公理的場の量子論

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Wightman 公理・Haag–Kastler 公理・Osterwalder–Schrader 公理を定義し、再構成定理・PCT 定理・スピン統計定理・Haag の定理を述べる。

想定読者: 研究者・博士課程以上（数理物理）

前提テーマ:場の量子論、関数解析と作用素論、フォック空間と第二量子化

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章Wightman 公理と再構成定理本場を作用素値緩増加超関数として定式化する Wightman 公理を述べ、Wightman 関数の正値性・スペクトル条件による解析接続・クラスター性を導く。GNS 型の再構成定理、自由場が公理を満たすことの検証、Reeh–Schlieder の定理まで扱う。
2. 第 2 章PCT 定理・スピン統計定理・Haag の定理本Wightman 関数の拡大管への解析接続（Bargmann–Hall–Wightman の定理）と Jost 点を使い、PCT 定理が弱局所可換性と同値であること、スピンと統計の関係を導く。Jost–Schroer の定理と、相互作用表示を否定する Haag の定理も扱う。
3. 第 3 章Haag–Kastler 公理と局所ネット本時空の有界領域に C* 環を対応させる局所ネットを等方性・局所性・共変性・時間スライス性で公理化し、Wightman 場からの有界化、Reeh–Schlieder の定理の証明、楔領域のモジュラー群がブーストになること、DHR 理論で統計が代数から決まることを述べる。
4. 第 4 章Euclid 場の理論と Osterwalder–Schrader 再構成本Schwinger 関数と Osterwalder–Schrader 公理（Euclid 共変性・反射正値性・対称性・クラスター性・線形成長条件）を述べ、反射正値性から物理的 Hilbert 空間と転送行列 e^{-tH} を構成する。自由場の反射正値性、Nelson の Markov 性との関係、成長条件が要る理由を説明する。
5. 第 5 章構成的場の理論の地図：P(φ)₂・φ⁴₃・Yang–Mills と「存在」の意味本構成的場の理論が何を「存在させた」のかを、摂動論的存在・切断付きハミルトニアン・Euclid 測度・公理を満たす理論という階層で整理する。P(φ)₂・Yukawa₂・φ⁴₃・Gross–Neveu₂ の年表、φ⁴₄ の自明性、Haag–Ruelle 散乱理論、Yang–Mills の質量ギャップ問題の正確な主張を述べる。
6. 第 6 章Wightman 関数の解析性本錐に台をもつ超関数の Fourier–Laplace 変換で前方管への解析接続を示し、edge-of-the-wedge の定理、Bargmann–Hall–Wightman の定理、Jost 点の特徴づけを証明する。応用として Jost–Schroer の定理を証明する。
7. 第 7 章Haag–Ruelle 散乱理論本孤立した質量殻をもつ Wightman 理論で、Klein–Gordon 波束で均した場の積が時刻 ±∞ で収束し、極限が Fock 空間の内積をもつことを証明する。波動作用素と S 行列、漸近完全性を定式化し、S 行列要素を Wightman 関数の極限で表す厳密な LSZ を導く。
8. 第 8 章局所ネットのモジュラー理論本正エネルギーの並進が von Neumann 環を自身に移すときモジュラー群が並進を拡大することを示す Borchers の定理を証明し、くさび領域で冨田–竹崎のモジュラー群が並進にブーストとして働くことを導く。自由場で Bisognano–Wichmann の定理を完全に証明し、Araki の相対エントロピーの単調性と下半連続性を変分公式から示す。
9. 第 9 章超選択セクターと荷電状態本局所化された自己準同型の交換作用素が電荷の運び方によらないことを因果的補集合の連結性から示し、置換群の表現と統計パラメタの量子化 λ∈{0,±1/d} を証明する。Doplicher–Roberts の再構成定理を述べ、Gauss の法則が電荷の局所化と Lorentz 対称性を壊すことを示す。

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