Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理：完全単調関数・正則変動・斉次核作用素

0. この記事の要点

時間とともに減っていく量（熱が冷める、粒子が崩れる）を、重みを付けて足し合わせると、別の関数ができます。これが Laplace 変換です。この記事では、(1) 変換した関数から元のデータを一意に復元できること、(2) どんな関数が変換の像になるのか、(3) 変換の端での振る舞いから元のデータの大きさの目安を読み取る方法（Tauber 型定理）、の 3 つを順に示します。読み終えると、熱の広がり方から固有値の個数を見積もる議論の仕組みがわかります。

• 正の測度 $\mu$ の Laplace–Stieltjes 変換 $\mathcal{L}\mu(s)=\int_{[0,\infty)}e^{-st}d\mu(t)$ は $\mu$ を一意に決めます。実変数だけで $\mu$ を復元する公式（Widder の反転公式）は Poisson 分布の集中から導けます。
• Bernstein の定理: $(-1)^kf^{(k)}\ge0$（全 $k$）を満たす完全単調関数は、ちょうど正の測度の Laplace 変換です。Osterwalder–Schrader 再構成（時間を虚数にした場の理論から、通常の量子論のエネルギー $H\ge0$ を取り出す手続き）で $e^{-tH}$（$H\ge0$）を取り出す根拠になります。
• Abel の定理（$\int_0^\infty a$ が収束すれば Laplace 変換は Stolz 角（原点から扇形に開いた、虚軸には接しない領域）内で連続）の逆は一般には成り立たず、追加条件（Tauber 条件）が要ります。Newman の解析的 Tauber 定理は「Laplace 変換が虚軸まで正則に延びる」ことを条件にします。
• Karamata の Tauber 定理: 正の測度について $\mathcal{L}\mu(s)\sim s^{-\rho}L(1/s)$（$s\downarrow0$）と $\mu([0,t])\sim t^\rho L(t)/\Gamma(\rho+1)$（$t\to\infty$）は同値です。$L$ は緩変動関数で、その一様収束定理と Potter の評価も証明します。熱核のトレースから固有値の数え上げ（Weyl 則。固有値が $\lambda$ 以下のものの個数の増え方を領域の体積で表す法則）を導く道具です。
• Mellin 変換は $(0,\infty)$ 上の乗法的な Fourier 変換です。$-1$ 次の斉次核 $K(x,y)$ の積分作用素は Mellin 変換で掛け算作用素に対角化され、$K\ge0$ なら $\|K\|_{L^2\to L^2}=\int_0^\infty K(1,y)y^{-1/2}dy$ です（Hilbert の不等式の $\pi$、Hardy の不等式の $2$）。
• ベクトル値 Laplace 変換: 強連続半群 $T(t)$（時間 $t$ ごとの時間発展を表す作用素の族）のレゾルベントは $T$ の Laplace 変換で、実反転公式から指数公式 $T(t)x=\lim_k\bigl(\frac kt(\frac kt-A)^{-1}\bigr)^kx$ が出ます。

この記事で使う事前知識

• 測度: 集合に「大きさ」を割り当てる規則で、互いに交わらない可算個の集合の和では大きさが足し算になるもの。→ 測度
• Fourier 変換: 関数に $e^{-ix\xi}$ を掛けて積分し、周波数 $\xi$ の関数に移す変換。→ Fourier 変換
• 広義積分: 無限区間などでの積分を、区間を広げる極限として定めたもの。→ 広義積分
• 整関数: 複素平面全体で複素微分できる関数。→ 整関数
• Cauchy の積分公式: 正則関数の内部の値は、周りの閉曲線上の積分だけで決まるという公式。→ コーシーの積分定理と積分公式

1. 動機

Laplace 変換は「時間の関数」を「エネルギー（または逆温度）の関数」に移す変換です。次の 3 つの場面が本章の動機です。

1. 再構成定理. Euclid 場の理論の Schwinger 関数から Hilbert 空間とハミルトニアン $H\ge0$ を取り出す Osterwalder–Schrader 再構成では、「$t\mapsto\langle\psi,e^{-tH}\psi\rangle$ の形の関数」を判定する必要があります。これらは完全単調で、逆に完全単調関数はこの形に書けます（Bernstein の定理）。
2. 漸近評価. 有界領域の Laplacian の固有値 $\lambda_n$ について、熱トレース $\sum_ne^{-t\lambda_n}$ の $t\downarrow0$ での漸近形は比較的容易に得られます。そこから固有値の個数 $N(\lambda)=\#\{\lambda_n\le\lambda\}$ の $\lambda\to\infty$ の漸近形を引き出すのが Tauber 型定理です。
3. 斉次な作用素. Hardy の不等式、Hilbert の不等式、相対論的 Kato 不等式のように、スケーリング $x\mapsto\lambda x$ と可換な作用素は Mellin 変換で対角化され、最良定数が計算できます。

本章では、測度は $[0,\infty)$ 上の正のボレル測度で有界集合上で有限なものとし、$\mathcal{L}\mu(s)=\int e^{-st}d\mu(t)$ が $s\gt0$ で有限であることを仮定します。Fourier 変換は $\hat f(\xi)=\int e^{-ix\xi}f(x)dx$ です。

2. Laplace–Stieltjes 変換の一意性と反転

命題 2.1（Laplace 変換の正則性）✓

$\mathcal{L}\mu(s)\lt\infty$（$s\gt\sigma_0$）ならば、$\mathcal{L}\mu(z)=\int e^{-zt}d\mu(t)$ は $\mathrm{Re}\,z\gt\sigma_0$ で正則で、$\mathcal{L}\mu^{(k)}(z)=(-1)^k\int t^ke^{-zt}d\mu(t)$。

証明（命題 2.1）

$\mathrm{Re}\,z\ge\sigma_0+2\delta$ では $t^k|e^{-zt}|\le C_{k,\delta}e^{-(\sigma_0+\delta)t}$ で右辺は $\mu$-可積分なので、積分記号下で $z$ について微分できます（実部・虚部それぞれの偏微分に 系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］ を使い、Cauchy–Riemann 方程式が被積分関数から遺伝する）。

∎

定理 2.2（Laplace 変換の一意性）✓

$\mu,\nu$ について、ある $\sigma\gt0$ と全 $n\in\mathbb{N}_0$ で $\mathcal{L}\mu(\sigma+n)=\mathcal{L}\nu(\sigma+n)\lt\infty$ ならば $\mu=\nu$ である。

