Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態：解析ベクトルによる自己共役性と Fock 表現の既約性

物理学フォック空間と第二量子化第4章博士・研究有料「本」の章約 33 分2026-10-03

対象読者: 本テーマ第 1〜3 章の内容と、自己共役作用素の本質的自己共役性、Nelson の解析ベクトル定理の statement を知っている博士課程の人。Weyl 作用素は仮定しません。

前提となる記事:第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)：関手性・自己共役性・スペクトル

0. この記事の要点

光や電磁場を量子力学で扱うと、「場の強さ」は粒子を 1 個ずつ増やしたり減らしたりする操作を足し合わせた作用素になります。この作用素は値が際限なく大きくなりうるため、きちんと測定量として扱えるのか、交換関係を厳密にどう書くのか、という素朴な問いが出てきます。この記事は、その問いに Fock 空間の上で数学的に答えます。読み終えると、場の作用素が測定量として意味を持つ理由、位置と運動量の関係を扱いやすい形に書き直す方法、レーザー光のような状態の姿が分かります。

Segal 場 $\Phi_{\mathrm{S}}(f)=\overline{(a(f)+a(f)^*)/\sqrt2}$ は、有限粒子ベクトルがすべて「整解析ベクトル」（作用素を何回施しても、指数級数がどんな大きさの $t$ でも収束するベクトル）であることから、Nelson の解析ベクトル定理により本質的自己共役です。 $f\mapsto\Phi_{\mathrm{S}}(f)$ は実線形で、有限粒子ベクトル上で $[\Phi_{\mathrm{S}}(f),\Phi_{\mathrm{S}}(g)]=i\,\mathrm{Im}\langle f,g\rangle$ を満たします。
Weyl 作用素 $W(f)=e^{i\Phi_{\mathrm{S}}(f)}$ はユニタリで、Weyl 関係 $W(f)W(g)=e^{-i\,\mathrm{Im}\langle f,g\rangle/2}W(f+g)$ を満たします。非有界作用素の交換関係を、定義域の問題のない有界作用素の関係に置き換えたものです。
真空に Weyl 作用素を施すとコヒーレント状態 $W(f)\Omega=e^{-\|f\|^2/4}\varepsilon(if/\sqrt2)$ が得られ、真空期待値は $\langle\Omega,W(f)\Omega\rangle=e^{-\|f\|^2/4}$ です。真空の中で $\Phi_{\mathrm{S}}(f)$ は分散 $\|f\|^2/2$ の Gauss 分布に従います。
$\Phi_{\mathrm{S}}(f)$ と $\Phi_{\mathrm{S}}(g)$ が強可換であるための必要十分条件は $\mathrm{Im}\langle f,g\rangle=0$ です。同時刻の場の作用素どうしが可換であることはこの特別な場合です。
Fock 表現は既約です: すべての $W(f)$ と可換な有界作用素はスカラーに限ります。証明の核心は「すべての消滅作用素で消えるベクトルは真空だけ」という事実と、コヒーレント状態の全体性です。

1. 動機

場の量子論の正準量子化では、時刻 $0$ の場 $\phi(\boldsymbol{x})$ と共役運動量 $\pi(\boldsymbol{x})$ に正準交換関係 $[\phi(\boldsymbol{x}),\pi(\boldsymbol{y})]=i\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})$ を課し、生成・消滅作用素で

\phi(\boldsymbol{x})=\int\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega(\boldsymbol{k})}}\Bigl(a(\boldsymbol{k})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}+a^\dagger(\boldsymbol{k})e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}\Bigr)

と書きます（スカラー場の正準量子化）。これを試験関数で平均すると、 $\phi$ は「 $a(f)+a(f)^*$ の形の作用素」になります。この形の作用素を一般の $f\in\mathcal{H}$ について定義したものが Segal 場です。

数学的には二つの問題があります。第一に、 $a(f)+a(f)^*$ は非有界で、自己共役かどうかは定義域の取り方に依存します。観測量として扱い、スペクトル分解や時間発展を考えるには自己共役性が要ります。第二に、交換関係 $[\Phi,\Pi]=i$ を満たす自己共役作用素は必ず非有界なので（Wintner–Wielandt の定理。位置と運動量のような関係は有界作用素では実現できない、という定理）、交換関係を等式として扱うたびに定義域の問題がつきまといます。

第三に、物理で重要な状態の多くは有限粒子部分空間の外にあります。レーザー光や古典的な電磁波に対応する状態は、粒子数が確定せず Poisson 分布に従うコヒーレント状態で、無限個の $n$ 粒子成分を持ちます。古典極限、すなわち場の期待値が古典場の方程式に従う状況を記述するにも、この種の状態が必要です。本章ではコヒーレント状態が「真空を Weyl 作用素で平行移動したもの」として自然に現れることを見ます。

Weyl は、交換関係をユニタリ群の関係 $e^{isQ}e^{itP}=e^{-ist}e^{itP}e^{isQ}$ に置き換えることを提案しました。これなら有界作用素どうしの等式なので定義域の心配がありません。本章では Fock 空間上でこの置き換えを正確に行い、そのうえで「Fock 表現がこの関係の既約表現である」ことを示します。これは次章以降の CCR の表現論（Stone–von Neumann の一意性と、無限自由度での非同値表現）の出発点です。