Wightman 関数の解析性：前方管・edge-of-the-wedge・BHW の定理と Jost–Schroer の定理の証明

0. この記事の要点

場の量子論で測定される量（Wightman 関数）は、時空の座標を実数だけでなく複素数にまで広げて考えることができます。この記事では、「エネルギーが負にならない」「空間的に離れた 2 点の測定は互いに邪魔しない」という物理の条件が、複素数への拡張を通じてどんな制約を生むかを、順に証明します。核になる発想は、1 変数でいえば「上半平面と下半平面でそれぞれ定義された関数が、実軸の上で同じ値につながるなら、実軸をまたいで 1 つの関数になる」という事実の、多変数・超関数版です。読み終えると、解析接続・Bargmann–Hall–Wightman の定理・Jost 点の特徴づけの 3 つの定理と、自由場を特徴づける Jost–Schroer の定理の証明を追えるようになります。

• 緩増加超関数（急減少関数に作用する連続な線形汎関数）の Fourier 変換が閉凸錐に台をもつとき、その超関数は双対錐（錐の各ベクトルと鋭角または直角をなすベクトル全体）で決まる管状領域の正則関数の境界値であり、正則関数は境界からの距離の逆数の多項式で抑えられます（Fourier–Laplace 変換）。これで Wightman 関数の前方管への解析接続が、評価式も含めて閉じます。
• edge-of-the-wedge の定理: 向かい合う 2 つの楔（実方向の広がりに、虚方向の錐を足した領域）$E\pm iC$ で正則な関数が、実の「刃」（楔の底になる実の集合）$E$ で同じ超関数を境界値にもつなら、両者は $E$ の複素近傍を通って 1 つの正則関数につながります。証明は解析的円板の上の Cauchy の公式（Rudin の方法）と、超関数の場合の軟化です。
• Bargmann–Hall–Wightman（BHW）の定理: 前方管上の実 Lorentz 不変な正則関数は、拡大管（前方管を複素 Lorentz 群で動かしてできる領域）へ一価に延び、複素 Lorentz 群で不変になります。一価性の核心は「$\Lambda\mathcal{T}_1\cap\mathcal{T}_1\neq\emptyset$ となる $\Lambda$ 全体が連結」という 1 変数の事実に帰着し、それを複素ブーストと安定化部分群 $SO(3,\mathbb{C})$ の連結性で示します。
• Jost 点（実の点で、拡大管に入るもの）: 実点が拡大管に属するのは、差のベクトルの非負結合がすべて空間的なときで、そのときに限ります。十分性は凸集合の分離定理で「すべての点を右楔に入れる Lorentz 系」を作って示します。
• Jost–Schroer の定理（$m>0$）: 2 点関数が自由場と同じなら場は自由場です。Klein–Gordon 方程式、エネルギー運動量の移動に関する補題、edge-of-the-wedge から出る一意性定理を組み合わせて、交換子が c 数（作用素ではなく単なる数）になることを示します。

この記事で使う事前知識

• 緩増加超関数: 急減少関数の空間に作用する連続な線形汎関数。Fourier 変換が定義できて、「台」（値が 0 でない範囲）を考えられます。
• 多変数の正則関数: 複素数の組を変数とし、各変数について正則な関数。多重円板の Cauchy の公式や一致の定理が使えます。→ 多変数の正則関数
• 管状領域: 実部は自由に動き、虚部だけが錐の中に制限された複素の領域。→ 管状領域
• Wightman 公理: スカラー場に課すスペクトル条件や局所可換性などの要請。→ Wightman 公理
• Wightman 関数: 場の積の真空期待値として得られる超関数。→ Wightman 関数
• 複素 Lorentz 群: Lorentz 変換の行列の成分を複素数にまで広げ、複素双線形形式を保つ変換の群。→ 複素 Lorentz 群

1. 動機

PCT 定理・スピン統計定理・Haag の定理 では、Wightman 関数を複素 Lorentz 群で回し、$x\mapsto-x$ を連続変形で実現することで PCT とスピン統計の関係を導きました。そこで使った道具のうち、次の 3 つは主張だけを述べて証明を文献に回していました。

1. Wightman 関数の前方管への解析接続のうち、境界値への収束と多項式評価（Wightman 公理と再構成定理 の 定理 5.3［Wightman 公理と再構成定理］ の 2）。
2. BHW の定理（定理 3.1［PCT 定理・スピン統計定理・Haag の定理］）。
3. Jost 点の特徴づけの十分性（定理 3.3［PCT 定理・スピン統計定理・Haag の定理］ の 1）と、Jost–Schroer の定理（定理 6.1［PCT 定理・スピン統計定理・Haag の定理］）。

本章はこの 3 つを証明します。どれも多変数複素関数論の典型的な議論で、物理の側から見れば「局所性やスペクトル条件という実領域の条件が、複素領域の正則性を通じて思いがけない剛性を生む」仕組みそのものです。とくに edge-of-the-wedge の定理は、「空間的に離れた点で交換する」という局所可換性を「2 つの正則関数が同じものの別の境界値である」という言葉に翻訳する道具で、Jost–Schroer の定理や Reeh–Schlieder の定理の一意性の部分はこれから出ます。

多変数の正則関数の基本事項（多重円板の Cauchy の公式、一致の定理、連続かつ変数ごとに正則なら正則）は 多変数複素関数論 を、超関数の基本事項は Schwartz 空間と緩増加超関数 を使います。

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