証明（定理 2.2）

有限測度 $\mu'=e^{-\sigma t}\mu$、$\nu'=e^{-\sigma t}\nu$ を、同相写像 $t\mapsto x=e^{-t}$（$[0,\infty)\to(0,1]$）で $[0,1]$ 上の測度 $m,n$ に写すと、仮定は $\int x^kdm=\int x^kdn$（全 $k\ge0$）です。Weierstrass の多項式近似定理（系 4.4［Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass］）と有限測度の積分の一様連続性から、すべての連続関数 $\varphi$ で $\int\varphi\,dm=\int\varphi\,dn$ です。閉区間 $[c,d]\subset[0,1]$ の指示関数には連続関数 $\varphi_j\downarrow\mathbf{1}_{[c,d]}$（台形）が取れ、優収束定理で $m([c,d])=n([c,d])$ です。閉区間全体と空集合は π-系で $[0,1]$ のボレル集合族を生成するので、定理 4.5［測度空間と Carathéodory の拡張定理］ から $m=n$、したがって $\mu=\nu$ です。

∎

定理 2.3（Widder の実反転公式）✓

$\mu$ を有限測度とし $f=\mathcal{L}\mu$ とする。$\mu(\{t\})=0$ となる $t\gt0$ について

$$\mu([0,t])=\lim_{k\to\infty}\sum_{0\le j\le kt}\frac{(-k)^j}{j!}f^{(j)}(k).$$

証明の方針: $k$ を大きくすると、右辺の和は「$\tau$ が $t$ より小さければ 1、大きければ 0」に近づく重み $\Pi_k(\tau)$ を $\mu$ で積分したものになります。重みの正体は Poisson 分布で、平均と分散が計算できるので、平均からのずれが小さい確率を Chebyshev 型の不等式で押さえます。

証明（定理 2.3）

命題 2.1 から $\frac{(-k)^j}{j!}f^{(j)}(k)=\int\frac{(k\tau)^j}{j!}e^{-k\tau}d\mu(\tau)$ なので、右辺の有限和は $\int\Pi_k(\tau)\,d\mu(\tau)$、$\Pi_k(\tau)=\sum_{0\le j\le kt}\frac{(k\tau)^j}{j!}e^{-k\tau}$ です。$\lambda=k\tau$ とおくと $p_j=\frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}$ は $\sum_jp_j=1$、$\sum_jjp_j=\lambda$、$\sum_j(j-\lambda)^2p_j=\lambda$ を満たします（指数関数の級数を微分して確かめられる）。$\tau\gt t$ なら $\{j\le kt\}\subset\{|j-\lambda|\ge k(\tau-t)\}$ なので、Chebyshev 型の評価で $\Pi_k(\tau)\le\frac{k\tau}{k^2(\tau-t)^2}\to0$、$\tau\lt t$ なら同様に $1-\Pi_k(\tau)\le\frac{k\tau}{k^2(t-\tau)^2}\to0$ です。$0\le\Pi_k\le1$、$\mu$ は有限で $\mu(\{t\})=0$ なので、優収束定理から $\int\Pi_kd\mu\to\mu([0,t))=\mu([0,t])$ です。

∎

3. 完全単調関数と Bernstein の定理

定義 3.1（完全単調関数）↗

$f\in C^\infty((0,\infty))$ が完全単調であるとは、すべての $k\ge0$ と $s\gt0$ で $(-1)^kf^{(k)}(s)\ge0$ となることをいう。

例えば $e^{-as}$（$a\ge0$）、$s^{-\alpha}$（$\alpha\gt0$）、$\frac1{1+s}$ は完全単調で、完全単調関数の和・積・非負の極限も完全単調です（積は Leibniz 則）。

補題 3.2（絶対単調関数のべき級数展開）✓

$g\in C^\infty([0,1))$ がすべての $n$ で $g^{(n)}\ge0$ を満たすならば、$0\le x\lt1$ で $g(x)=\sum_{n\ge0}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n$。

証明（補題 3.2）

積分形の剰余つき Taylor の定理で $g(x)=\sum_{n\le N}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_N(x)$、$R_N(x)=\frac{x^{N+1}}{N!}\int_0^1g^{(N+1)}(xu)(1-u)^Ndu\ge0$ です。$0\le x\lt y\lt1$ とすると、$g^{(N+1)}$ は増加関数（導関数が非負）なので $g^{(N+1)}(xu)\le g^{(N+1)}(yu)$ で、$R_N(x)\le(x/y)^{N+1}R_N(y)$ です。Taylor 多項式の各項は非負なので $R_N(y)\le g(y)$ で、$R_N(x)\le(x/y)^{N+1}g(y)\to0$ です。

∎

補題 3.3（Helly の選出定理）✓

$[0,\infty)$ 上の正の測度の列 $\nu_k$ が $\nu_k([0,\infty))\le M$ を満たすならば、部分列 $\nu_{k_j}$ と正の測度 $\nu$（$\nu([0,\infty))\le M$）があって、$\tau\to\infty$ で $0$ に収束する連続関数 $\varphi$ すべてについて $\int\varphi\,d\nu_{k_j}\to\int\varphi\,d\nu$。

証明（補題 3.3）

$\nu_k$ を $(-\infty,0)$ 上で $0$ として $\mathbb{R}$ 上の有限ボレル測度とみなし、$\mathbb{R}^n$ 上の Helly の選出定理（系 7.5［Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理］、$n=1$）を使うと、部分列 $\nu_{k_j}$ と $\mathbb{R}$ 上の有限ボレル測度 $\nu$ で、すべての $\psi\in C_0(\mathbb{R})$ について $\int\psi\,d\nu_{k_j}\to\int\psi\,d\nu$、かつ $\nu(\mathbb{R})\le\liminf_j\nu_{k_j}(\mathbb{R})\le M$ となるものが取れます。$\psi\in C_c((-\infty,0))$ なら $\int\psi\,d\nu=\lim_j\int\psi\,d\nu_{k_j}=0$ なので、$\nu$ は開集合 $(-\infty,0)$ に質量をもちません（$\psi_m\uparrow\mathbf{1}_{(-\infty,0)}$ となる $0\le\psi_m\in C_c((-\infty,0))$ を取り単調収束定理）。$[0,\infty)$ 上の連続関数 $\varphi$ で $\tau\to\infty$ で $0$ に収束するものは、$x\lt0$ で $\psi(x)=\varphi(0)\max\{0,1+x\}$ と延ばせば $\psi\in C_0(\mathbb{R})$ で、$\int\varphi\,d\nu_{k_j}=\int\psi\,d\nu_{k_j}\to\int\psi\,d\nu=\int_{[0,\infty)}\varphi\,d\nu$ です。$\nu$ を $[0,\infty)$ に制限したものが求める測度です。

