Plancherel の内積版 $\langle\varphi,\psi\rangle=(2\pi)^{-n}\langle\hat\varphi,\hat\psi\rangle$（$U$ のユニタリ性）を $\varphi(y)=\overline{f(x-y)}$、$\psi=g$ に使うと、$\hat\varphi(\xi)=e^{-ix\cdot\xi}\overline{\hat f(\xi)}$ なので

$$(f*g)(x)=\langle\varphi,g\rangle=\frac1{(2\pi)^n}\int\hat f(\xi)\hat g(\xi)\,e^{ix\cdot\xi}\,d\xi$$

が全ての $x$ で成り立ちます。$\hat f,\hat g\in L^2$ なので $\hat f\hat g\in L^1$ で、右辺は $x$ の連続関数です。

6. Poisson 和公式

定理 6.1（Poisson 和公式）✓

$f\in C(\mathbb{R}^n)$ がある $C,\delta>0$ について $|f(x)|\le C(1+|x|)^{-n-\delta}$、$|\hat f(\xi)|\le C(1+|\xi|)^{-n-\delta}$ を満たすなら、全ての $x\in\mathbb{R}^n$ で

$$\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}f(x+2\pi k)=\frac1{(2\pi)^n}\sum_{m\in\mathbb{Z}^n}\hat f(m)\,e^{im\cdot x}$$

で、両辺とも絶対収束する。

証明（定理 6.1）

$F(x)=\sum_kf(x+2\pi k)$ とおくと、仮定から級数はコンパクト集合上で一様に絶対収束し、$F$ は連続で周期 $2\pi$ です。Fourier 係数は項別積分で

$$\frac1{(2\pi)^n}\int_{[0,2\pi]^n}F(x)e^{-im\cdot x}dx=\frac1{(2\pi)^n}\sum_k\int_{[0,2\pi]^n+2\pi k}f(y)e^{-im\cdot y}dy=\frac{\hat f(m)}{(2\pi)^n}$$

（$e^{-im\cdot2\pi k}=1$、平行移動した立方体が $\mathbb{R}^n$ を敷き詰める）です。$\sum_m|\hat f(m)|\lt\infty$ なので右辺の級数は連続関数 $G$ に一様収束し、$G$ の Fourier 係数も $\hat f(m)/(2\pi)^n$ です。$F-G$ は連続で Fourier 係数が全て $0$ なので、フーリエ級数の記事の 命題 7.1［フーリエ級数］ により $F=G$ です。

∎

例 6.2（テータ関数の変換則と ∑1/(m²+a²)）

(a) $f(x)=e^{-ax^2}$（$a>0$）の Fourier 変換は、命題 3.1 と 命題 2.2 の 4 から $\hat f(\xi)=\sqrt{\pi/a}\,e^{-\xi^2/(4a)}$ です。$x=0$、$a=s/(4\pi)$（$s>0$）で 定理 6.1 を使うと

$$\sum_{k\in\mathbb{Z}}e^{-\pi sk^2}=\frac1{\sqrt s}\sum_{m\in\mathbb{Z}}e^{-\pi m^2/s}.$$

(b) $f(x)=e^{-a|x|}$ の $\hat f(\xi)=\frac{2a}{a^2+\xi^2}$（直接計算）は $\xi^{-2}$ で減衰するので $n=1$ の仮定を満たします。$x=0$ で $\sum_ke^{-2\pi a|k|}=\coth(\pi a)$ なので $\coth(\pi a)=\frac1{2\pi}\sum_m\frac{2a}{a^2+m^2}$、すなわち

$$\sum_{m\in\mathbb{Z}}\frac1{m^2+a^2}=\frac\pi a\coth(\pi a).$$

$a\to0$ で $\coth y=\frac1y+\frac y3+O(y^3)$ から $\sum_{m\neq0}\frac1{m^2}=\frac{\pi^2}3$、すなわち $\zeta(2)=\frac{\pi^2}6$ が再び得られます。

7. Hermite 関数

$n=1$ とします。直交多項式の Rodrigues の公式による Hermite 多項式を $H_k=(-1)^ke^{x^2}\frac{d^k}{dx^k}e^{-x^2}$ とし、$h_k(x)=H_k(x)e^{-x^2/2}$ とおきます（定理 7.2［直交多項式］）。

