Haag–Ruelle の散乱理論：Wightman 公理から漸近状態・S 行列・厳密な LSZ を導く

0. この記事の要点

粒子が衝突して散らばる実験では、衝突の前と後の粒子は互いに遠く離れていて、ほぼ自由に飛んでいると考えます。ところが、相互作用する場の理論では、「粒子」とは何かがもともと自明ではありません。この記事は、公理だけを出発点にして、遠い過去と未来の「自由に飛ぶ粒子」の状態を場から取り出し、衝突前後を結ぶ S 行列を定める方法（Haag–Ruelle の理論）を説明します。読み終えると、S 行列がどういう極限として定義されるかが分かります。

• 1 粒子の質量殻 $H_m$ が他のエネルギー運動量スペクトルから孤立していれば、運動量空間で $H_m$ の近くにだけ台をもつ試験関数で場を均すことで、真空からちょうど 1 粒子状態を作る作用素が得られます。
• その試験関数にさらに Klein–Gordon 方程式の時間発展を逆向きにかけた $F_t$（$\tilde F_t(p)=\tilde h(p)\hat g(\boldsymbol{p})e^{i(p^0-\omega(\boldsymbol p))t}$）を使うと、$\phi(F_t)\Omega$ は時刻 $t$ に依らず、速度の台が互いに交わらない波束の積 $\phi(F_{1,t})\cdots\phi(F_{n,t})\Omega$ は $t\to\pm\infty$ で収束します（Cook の方法）。
• 収束の鍵は「速度の異なる波束は時間とともに空間的に離れ、局所可換性によって交換子が $|t|^{-N}$ で消える」ことです。証明はクラスター定理を使わず、非停留位相の評価と、試験関数を局在部分と残りに分ける議論だけで済みます。
• 極限ベクトルの内積はボソン Fock 空間のパーマネント（符号をつけない行列式）になり、等長な波動作用素 $W^\pm:\mathcal{F}_{\mathrm b}(\mathcal{H}_1)\to\mathcal{H}$ と S 行列 $S=W^{+*}W^-$ が定まります。ここではエネルギー運動量の移動についての補題（前章）が、交換子を真空に当てた結果を 1 粒子の内積に変えます。
• 厳密な LSZ: S 行列要素は、波束で均した場の Wightman 関数の $t\to\infty$ の極限です。また $\phi(F_t)$, $\phi(\bar F_t)$ は漸近的に生成・消滅作用素として振る舞います。漸近完全性（$W^\pm$ がユニタリ。散乱状態で全空間が尽くされること）は公理からは従わず、一般化自由場が反例です。

この記事で使う事前知識

• Wightman 公理: 場を作用素値の超関数として扱い、ローレンツ共変性・スペクトル条件・局所可換性などを課す公理系。→ Wightman 公理
• Wightman 関数: 場の積の真空期待値として定まる超関数。→ Wightman 関数
• 交換子: 2 つの作用素 $A,B$ に対する $AB-BA$。空間的に離れた場では 0 になる、というのが局所可換性です。→ 交換子
• Klein–Gordon 方程式: 質量 $m$ の自由な相対論的粒子の波動方程式。→ Klein–Gordon 方程式
• ボソン Fock 空間: 粒子数の異なる対称な状態を全部まとめた空間で、生成・消滅作用素が働く。→ ボソン Fock 空間
• S 行列要素: 衝突前の状態が衝突後のある状態になる確率振幅。

1. 動機

教科書的な散乱理論は、「相互作用は遠い過去と未来では切れていて、粒子は自由に飛んでいる」という描像から出発します。しかし PCT 定理・スピン統計定理・Haag の定理 の Haag の定理によれば、相互作用する場を自由場の Fock 空間に載せる相互作用表示は存在しません。では、粒子・散乱状態・S 行列は、相互作用する理論の中からどうやって取り出せるのでしょうか。

Haag（1958）と Ruelle（1962）の答えは、場そのものではなく、エネルギー運動量で 1 粒子殻に絞り込み、Klein–Gordon 波束で時空に広げた場を使うことでした。こうして作った作用素 $B_t$ は真空に当てると時刻に依らない 1 粒子状態を作り、速度の異なる $n$ 個の波束の積は、時刻 $\pm\infty$ で $n$ 個の自由粒子のように振る舞う状態に収束します。その内積が Fock 空間と同じであることから、漸近的な Fock 構造と S 行列が、相互作用表示を経由せずに公理だけから得られます。

構成的場の理論の地図 の 定理 7.2［構成的場の理論の地図］ と 場の量子論の模型の散乱理論 の 定理 5.2［場の量子論の模型の散乱理論］ では主張と筋道だけを述べました。本章はそれを証明します。標準的な証明は切断 Wightman 関数のクラスター定理（Araki–Hepp–Ruelle）を使いますが、ここでは Wightman 関数の解析性 で示したエネルギー運動量の移動の補題と、局所可換性を試験関数の局在部分に直接使う議論で、より短く済ませます。最後に、摂動論とファインマン則 の LSZ 簡約公式（定理 5.2［摂動論とファインマン則］）の厳密な対応物を述べます。

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