∎

定理 3.4（Bernstein の定理）✓

$f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ が完全単調であるための必要十分条件は、$[0,\infty)$ 上の正の測度 $\mu$ で

$$f(s)=\int_{[0,\infty)}e^{-st}\,d\mu(t)\qquad(s\gt0)$$

となるものが存在することである。$\mu$ は一意である。

証明の方針（必要性）: 完全単調な $f$ を、点 $a$ のまわりの冪級数で書き直すと、指数関数 $e^{-n s/a}$ の非負の重みつき和で近似できます。この和は、点 $n/a$ に質量をもつ測度の Laplace 変換です。$a\to\infty$ としたとき、これらの測度が収束する先が求める $\mu$ です。途中の不等式 $1-u\ge e^{-u-u^2}$ は、$(1-u)^n$ を $e^{-nu}$ に置き換えたときの誤差を $u/e$ 程度に抑えるためのものです。

証明（定理 3.4）

十分性は 命題 2.1 で $(-1)^kf^{(k)}(s)=\int t^ke^{-st}d\mu\ge0$ です。一意性は 定理 2.2 です。

必要性（$M=f(0+)\lt\infty$ の場合）. $f$ は減少なので $f(0+)=\lim_{s\downarrow0}f(s)$ が存在します。$a\gt0$ について $g_a(x)=f(a(1-x))$（$0\le x\lt1$）は $g_a^{(n)}(x)=a^n(-1)^nf^{(n)}(a(1-x))\ge0$ を満たすので、補題 3.2 から

$$f(s)=\sum_{n\ge0}c_n(a)\Bigl(1-\frac sa\Bigr)^n\quad(0\lt s\le a),\qquad c_n(a)=\frac{a^n(-1)^nf^{(n)}(a)}{n!}\ge0$$

で、$s\downarrow0$ として（非負項の級数の単調収束）$\sum_nc_n(a)=M$ です。$\mu_a=\sum_nc_n(a)\delta_{n/a}$ は全質量 $M$ の測度です。$0\le u\le\frac12$ では $1-u\ge e^{-u-u^2}$ なので $0\le e^{-nu}-(1-u)^n\le e^{-nu}(1-e^{-nu^2})\le nu^2e^{-nu}\le u/e$ で、$u=s/a$ とおくと

$$\Bigl|\int e^{-s\tau}d\mu_a(\tau)-f(s)\Bigr|\le\sum_nc_n(a)\bigl|e^{-ns/a}-(1-s/a)^n\bigr|\le\frac{Ms}{ea}\qquad(a\ge2s)$$

です。補題 3.3 で $a_j\to\infty$ の部分列と測度 $\mu$ を取ると、$s\gt0$ について $e^{-s\tau}$ は無限遠で $0$ に収束する連続関数なので、$f(s)=\lim_j\int e^{-s\tau}d\mu_{a_j}=\int e^{-s\tau}d\mu$ です。

一般の場合. $\varepsilon\gt0$ について $f_\varepsilon(s)=f(s+\varepsilon)$ は完全単調で $f_\varepsilon(0+)=f(\varepsilon)\lt\infty$ なので、$f(s+\varepsilon)=\int e^{-s\tau}d\mu_\varepsilon(\tau)$ となる $\mu_\varepsilon$ があります。$\nu_\varepsilon=e^{\varepsilon\tau}\mu_\varepsilon$ とおくと $f(s)=\int e^{-s\tau}d\nu_\varepsilon$（$s\gt\varepsilon$）で、定理 2.2 から $\nu_\varepsilon$ は $\varepsilon$ によりません。これを $\mu$ とすれば、すべての $s\gt0$ で表示が成り立ちます。

∎

例 3.5（半群の行列要素）

$H\ge0$ を自己共役作用素、$\psi$ をベクトルとすると、スペクトル定理（定理 6.2［スペクトル定理と関数計算］）から $f(t)=\langle\psi,e^{-tH}\psi\rangle=\int e^{-t\lambda}d\mu_\psi(\lambda)$ は完全単調です。Bernstein の定理はこの逆で、例えば反射正値性から $f(t)$ の完全単調性が示せれば、$H\ge0$ と $\psi$ が（$\mu_\psi$ を使った $L^2$ 空間の掛け算作用素として）再構成できます。Osterwalder–Schrader の再構成（Osterwalder–Schrader の公理）の 1 変数版です。

4. Abel の定理と Newman の解析的 Tauber 定理

Abel 型の定理は「関数の振る舞い $\Rightarrow$ 変換の振る舞い」、Tauber 型の定理はその逆向きで、逆向きには追加の仮定が必要です。

定理 4.1（Abel の定理（Stolz 角での連続性））✓

$a:[0,\infty)\to\mathbb{C}$ を局所可積分とし、広義積分 $I=\int_0^\infty a(t)\,dt=\lim_{T\to\infty}\int_0^Ta$ が収束するとする。このとき $A(z)=\int_0^\infty e^{-zt}a(t)\,dt$ は $\mathrm{Re}\,z\gt0$ で（広義積分として）収束し、$0\le\theta\lt\pi/2$ について

$$\lim_{z\to0,\ |\arg z|\le\theta}A(z)=I .$$

証明（定理 4.1）

$S(t)=\int_t^\infty a$ は有界連続で $S(t)\to0$（$t\to\infty$）、$S(0)=I$ です。$S$ は絶対連続で $S'=-a$ a.e. なので（定理 6.9［符号付き測度と Radon–Nikodym の定理］）、部分積分で

$$\int_0^Te^{-zt}a(t)\,dt=I-e^{-zT}S(T)-z\int_0^Te^{-zt}S(t)\,dt$$

です。$\mathrm{Re}\,z\gt0$ では右辺は $T\to\infty$ で $I-z\int_0^\infty e^{-zt}S(t)dt$ に収束します。$T_0$ を固定すると

$$\Bigl|z\int_0^\infty e^{-zt}S(t)\,dt\Bigr|\le|z|T_0\|S\|_\infty+\frac{|z|}{\mathrm{Re}\,z}\sup_{t\ge T_0}|S(t)|$$

で、Stolz 角内では $|z|/\mathrm{Re}\,z\le1/\cos\theta$ です。$z\to0$、次に $T_0\to\infty$ とすれば結論を得ます。