命題 7.1（Hermite 関数の性質）✓

$T=x-\frac d{dx}$、$A=x+\frac d{dx}$、$\mathcal{H}=-\frac{d^2}{dx^2}+x^2$ とする。

1. $h_0=e^{-x^2/2}$、$h_{k+1}=Th_k$。
2. $\hat h_k=\sqrt{2\pi}\,(-i)^k\,h_k$。
3. $Ah_k=2k\,h_{k-1}$、$\mathcal{H}h_k=(2k+1)h_k$。
4. $\int h_kh_l\,dx=\delta_{kl}\,2^kk!\sqrt\pi$。

証明（命題 7.1）

1: $(e^{-x^2})^{(k)}=(-1)^kH_ke^{-x^2}$ を微分して $(e^{-x^2})^{(k+1)}=(-1)^k(H_k'-2xH_k)e^{-x^2}$ なので、$H_{k+1}=2xH_k-H_k'$ です。すると $Th_k=(xH_k-H_k'+xH_k)e^{-x^2/2}=h_{k+1}$。

2: 命題 2.2 の 5 から $\widehat{Tf}=i\hat f'-i\xi\hat f=-i\,T\hat f$ です。帰納法で $\hat h_k=(-i)^kT^k\hat h_0=(-i)^k\sqrt{2\pi}\,h_k$（$\hat h_0$ は 命題 3.1）。

3: 交換関係 $AT-TA=2$ を確かめます（$ATf=x^2f-f''+f$、$TAf=x^2f-f''-f$）。$Ah_0=0$ で、$Ah_{k+1}=ATh_k=(TA+2)h_k$ から帰納法で $Ah_k=2kh_{k-1}$：$Ah_{k+1}=T(2kh_{k-1})+2h_k=2(k+1)h_k$。また $\mathcal{H}=TA+1$（$TAf=x^2f-f''-f$）なので $\mathcal{H}h_k=T(2kh_{k-1})+h_k=(2k+1)h_k$。

4: $\int H_kH_le^{-x^2}dx=\delta_{kl}2^kk!\sqrt\pi$ は直交多項式の Rodrigues の公式の節の結果（Hermite のノルム）です。

∎

正規化した Hermite 関数 e₀（釣鐘）から e₃ まで。k 番目は k 個の零点をもつ。

定理 7.2（Hermite 関数は完全）✓

$e_k=h_k/\sqrt{2^kk!\sqrt\pi}$（$k\ge0$）は $L^2(\mathbb{R})$ の正規直交基底である。$Ue_k=(-i)^ke_k$ で、$U^4=1$、$U$ のスペクトルは $\{1,-i,-1,i\}$ である。

証明（定理 7.2）

正規直交性は 命題 7.1 の 4 です。完全性を示します。$f\in L^2(\mathbb{R})$ が全ての $h_k$ に直交するとします。$H_k$ は $k$ 次多項式なので、全ての $k$ で $\int f(x)x^ke^{-x^2/2}dx=0$ です。$u=fe^{-x^2/2}\in L^1$（Cauchy–Schwarz）とし、$\Phi(z)=\int u(x)e^{-ixz}dx$（$z\in\mathbb{C}$）を考えます。$|u(x)e^{-ixz}|\le|u(x)|e^{|x||\mathrm{Im}\,z|}$ で、$f\in L^2$ と $e^{-x^2/2}e^{c|x|}\in L^2$ から $ue^{c|x|}\in L^1$ なので、積分記号下で微分でき $\Phi$ は整関数です。$\Phi^{(k)}(0)=(-i)^k\int ux^kdx=0$（全ての $k$）なので、Taylor 展開（定理 5.2［正則関数の強力な性質］）から $\Phi\equiv0$、とくに $\hat u=0$ です。定理 3.3 の単射性から $u=0$、すなわち $f=0$ です。

$Ue_k=(-i)^ke_k$ は 命題 7.1 の 2 です。基底上で対角的なので $U^4=1$ です。

∎

したがって、Fourier 変換は $e_k$ を $(-i)^k$ 倍するだけの演算です。振動数 $2k+1$ の調和振動子 $\mathcal{H}$ の固有基底で対角化されるため $U$ と $\mathcal{H}$ は可換で、$U=e^{-i\frac\pi2(\mathcal{H}-1)/2}$ とも書けます（分数 Fourier 変換）。

