Euclid 場の理論と Osterwalder–Schrader 再構成：反射正値性から Hilbert 空間とハミルトニアンへ

0. この記事の要点

量子論の計算は、時間を虚数に置き換える（虚時間にする）と、確率や統計力学の道具で扱いやすくなることがあります。そのとき、虚時間の側で何を確かめれば元の相対論的な量子論に戻れるのか、という素朴な疑問に答えるのがこの記事です。読み終えると、「時間を反転して重ねたとき値が負にならない」という一つの条件から、量子論の状態空間とエネルギー（ハミルトニアン）がどう作られるかを説明できるようになります。

• Wightman 関数を虚時間に解析接続した値（Schwinger 関数、虚時間の相関関数）$S_n$ は Euclid 群で不変な超関数の列です。Osterwalder–Schrader（OS）公理は、$S_n$ に Euclid 共変性・反射正値性（時間反転して重ねた量が負にならない性質）・対称性・クラスター性・成長条件を課したものです。
• OS 再構成定理: OS 公理を満たす Schwinger 関数の列から、Wightman 理論がただ一つ復元されます。Euclid 側では Lorentz 共変性もスペクトル条件も局所可換性も仮定しないのに、それらがすべて出てきます。
• 構成の中心は反射正値性です。正の時刻に台をもつ試験関数の空間に $\langle f,g\rangle=\sum S_{n+m}(\Theta f_n^*\otimes g_m)$ で半正定値内積を入れて Hilbert 空間を作ると、時間並進は自己共役な縮小半群 $e^{-tH}$（転送行列。虚時間 $t$ だけ時間を進める作用素）になり、ハミルトニアン $H\ge0$ が得られます。この部分は本章で完全に証明します。
• 自由場の Euclid 版は共分散 $(-\Delta+m^2)^{-1}$ の Gauss 測度で、反射正値性は $e^{-\omega|t|}/(2\omega)$ という核の形から直接示せます。一方、$(-\Delta+m^2)^{-2}$ のような Euclid 不変な共分散は反射正値性を破り、物理的な Hilbert 空間を与えません。
• Nelson の Euclid 場は Markov 性を基本に置きます。Markov 性と反射に対する不変性から反射正値性が従いますが、逆は成り立たず、極限操作で保たれやすい反射正値性のほうが構成的場の理論の標準になりました。OS の最初の論文は成長条件なしで再構成を主張しましたが、解析接続の補題に誤りがあり、第 2 論文で線形成長条件を加えて修正されました。

この記事で使う事前知識

• Wightman 関数: 場の作用素の真空期待値 $\langle\Omega,\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\Omega\rangle$ のこと。→ Wightman 関数
• Wightman 公理: 場の量子論の状態空間・場・真空に課す基本的な条件の組。→ Wightman 公理
• 局所ネット: 時空の各領域に観測量の代数を対応させたもの。→ Haag–Kastler 公理と局所ネット
• ハミルトニアン: 時間発展を生み出すエネルギーの作用素。
• 縮小半群: ノルムを増やさない作用素の族 $T_t$ で、$T_tT_s=T_{t+s}$ を満たすもの（$e^{-tH}$, $H\ge0$ が典型例）。
• 条件付き期待値: ある情報（$\sigma$-加法族）が分かっているときの確率変数の平均。第 6 節で使います。

1. 動機

経路積分（経路積分量子化）を Minkowski 時空で書くと、重み $e^{iS}$ は振動し、測度としての意味を持ちません。時間を $t=-i\tau$ と回転させると重みは $e^{-S_E}$ になり、$S_E$ が下に有界なら（形式的には）確率測度になります。このとき相関関数は確率変数の積率で、統計力学の手法（相関不等式、クラスター展開、くりこみ群）が使えます。1970 年代の構成的場の理論はこの道筋で模型を作りました。

問題は、確率測度を作ったあとで、本当に相対論的な量子論に戻れるかです。Euclid 側には Hilbert 空間もハミルトニアンも Lorentz 群もありません。Schwinger、Symanzik、Nelson はこの方向を探り、Osterwalder と Schrader は 1973 年に、Euclid 側の相関関数に課すべき条件を、Wightman 理論と同値になるように特定しました。その鍵が反射正値性で、Euclid の時間反転と正値性を組み合わせたこの一つの条件から、物理的な状態空間の内積の正値性と、ハミルトニアンの正値性（スペクトル条件）が同時に出てきます。

本章では Wightman 公理 の記法を使います。前章 の局所ネットとの関係は、構成された Wightman 場を有界化する（定理 4.1［Haag–Kastler 公理と局所ネット］）ことでつながります。

ここから先は有料（買い切り ¥200）の内容です。

この章は博士課程以上・研究水準の内容です。続き（定義・定理・証明・例・演習）は ¥200 の買い切りで、他の有料章と 100 本ノックも含めてすべて読めます。無料の章は最後まで読めます。

購入する ログイン