∎

逆は成り立ちません。$a(t)=e^{it}$ なら $A(z)=\frac1{z-i}\to i$（$z\to0$）ですが、$\int_0^Te^{it}dt$ は収束しません。$A$ が $z=\pm i$ に極をもち、虚軸まで正則に延びないことが原因です。次の定理は、それが唯一の障害であることを示します。

定理 4.2（Newman の解析的 Tauber 定理）✓

$f:[0,\infty)\to\mathbb{C}$ が有界（$|f|\le B$）で局所可積分とし、$g(z)=\int_0^\infty f(t)e^{-zt}dt$（$\mathrm{Re}\,z\gt0$）が閉半平面 $\mathrm{Re}\,z\ge0$ の近傍で正則な関数に延びるとする。このとき $\int_0^\infty f(t)\,dt$ は広義積分として収束し、$g(0)$ に等しい。

証明の方針: 広義積分を $T$ で打ち切った $g_T(0)$ が $g(0)$ に近づくことを、Cauchy の積分公式で示します。積分路は下の図の境界 $C$ で、右半分 $C_+$ では $g-g_T$ が $T$ とともに小さくなり、左半分 $C_-$ では $g$ が正則であることを使います。被積分関数に掛ける因子 $(1+z^2/R^2)/z$ は、半径 $R$ の円周上で $\frac{2|\mathrm{Re}\,z|}{R^2}$ という大きさになり、$\mathrm{Re}\,z$ が 0 に近いところで評価が発散するのを防ぐためのものです。

Newman の定理の証明で使う積分路 C。半径 R の円板のうち Re z ≥ −δ の部分の境界で、右半円 C₊（実線）では g − g_T が T とともに小さくなり、左側の C₋（破線）では g が正則であることを使う。

証明（定理 4.2）

$T\gt0$ について $g_T(z)=\int_0^Tf(t)e^{-zt}dt$ は整関数です。$g_T(0)\to g(0)$ を示します。$R\gt0$ を取り、$\delta=\delta(R)\gt0$ を $g$ が $\{|z|\le R,\ \mathrm{Re}\,z\ge-\delta\}$ の近傍で正則となるように取ります（コンパクト性）。この領域の境界を $C$ とし、$C_+=C\cap\{\mathrm{Re}\,z\gt0\}$、$C_-=C\cap\{\mathrm{Re}\,z\lt0\}$ とします。Cauchy の積分公式（定理 6.1［コーシーの積分定理と積分公式］）を $h(z)=(g(z)-g_T(z))e^{zT}(1+z^2/R^2)$ に使うと

$$g(0)-g_T(0)=\frac1{2\pi i}\oint_C\bigl(g(z)-g_T(z)\bigr)e^{zT}\Bigl(1+\frac{z^2}{R^2}\Bigr)\frac{dz}z .$$

$|z|=R$ 上では $\bigl|\bigl(1+\frac{z^2}{R^2}\bigr)\frac1z\bigr|=\frac{|\bar z+z|}{R^2}=\frac{2|\mathrm{Re}\,z|}{R^2}$ です。

$C_+$ 上. $|g(z)-g_T(z)|=|\int_T^\infty fe^{-zt}dt|\le Be^{-T\mathrm{Re}\,z}/\mathrm{Re}\,z$ なので被積分関数は $2B/R^2$ 以下、長さ $\pi R$ で、寄与は $B/R$ 以下です。

$C_-$ 上の $g_T$ の項. $g_T$ は整関数なので、積分路を左半円 $\{|z|=R,\ \mathrm{Re}\,z\lt0\}$ に変形できます（間の領域は $0$ を含まない）。そこで $|g_T(z)|\le Be^{-T\mathrm{Re}\,z}/|\mathrm{Re}\,z|$ なので、同様に寄与は $B/R$ 以下です。

$C_-$ 上の $g$ の項. 被積分関数 $g(z)e^{zT}(1+z^2/R^2)/z$ は $C_-$ 上で $T$ によらない定数で抑えられ（$C_-$ 上で $|z|\ge\delta$）、$\mathrm{Re}\,z\lt0$ の各点で $T\to\infty$ のとき $0$ に収束するので、優収束定理で寄与は $0$ に収束します。

以上から $\limsup_{T\to\infty}|g(0)-g_T(0)|\le2B/R$ で、$R$ は任意です。

∎

この定理は素数定理の最短の証明（Newman 1980、Zagier による整理）の核で、$f(t)=\vartheta(e^t)e^{-t}-1$ に適用されます。正の測度に対する Tauber 定理（次節）とは異なり、符号の仮定の代わりに解析接続を仮定します。

5. 正則変動と Karamata の Tauber 定理

定義 5.1（緩変動関数・正則変動関数）↗

可測関数 $L:[X_0,\infty)\to(0,\infty)$ が緩変動であるとは、すべての $\lambda\gt0$ で $L(\lambda x)/L(x)\to1$（$x\to\infty$）となることをいう。$U(x)=x^\rho L(x)$ の形の関数を指数 $\rho$ の正則変動関数という。

$\log x$、$\log\log x$、$\exp(\sqrt{\log x})$ は緩変動で、$2+\sin x$ は緩変動ではありません。

定理 5.2（一様収束定理）✓

$L$ が緩変動ならば、$0\lt a\lt b$ について $\sup_{\lambda\in[a,b]}\bigl|\frac{L(\lambda x)}{L(x)}-1\bigr|\to0$（$x\to\infty$）。

この定理は、各 $\lambda$ ごとの収束を、有限の範囲の $\lambda$ にわたって一様な収束に強めます。証明は背理法です。収束しない例があれば、2 つの「ほとんど全部の点で成り立つ集合」（測度が全体に近い集合）を作れて、それらは大きさの足し算から必ず交わり、その共通の点で矛盾が出ます。

証明（定理 5.2）

$h(u)=\log L(e^u)$ とおくと、仮定は「各 $v$ で $h(u+v)-h(u)\to0$（$u\to\infty$）」です。$K\gt0$ について $\sup_{v\in[0,K]}|h(u+v)-h(u)|\to0$ を示せば十分です（$[\log a,\log b]\subset[-K,K]$ の場合は $u$ を $u-K$ に置き換え、$h(u+v)-h(u)=[h(u-K+(v+K))-h(u-K)]-[h(u-K+K)-h(u-K)]$ と分ける）。

成り立たないとすると、$\varepsilon\gt0$、$u_n\to\infty$、$v_n\in[0,K]$ で $|h(u_n+v_n)-h(u_n)|\ge\varepsilon$ となるものがあります。$J=[0,2K]$ とし

$$E_n=\{w\in J\mid|h(u_n+w)-h(u_n)|\lt\varepsilon/2\},\qquad F_n=\{w\in J\mid|h(u_n+w)-h(u_n+v_n)|\lt\varepsilon/2\}$$