8. Wiener の定理

$\mu$ を $\mathbb{R}$ 上の有限な正の Borel 測度とし、$\hat\mu(t)=\int e^{-itx}d\mu(x)$ とします。

命題 8.1（Wiener の定理）✓

$\displaystyle\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^T|\hat\mu(t)|^2dt=\sum_{x\in\mathbb{R}}\mu(\{x\})^2$ である（和は $\mu$ の原子 $x$ 全体について）。

証明（命題 8.1）

$|\hat\mu(t)|^2=\iint e^{-it(x-y)}d\mu(x)d\mu(y)$ で、被積分関数は有界、$\mu\otimes\mu$ は有限測度なので Fubini（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）が使えて、

$$\frac1{2T}\int_{-T}^T|\hat\mu(t)|^2dt=\iint\frac{\sin T(x-y)}{T(x-y)}\,d\mu(x)d\mu(y)$$

です（$x=y$ では被積分関数は $1$）。被積分関数は $|\cdot|\le1$ で、$T\to\infty$ のとき $x\neq y$ で $0$、$x=y$ で $1$ に収束します。優収束定理で、極限は対角線 $\Delta=\{x=y\}$ の測度 $(\mu\otimes\mu)(\Delta)=\int\mu(\{y\})\,d\mu(y)=\sum_y\mu(\{y\})^2$ です（Tonelli と、$\mu(\{y\})\neq0$ となる $y$ は高々可算）。

∎

スペクトル測度 $\mu_\psi$ をもつ状態 $\psi$ については $\hat\mu_\psi(t)=\langle\psi,e^{-itH}\psi\rangle$ で、命題 8.1 は「生存確率の時間平均が、固有値（点スペクトル）への射影の大きさの二乗和に等しい」と読めます。連続スペクトルに属する状態では $0$ です。

9. 演習

演習 9.1易

$f=1_{[-1,1]}$ の Fourier 変換を求め、Plancherel の定理から $\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^2\xi}{\xi^2}d\xi=\pi$ を導け。

解答

$\hat f(\xi)=\int_{-1}^1e^{-ix\xi}dx=\frac{2\sin\xi}\xi$ です。$\|f\|_2^2=2$ なので 定理 4.1 の 1 から $\int\frac{4\sin^2\xi}{\xi^2}d\xi=2\pi\cdot2$、すなわち $\int\frac{\sin^2\xi}{\xi^2}d\xi=\pi$ です。

演習 9.2標準

$h_2=(4x^2-2)e^{-x^2/2}$ の Fourier 変換を直接計算し、$\hat h_2=-\sqrt{2\pi}\,h_2$ を確かめよ。

解答

$g=e^{-x^2/2}$、$\hat g=\sqrt{2\pi}e^{-\xi^2/2}$ です。命題 2.2 の 5 を 2 回使うと $\widehat{x^2g}=-\hat g''=-\sqrt{2\pi}(\xi^2-1)e^{-\xi^2/2}$ です。よって $\hat h_2=4\widehat{x^2g}-2\hat g=\sqrt{2\pi}e^{-\xi^2/2}\bigl(-4\xi^2+4-2\bigr)=-\sqrt{2\pi}(4\xi^2-2)e^{-\xi^2/2}=-\sqrt{2\pi}\,h_2(\xi)$ です。

演習 9.3標準

$f,g\in L^2(\mathbb{R})$ なら $f*g\in C_0(\mathbb{R})$（連続で無限遠で $0$）であることを示せ。

解答

定理 5.1 で $p=q=2$、$r=\infty$ として有界です。連続性: $|f*g(x)-f*g(x')|\le\|\tau_{x-x'}f-\tau_0f\|_2\|g\|_2$ で、補題 2.3 から $x-x'\to0$ で $0$。無限遠: $f,g$ を $C_c$ の関数で $L^2$ 近似し（注意 7.1［L^p 空間と関数解析への導入］）、$C_c$ 同士の畳み込みは $C_c$ に属し、$\|f*g-f_0*g_0\|_\infty\le\|f-f_0\|_2\|g\|_2+\|f_0\|_2\|g-g_0\|_2$ なので一様極限として $C_0$ に入ります。

参考文献

• Elias M. Stein, Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971 — 第 I 章（Fourier 変換、Plancherel、Poisson 和公式）。
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1987 — 第 9 章（Fourier 変換）。
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd edition, Wiley, 1999 — 第 8 章。
• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1980 — 第 IX 章（Fourier 変換、Hermite 関数）。
• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics III: Scattering Theory, Academic Press, 1979 — 第 XI 章（RAGE の定理と Wiener の定理）。