ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素：閉性・正準交換関係・数作用素による評価

0. この記事の要点

同じ種類の粒子が 0 個の状態、1 個の状態、2 個の状態、…をまとめて一つの空間に入れ、粒子を 1 個増やす操作と 1 個減らす操作を数学的に正確に作るのが、この記事の話です。粒子の数が決まっていない状況（たとえば光を出し入れする系）を扱うには、この二つの操作が基本の道具になります。読み終えると、この二つの操作がどの状態に対して意味を持つのか、互いにどんな関係にあるのか、粒子数でどこまで大きさを抑えられるのかが分かります。

• ボソン Fock 空間は $\mathcal{F}_{\mathrm{b}}(\mathcal{H})=\bigoplus_{n=0}^\infty\otimes_{\mathrm{s}}^n\mathcal{H}$ で、真空 $\Omega=(1,0,0,\dots)$ と、有限個の成分しか持たない有限粒子部分空間 $\mathcal{F}_0$ が基本的な道具です。
• 消滅作用素 $a(f)$ は部分内積 $L_f^*$（$f$ を最初の成分に掛ける操作の共役）を使って $(a(f)\psi)^{(n)}=\sqrt{n+1}\,L_f^*\psi^{(n+1)}$、生成作用素は $(a(f)^*\psi)^{(n)}=\sqrt{n}\,S_n(f\otimes\psi^{(n-1)})$ で、いずれも最大定義域の上の閉作用素です。両者は互いに共役で、$\mathcal{F}_0$ は両方の芯（その上での作用から作用素全体が決まる部分空間）です。$a(f)$ は $f$ について反線形、$a(f)^*$ は線形です。
• $\mathcal{F}_0$ 上で正準交換関係 $[a(f),a(g)^*]=\langle f,g\rangle$、$[a(f),a(g)]=[a(f)^*,a(g)^*]=0$ が成り立ちます。対称化がなければこれは成り立ちません。
• 数作用素 $N$ について $\|a(f)\psi\|\le\|f\|\|N^{1/2}\psi\|$、$\|a(f)^*\psi\|\le\|f\|\|(N+1)^{1/2}\psi\|$ が $D(N^{1/2})$ 上で成り立ちます。これが以後の相互作用模型の解析で最も頻繁に使う評価です。
• $a(f_1)^*\cdots a(f_n)^*\Omega=\sqrt{n!}\,S_n(f_1\otimes\cdots\otimes f_n)$ であり、これらの線形包は稠密です（真空の巡回性）。また、すべての $a(f)$ で消える状態は真空の定数倍に限られます。

この記事で使う事前知識

• Hilbert 空間: 内積を持ち、極限を取っても外に出ない（完備な）ベクトル空間。→ Hilbert 空間
• 正規直交基底: 長さ 1 で互いに直交するベクトルの組で、すべてのベクトルをその和で書けるもの。→ 正規直交基底
• 直交射影: ベクトルを部分空間の上へ垂直に落とす操作。→ 直交射影
• ボソン・フェルミオンの $n$ 粒子空間: 粒子の入れ替えで符号が変わらない（ボソン）か変わる（フェルミオン）ようなテンソル積の部分空間。→ ボソン
• 対称化作用素 $S_n$ と対称テンソル積: $n$ 個の成分を入れ替えて平均する作用素と、その像として得られる空間。→ 前章

1. 動機

調和振動子 1 個の量子論は、$[a,a^*]=1$ を満たす消滅・生成作用素と、$a\Omega=0$ となる基底状態 $\Omega$ から組み立てられます。自由場は「波数 $k$ ごとに 1 個ずつ、無限個の調和振動子」の集まりで、正準量子化では $[a_k,a_{k'}^*]=\delta(k-k')$ のような関係が書かれます（スカラー場の正準量子化）。しかし $a_k$ そのものは作用素として意味を持たず、意味を持つのはテスト関数で平均した $a(f)=\int\overline{f(k)}a_k\,dk$ です。この記事は、この $a(f)$ を Hilbert 空間上の作用素として正確に構成します。

構成で避けられないのが非有界性です。$[a(f),a(f)^*]=\|f\|^2$ を有界作用素で実現できないことは、Wintner–Wielandt の定理（定理 7.3［非有界作用素］）を $Q=(a+a^*)/\sqrt2$, $P=(a-a^*)/(\sqrt2 i)$ に適用すれば分かります。したがって定義域・閉性・共役の計算を省くことはできません。等式 $[a(f),a(g)^*]=\langle f,g\rangle$ も、どの部分空間の上で成り立つのかを言わなければ主張になりません。

歴史的には、Dirac（1927 年）が輻射場の量子化で生成・消滅作用素を導入し、Fock（1932 年）が粒子数の異なる配位空間をまとめた空間を考え、Cook（1953 年）が Hilbert 空間論の言葉で現在の形に整えました。物理の教科書では占有数の基底 $|m_1,m_2,\dots\rangle$ に対する作用として生成・消滅作用素を導入するのが普通ですが、この方法は基底の選び方に依存し、連続スペクトルを持つ 1 粒子空間（運動量表示の $L^2(\mathbb{R}^3)$）では基底が使えません。以下では基底を使わずに、1 粒子状態 $f\in\mathcal{H}$ そのものを添字として定義します。

道具は前章 対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 の対称化作用素 $S_n$ と、テンソル積の「左から $f$ を掛ける」操作の共役（部分内積）だけです。この 2 つから、正準交換関係も数作用素による評価も、成分ごとの有界作用素の計算に帰着します。

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