とおきます。$\mathbf{1}_{J\setminus E_n}(w)\to0$ が各 $w$ で成り立つので、優収束定理から $|E_n|\to2K$ です。$F_n$ は $v_n+\{w'\in[-v_n,2K-v_n]\mid|h(u_n+v_n+w')-h(u_n+v_n)|\lt\varepsilon/2\}$ で、$u_n+v_n\to\infty$ かつ各 $w'\in[-K,2K]$ で $h(u_n+v_n+w')-h(u_n+v_n)\to0$ なので、同じく $|[-K,2K]$ の悪い集合$|\to0$、よって $|F_n|\to2K$ です。十分大きな $n$ で $|E_n|+|F_n|\gt|J|$ なので $w\in E_n\cap F_n$ があり、$|h(u_n+v_n)-h(u_n)|\lt\varepsilon$ となって矛盾します。

∎

系 5.3（Potter の評価）✓

$L$ を緩変動、$A\gt1$、$\delta\gt0$ とする。ある $X$ が存在して、すべての $x,y\ge X$ について

$$\frac{L(y)}{L(x)}\le A\max\Bigl(\Bigl(\frac yx\Bigr)^\delta,\Bigl(\frac yx\Bigr)^{-\delta}\Bigr).$$

証明（系 5.3）

$\eta=\min(\delta,\log A)$ とします。定理 5.2（$h$ の記号で $K=1$）から、$u\ge U_0$ かつ $v\in[0,1]$ で $|h(u+v)-h(u)|\le\eta$ となる $U_0$ があります。$U_0\le u\le u'$ について $u'-u=m+r$（$m\in\mathbb{N}_0$、$0\le r\lt1$）と書き、$m+1$ 回に分けて評価すると $|h(u')-h(u)|\le(m+1)\eta\le\eta(u'-u)+\eta$ です。$X=e^{U_0}$、$x=e^u$、$y=e^{u'}$ とすると $\frac{L(y)}{L(x)}\le e^\eta(y/x)^\eta\le A(y/x)^\delta$ で、$y\lt x$ の場合も同様です。

∎

定理 5.4（Karamata の Tauber 定理）✓

$\mu$ を $[0,\infty)$ 上の正の測度で $\mathcal{L}\mu(s)\lt\infty$（$s\gt0$）、$\rho\ge0$、$L$ を緩変動関数とする。次は同値である。

1. $\mathcal{L}\mu(s)\sim s^{-\rho}L(1/s)$（$s\downarrow0$）。
2. $\mu([0,t])\sim\dfrac{t^\rho L(t)}{\Gamma(\rho+1)}$（$t\to\infty$）。

証明の方針: 1 ⇒ 2 では、$\mu$ を拡大縮小した測度 $\mu_s$ の Laplace 変換が $\lambda^{-\rho}$ に収束することから、指数関数の多項式で近似できる関数については積分が収束することを示し、区間 $[0,1]$ の指示関数を上下から多項式で挟んで、$\mu_s([0,1])$ の極限を求めます。2 ⇒ 1 では、$\mu([0,t])$ を使って Laplace 変換を書き直し、Potter の評価で優関数を作って優収束定理を適用します。

証明（定理 5.4）

1 ⇒ 2（Tauber の向き）. $s\gt0$ について測度 $\mu_s(B)=\mu(s^{-1}B)/(s^{-\rho}L(1/s))$ を考えます。$\lambda\gt0$ について

$$\int e^{-\lambda\tau}d\mu_s(\tau)=\frac{\mathcal{L}\mu(\lambda s)}{s^{-\rho}L(1/s)}\to\lambda^{-\rho}\qquad(s\downarrow0)$$

です（$\mathcal{L}\mu(\lambda s)\sim(\lambda s)^{-\rho}L(1/(\lambda s))$ と緩変動性）。$\lambda^{-\rho}=\int e^{-\lambda\tau}d\nu_\rho(\tau)$ となる測度は $\nu_\rho=\frac{\tau^{\rho-1}}{\Gamma(\rho)}d\tau$（$\rho\gt0$）、$\nu_0=\delta_0$ です。したがって多項式 $P$ について $\int P(e^{-\tau})e^{-\tau}d\mu_s\to\int P(e^{-\tau})e^{-\tau}d\nu_\rho$ です（$\lambda=j+1$ の一次結合）。

$[0,1]$ 上の関数 $g(x)=x^{-1}\mathbf{1}_{[e^{-1},1]}(x)$ は $g(e^{-\tau})e^{-\tau}=\mathbf{1}_{[0,1]}(\tau)$ を満たします。$m$ を $e^{-\tau}d\nu_\rho(\tau)$ の $x=e^{-\tau}$ による像（$[0,1]$ 上の確率測度で、$x=e^{-1}$ に原子をもたない）とします。$\varepsilon\gt0$ に対し、$g$ と $e^{-1}$ の小さな近傍の外で一致する連続関数 $h_-\le g\le h_+$（$|h_\pm|\le e+1$）を $\int(h_+-h_-)dm\lt\varepsilon/2$ と取り、Weierstrass の定理で多項式 $p_\pm$ を $|p_\pm-h_\pm|\lt\varepsilon/8$ と取ります。$P=p_--\varepsilon/8\le g\le Q=p_++\varepsilon/8$ で $\int(Q-P)dm\lt\varepsilon$ です。$\mu_s$ は正の測度なので

$$\mu_s([0,1])=\int g(e^{-\tau})e^{-\tau}d\mu_s\le\int Q(e^{-\tau})e^{-\tau}d\mu_s\xrightarrow{s\downarrow0}\int Q\,dm\le\int g\,dm+\varepsilon=\nu_\rho([0,1])+\varepsilon$$

で、下からも同様です。よって $\mu_s([0,1])\to\nu_\rho([0,1])=\frac1{\Gamma(\rho+1)}$（$\rho\gt0$ では $\int_0^1\frac{\tau^{\rho-1}}{\Gamma(\rho)}d\tau=\frac1{\rho\Gamma(\rho)}$）です。$\mu_s([0,1])=\mu([0,1/s])/(s^{-\rho}L(1/s))$ で $t=1/s$ とおけば 2 です。

2 ⇒ 1（Abel の向き）. $U(t)=\mu([0,t])$ とすると、Tonelli の定理で $\mathcal{L}\mu(s)=s\int_0^\infty e^{-s\tau}U(\tau)d\tau=\int_0^\infty e^{-v}U(v/s)dv$ です。$L_U(t)=U(t)t^{-\rho}$ は 2 から $L(t)/\Gamma(\rho+1)$ と漸近同値なので緩変動です。$\frac{U(v/s)}{U(1/s)}=v^\rho\frac{L_U(v/s)}{L_U(1/s)}\to v^\rho$ が各 $v$ で成り立ちます。系 5.3（$\delta\lt\min(1,\rho+1)$）から、$1/s\ge X$ のとき $v/s\ge X$ なら $\frac{U(v/s)}{U(1/s)}\le A(v^{\rho+\delta}+v^{\rho-\delta})$、$v/s\lt X$ なら $U$ の単調性から $\frac{U(v/s)}{U(1/s)}\le\frac{U(X)}{U(X)}=1$ です。優関数 $e^{-v}(1+A(v^{\rho+\delta}+v^{\rho-\delta}))$ は可積分なので、優収束定理で $\frac{\mathcal{L}\mu(s)}{U(1/s)}\to\int_0^\infty e^{-v}v^\rho dv=\Gamma(\rho+1)$、すなわち 1 です。

∎

例 5.5（区間の Dirichlet Laplacian の固有値の数え上げ）

$(0,\ell)$ 上の $-\frac{d^2}{dx^2}$（Dirichlet 境界条件）の固有値は $\lambda_n=(n\pi/\ell)^2$（$n\ge1$）です。$\mu=\sum_n\delta_{\lambda_n}$ とすると $\mathcal{L}\mu(t)=\sum_ne^{-tn^2\pi^2/\ell^2}$ で、Poisson 和公式（定理 6.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）から $\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-tn^2\pi^2/\ell^2}=\frac{\ell}{\sqrt{\pi t}}\sum_{k\in\mathbb{Z}}e^{-k^2\ell^2/t}\sim\frac{\ell}{\sqrt{\pi t}}$ なので、$\mathcal{L}\mu(t)\sim\frac{\ell}{2\sqrt\pi}t^{-1/2}$（$t\downarrow0$）です。定理 5.4（$\rho=\frac12$、$L=\frac{\ell}{2\sqrt\pi}$）から $N(\lambda)=\mu([0,\lambda])\sim\frac{\ell}{2\sqrt\pi}\frac{\lambda^{1/2}}{\Gamma(3/2)}=\frac{\ell\sqrt\lambda}{\pi}$ で、これは直接の数え上げ $N(\lambda)=\lfloor\ell\sqrt\lambda/\pi\rfloor$ と一致します。高次元の領域では熱トレースの主要項 $(4\pi t)^{-d/2}|\Omega|$ から同じ議論で Weyl 則 $N(\lambda)\sim\frac{|\Omega|\lambda^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}\Gamma(d/2+1)}$ が出ます。

6. Mellin 変換と斉次核作用素

定義 6.1（Mellin 変換）↗

$(0,\infty)$ 上の関数 $f$ に対し、積分が意味をもつ $s\in\mathbb{C}$ について $(\mathcal{M}f)(s)=\int_0^\infty f(x)x^{s-1}dx$ を Mellin 変換という。

乗法群 $(0,\infty)$ とは、正の実数全体に掛け算を演算として考えたものです。$x$ を $e^u$ と書けば、掛け算 $xy$ は $u$ の足し算に変わり、足し算の世界（$\mathbb{R}$）の Fourier 変換が使えるようになります。実際、変数変換 $x=e^u$ で $(\mathcal{M}f)(s)=\int_{\mathbb{R}}f(e^u)e^{su}du$ となるので、Mellin 変換は乗法群 $(0,\infty)$ 上の Fourier 変換です。$f\in L^2((0,\infty),dx)$ について $\phi(u)=e^{u/2}f(e^u)$ とおくと $\|\phi\|_{L^2(\mathbb{R})}=\|f\|_{L^2(0,\infty)}$ で、$(\mathcal{M}f)(\frac12+it)=\hat\phi(-t)$ です。Plancherel の定理から

$$\frac1{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\Bigl|(\mathcal{M}f)\Bigl(\frac12+it\Bigr)\Bigr|^2dt=\int_0^\infty|f(x)|^2dx$$

が成り立ち、$f\mapsto\mathcal{M}f(\frac12+i\cdot)$ は $L^2(0,\infty)$ から $L^2(\mathbb{R},dt/2\pi)$ へのユニタリ作用素に延びます。

定理 6.2（斉次核作用素のノルム）✓

$K:(0,\infty)^2\to\mathbb{C}$ を可測で $-1$ 次斉次（$K(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{-1}K(x,y)$）とし、$\int_0^\infty|K(1,y)|y^{-1/2}dy\lt\infty$ とする。このとき $(\mathbf{K}f)(x)=\int_0^\infty K(x,y)f(y)\,dy$ は $L^2(0,\infty)$ 上の有界作用素で、Mellin 変換により掛け算作用素

$$\mathcal{M}(\mathbf{K}f)\Bigl(\frac12+it\Bigr)=\kappa(t)\,\mathcal{M}f\Bigl(\frac12+it\Bigr),\qquad\kappa(t)=\int_0^\infty K(1,y)\,y^{-1/2-it}\,dy$$

に移る。$\|\mathbf{K}\|=\sup_t|\kappa(t)|$ で、$K\ge0$ ならば $\|\mathbf{K}\|=\kappa(0)=\int_0^\infty K(1,y)y^{-1/2}dy$。

証明（定理 6.2）

斉次性から $K(x,y)=x^{-1}K(1,y/x)$ です。$x=e^u$、$y=e^w$ とし $\phi(w)=e^{w/2}f(e^w)$ とおくと

$$e^{u/2}(\mathbf{K}f)(e^u)=\int e^{u/2}e^{-u}K(1,e^{w-u})f(e^w)e^wdw=\int k(w-u)\phi(w)\,dw,\qquad k(v)=K(1,e^v)e^{v/2}$$

です。$\int|k|dv=\int_0^\infty|K(1,y)|y^{-1/2}dy\lt\infty$ なので、これは $L^1$ 関数 $\tilde k(v)=k(-v)$ との畳み込み $\tilde k*\phi$ で、Young の不等式（定理 5.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）から $L^2$ で有界です。Fourier 変換では $\widehat{\tilde k*\phi}=\hat{\tilde k}\hat\phi$ で、$\hat{\tilde k}(\xi)=\int k(v)e^{iv\xi}dv=\int_0^\infty K(1,y)y^{-1/2+i\xi}dy=\kappa(-\xi)$ です。$(\mathcal{M}f)(\frac12+it)=\hat\phi(-t)$ と合わせて主張の掛け算表示を得ます。$\kappa$ は有界連続（優収束定理）です。$L^2(\mathbb{R})$ 上の $\kappa$ の掛け算作用素のノルムは $\sup|\kappa|$ に等しくなります: $\le$ は明らかで、$|\kappa(t_0)|\gt\sup|\kappa|-\varepsilon$ なら連続性から $t_0$ のある近傍 $J$ 上で同じ不等式が成り立ち、$J$ に台をもつ単位ベクトルで $\ge$ が出ます。ユニタリ同値でノルムは変わりません。$K\ge0$ なら $|\kappa(t)|\le\int K(1,y)y^{-1/2}dy=\kappa(0)$ です。

∎

例 6.3（Hardy の不等式と Hilbert の不等式）

1. Hardy の不等式. $(\mathbf{H}f)(x)=\frac1x\int_0^xf(y)dy$ の核 $K(x,y)=x^{-1}\mathbf{1}_{y\lt x}$ は $-1$ 次斉次で、$\kappa(0)=\int_0^1y^{-1/2}dy=2$ です。よって $\int_0^\infty\bigl|\frac1x\int_0^xf\bigr|^2dx\le4\int_0^\infty|f|^2dx$ で、定数 $4$ は最良です（掛け算作用素 $\kappa(t)=\frac{1}{1/2-it}$ の上限は $t=0$ で達成され、近似固有関数 $x^{-1/2}$ の切り落としで近づける）。Sobolev 空間の章の半直線版 Hardy 不等式（命題 7.1［Sobolev 空間］）は、$f=u'$ とおいた同値な形です。
2. Hilbert の不等式. $K(x,y)=\frac1{x+y}$ では $\kappa(0)=\int_0^\infty\frac{y^{-1/2}}{1+y}dy=\pi$ で、補間の章の 定理 7.2［補間と古典的不等式］ の連続版の定数 $\pi$ が最良であることがわかります。$\kappa(t)=\int_0^\infty\frac{y^{-1/2-it}}{1+y}dy=\frac{\pi}{\cosh\pi t}$ です。

$\mathbb{R}^3$ の相対論的 Kato 不等式 $\int\frac{|f|^2}{|x|}dx\le\frac\pi2\langle f,|p|f\rangle$ の最良定数も、角運動量ごとに分解した動径部分を斉次核作用素と見て、この定理で計算されます（Lieb–Thirring 不等式 で使う）。

7. ベクトル値 Laplace 変換

$X$ を Banach 空間、$u:[0,\infty)\to X$ を連続で $\|u(t)\|\le Me^{\omega t}$ とします。$\mathrm{Re}\,\lambda\gt\omega$ について $\hat u(\lambda)=\int_0^\infty e^{-\lambda t}u(t)\,dt$ を、連続関数の Riemann 積分 $\int_0^T$ の $T\to\infty$ でのノルム極限として定めます。

定理 7.1（ベクトル値 Laplace 変換）✓

1. $\hat u$ は $\mathrm{Re}\,\lambda\gt\omega$ で正則（ノルム位相で複素微分可能）で、$\hat u^{(k)}(\lambda)=\int_0^\infty(-t)^ke^{-\lambda t}u(t)dt$。
2. （一意性）$\hat u(\lambda)=0$（$\lambda\gt\omega$ 実数）ならば $u\equiv0$。
3. （Post–Widder の反転公式）$t\gt0$ について

$$u(t)=\lim_{k\to\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\Bigl(\frac kt\Bigr)^{k+1}\hat u^{(k)}\Bigl(\frac kt\Bigr)\qquad(\text{ノルム収束}).$$

証明（定理 7.1）

1: 差分商と被積分関数の微分の差をノルムで評価すると、スカラーの場合（命題 2.1）と同じ優関数による評価が成り立ちます（Riemann 積分のノルムは被積分関数のノルムの積分以下）。

2: $x^*\in X^*$ について $\langle x^*,\hat u(\lambda)\rangle$ は連続関数 $\langle x^*,u(t)\rangle$ の Laplace 変換なので、定理 2.2（実部と虚部に分け、さらに正部分と負部分に分けた測度に適用）から $\langle x^*,u(t)\rangle\equiv0$ です。Hahn–Banach の定理（系 3.4［Banach 空間の基本定理］）から $u\equiv0$ です。

3: 1 から右辺は $\int_0^\infty\rho_k(\tau)u(\tau)d\tau$、$\rho_k(\tau)=\frac{(k/t)^{k+1}\tau^ke^{-k\tau/t}}{k!}$ です。$\int_0^\infty\tau^je^{-a\tau}d\tau=j!/a^{j+1}$ から、$\rho_k$ は確率密度で、平均 $m_k=\frac{k+1}kt$、分散 $\frac{k+1}{k^2}t^2$ をもちます。$\eta\gt0$ を取ると

$$\Bigl\|\int\rho_ku\,d\tau-u(t)\Bigr\|\le\sup_{|\tau-t|\lt\eta}\|u(\tau)-u(t)\|+\int_{|\tau-t|\ge\eta}\rho_k(\tau)\bigl(Me^{\omega\tau}+\|u(t)\|\bigr)d\tau$$

です。第 2 項は Cauchy–Schwarz の不等式で $\bigl(\int\rho_k(Me^{\omega\tau}+\|u(t)\|)^2\bigr)^{1/2}\bigl(\int_{|\tau-t|\ge\eta}\rho_k\bigr)^{1/2}$ 以下で、前の因子は $\int\rho_ke^{2\omega\tau}=(1-2\omega t/k)^{-(k+1)}\to e^{2\omega t}$（$k\gt2\omega t$）から有界、後の因子は Chebyshev の不等式で（$|m_k-t|\lt\eta/2$ となる $k$ について）$\le\frac{4(k+1)t^2}{k^2\eta^2}\to0$ です。$\eta\to0$ で第 1 項も $0$ に近づきます。

∎

Post–Widder の核 ρ_k（t = 1）。k = 2, 8, 32 と増やすと、平均 (k+1)/k、分散 (k+1)/k² のガンマ分布の密度が τ = 1 に集中し、∫ρ_k u → u(1) となる。Widder の反転公式（Poisson 分布の集中）と同じ仕組みである。

系 7.2（半群の指数公式）✓

$T(t)$ を Banach 空間 $X$ 上の強連続半群、$\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$、$A$ をその生成子とする。$\lambda\gt\omega$ でレゾルベントは $(\lambda-A)^{-1}x=\int_0^\infty e^{-\lambda t}T(t)x\,dt$ と表され、すべての $x\in X$、$t\gt0$ について

$$T(t)x=\lim_{k\to\infty}\Bigl(\frac kt\Bigl(\frac kt-A\Bigr)^{-1}\Bigr)^{k+1}x .$$

証明（系 7.2）

レゾルベントの Laplace 表示は 命題 4.2［1 径数ユニタリ群と強連続半群］ の 3 です。$R(\lambda)=(\lambda-A)^{-1}$ はレゾルベント恒等式から $R'(\lambda)=-R(\lambda)^2$、帰納的に $R^{(k)}(\lambda)=(-1)^kk!R(\lambda)^{k+1}$ です。定理 7.1 の 3 を $u(t)=T(t)x$ に使うと、$\frac{(-1)^k}{k!}(k/t)^{k+1}R^{(k)}(k/t)x=\bigl(\frac ktR(\frac kt)\bigr)^{k+1}x$ なので主張を得ます。

∎

$A$ が自己共役で $-A\ge0$ のとき、これは関数計算の $\bigl(1-\frac{t\lambda}k\bigr)^{-(k+1)}\to e^{t\lambda}$ そのもので、陰的 Euler 法 $(1-\frac tkA)^{-k}$ が半群に収束することの抽象的な形です。

8. 演習

演習 8.1標準

(a) $f(s)=e^{-\sqrt s}$ が完全単調であることを、$\sqrt s$ の導関数の符号から示せ（ヒント: $g'$ が完全単調で $g\ge0$ なら $e^{-g}$ は完全単調）。(b) $e^{-\sqrt s}=\int_0^\infty e^{-st}\frac{1}{2\sqrt\pi}t^{-3/2}e^{-1/(4t)}dt$ を確かめよ（Bernstein の定理の $\mu$ の具体形）。

解答

(a) $h=e^{-g}$ とすると $h'=-g'h$ です。$g'$ と $h$ が完全単調なら $-h'=g'h$ は完全単調関数の積で完全単調、よって帰納的に $(-1)^kh^{(k)}\ge0$ です（$(-1)^{k+1}h^{(k+1)}=(-1)^k(g'h)^{(k)}\ge0$ を、$g'h$ の完全単調性から）。$g(s)=\sqrt s$ では $g'(s)=\frac12s^{-1/2}$ が完全単調です。

(b) 右辺で $t=\frac{1}{4u^2}$ と置換し、$\int_0^\infty e^{-a^2u^2-b^2/u^2}du=\frac{\sqrt\pi}{2a}e^{-2ab}$（$a,b\gt0$）を使います。この積分公式は、左辺を $I(b)$ とおいて $u\mapsto b/(au)$ の置換から $I'(b)=-2aI(b)$ を導けば、$I(0)=\frac{\sqrt\pi}{2a}$ から出ます。$dt=-\frac{du}{2u^3}$、$t^{-3/2}=8u^3$ なので、置換後の積分は $\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty e^{-u^2-s/(4u^2)}du$ となり、$a=1$、$b=\sqrt s/2$ の公式で $\frac2{\sqrt\pi}\cdot\frac{\sqrt\pi}2e^{-\sqrt s}=e^{-\sqrt s}$ です。

演習 8.2標準

正値性の仮定を落とすと 定理 5.4 の 1 ⇒ 2 が成り立たないことを、$d\mu=(1+\cos t)\,dt$ と $d\nu=\cos t\,dt$（符号付き）で比べて説明せよ。

解答

$\mathcal{L}\nu(s)=\frac{s}{1+s^2}\to0$、$\nu([0,t])=\sin t$ は収束しません。$\mathcal{L}\nu(s)\sim s$ は「$\rho=-1$」のような振る舞いですが、$\nu([0,t])$ は正則変動しません。正の測度 $\mu$ では $\mathcal{L}\mu(s)=\frac1s+\frac s{1+s^2}\sim s^{-1}$ で、Karamata の定理どおり $\mu([0,t])=t+\sin t\sim t$ です。符号の打ち消しがある場合に $\mathcal{L}$ の漸近形が $\mu([0,t])$ を決めないことが、Tauber 条件（正値性）が必要な理由です。

演習 8.3難

$\kappa(t)=\int_0^\infty\frac{y^{-1/2-it}}{1+y}dy=\frac{\pi}{\cosh\pi t}$ を、Mellin 変換 $\int_0^\infty\frac{y^{s-1}}{1+y}dy=\frac{\pi}{\sin\pi s}$（$0\lt\mathrm{Re}\,s\lt1$）から導け。また後者を、$y=e^u$ と置換して留数定理で示せ。

解答

$s=\frac12-it$ とおけば $\sin\pi s=\sin(\frac\pi2-i\pi t)=\cos(i\pi t)=\cosh\pi t$ です。後者: $y=e^u$ で $\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{su}}{1+e^u}du$ です。長方形 $[-R,R]\times[0,2\pi]$ の周で $\frac{e^{sz}}{1+e^z}$ を積分すると、内部の極は $z=i\pi$ のみで留数は $\frac{e^{i\pi s}}{e^{i\pi}}=-e^{i\pi s}$ です。上辺の積分は下辺の $e^{2\pi is}$ 倍で、縦の辺は $0<\mathrm{Re}\,s<1$ から $R\to\infty$ で消えます（定理 5.1［留数定理と定積分への応用］）。よって $(1-e^{2\pi is})I=-2\pi ie^{i\pi s}$、$I=\frac{-2\pi ie^{i\pi s}}{1-e^{2\pi is}}=\frac{2\pi i}{e^{i\pi s}-e^{-i\pi s}}=\frac{\pi}{\sin\pi s}$ です。

参考文献

• D. V. Widder, The Laplace Transform, Princeton University Press, 1941 — 第 IV 章（Bernstein の定理）、第 VII 章（反転公式）。
• W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. II, 2nd ed., Wiley, 1971 — 第 XIII 章（Laplace 変換、Bernstein の定理、Tauber 定理）。
• N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular Variation, Cambridge University Press, 1987 — 第 1 章（一様収束定理、Potter の評価、Karamata の定理）。
• D. Zagier, “Newman’s short proof of the prime number theorem”, Amer. Math. Monthly 104 (1997), 705–708.
• W. Arendt, C. J. K. Batty, M. Hieber, F. Neubrander, Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, 2nd ed., Birkhäuser, 2011 — 第 1 章・第 4 章。
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, 2nd ed., Cambridge University Press, 1952 — 第 IX 章（斉次核の積分作用素）。