量子 Rabi 模型と Jaynes–Cummings 模型：自己共役性・パリティ分解・固有値の評価

0. この記事の要点

原子のように 2 つの状態しか取れない小さな系が、鏡の間に閉じ込められた光の 1 つのモードとやり取りするとき、エネルギーはどのように並ぶのか。この記事は、そのいちばん簡単な模型を数学的に厳密に調べます。結合がどれほど強くても模型がきちんと定義されること、エネルギーの値が決まった帯に 1 つずつ入ること、結合の一部を落とすと正確に解けることが、読み終えると説明できるようになります。

• 量子 Rabi 模型 $H_{\mathrm{R}}=\omega N+\frac{\Delta}{2}\sigma_z+g\sigma_x(a+a^*)$ は、ボソンが 1 モードだけの spin-boson 模型です。任意の結合定数 $g$ で $\mathbb{C}^2\otimes D(N)$ 上の自己共役作用素になり、$H_{\mathrm{R}}\ge-\frac{\Delta}{2}-\frac{g^2}{\omega}$、レゾルベントはコンパクトでスペクトルは離散（エネルギーがとびとびの値になる）です。
• パリティ $\Pi=\sigma_z\otimes(-1)^N$ は $H_{\mathrm{R}}$ と可換で、各パリティ部分空間で $H_{\mathrm{R}}$ は $\ell^2(\mathbb{N}_0)$ 上の Jacobi 行列（対角成分と、そのすぐ隣の成分だけが $0$ でない鎖状の行列） $H_\pm=\omega N+g(a+a^*)\pm\frac{\Delta}{2}(-1)^N$ になります。非対角成分が $0$ でないので、各パリティの固有値はすべて単純です。
• $\omega N+g(a+a^*)$ はシフトした調和振動子で固有値は $\omega n-g^2/\omega$ です。ミニマックス原理（固有値を最小値・最大値の形で特徴づける原理）から、各パリティの $n$ 番目の固有値は $\omega n-\frac{g^2}{\omega}$ から $\frac{\Delta}{2}$ 以内にあり、$\Delta$ の 1 次では $\pm\frac{\Delta}{2}(-1)^ne^{-2g^2/\omega^2}L_n(4g^2/\omega^2)$（$L_n$ は Laguerre 多項式）だけずれます。
• 回転波近似をした Jaynes–Cummings 模型は励起数 $N+\frac{1+\sigma_z}{2}$ を保存し、2 次元のブロックに分かれて厳密に解けます：$E_{n,\pm}=\omega(n+\frac12)\pm\sqrt{\delta^2/4+g^2(n+1)}$（$\delta=\Delta-\omega$）。Rabi 模型の基底エネルギーとの差は $g$ の 2 次で $-g^2/(\omega+\Delta)$ です。
• Braak（2011）は Bargmann 表現（状態を正則関数として表す方法）で、各パリティの固有値を超越関数 $G_\pm$ の零点として特徴づけ、Rabi 模型の「可積分性」を論じました。例外的な固有値 $\omega n-g^2/\omega$（Juddian 解）でパリティの異なる準位が交差します。

この記事で使う事前知識

• spin-boson 模型: 2 準位系とボソン場が結合した模型。この記事の Rabi 模型は、ボソンのモードが 1 つの場合にあたります。→ spin-boson 模型
• 真空とボソン Fock 空間: 粒子が 1 つもない状態が真空で、粒子数ごとの空間を並べたものがボソン Fock 空間です。→ ボソン Fock 空間
• Weyl 作用素: 生成・消滅作用素から作るユニタリ作用素で、場を平行移動する働きをします。→ Weyl 作用素
• コヒーレントベクトル: 消滅作用素の固有ベクトルになる、粒子数の分布がポアソン型の状態です。→ コヒーレントベクトル
• 基底状態: エネルギーが最小の状態のことです。→ 基底状態
• van Hove ハミルトニアン: 1 次の項を加えた調和振動子で、ずらした振動子として厳密に解けます。→ van Hove ハミルトニアン

1. 動機

原子の 2 つの準位が共振器の 1 つの電磁場モードと結合した系は、量子光学で最も基本的な模型です。Rabi（1937）は古典的な回転磁場の中のスピンを扱い、場も量子化したものが量子 Rabi 模型です。Jaynes と Cummings（1963）は、エネルギーを保存しない項（原子が励起しながら光子も 1 個作る項）を落とす回転波近似を行い、厳密に解ける模型を得ました。Jaynes–Cummings 模型は真空 Rabi 振動や崩壊と復活の現象を説明し、共振器 QED・回路 QED の実験の標準的な記述になっています。

数学的には、量子 Rabi 模型は Nelson 模型と spin-boson 模型 の spin-boson 模型で 1 ボソン空間を $\mathbb{C}$ にしたものです。ボソンのモードが 1 つしかないので赤外問題はありませんが、それでも厳密解は知られておらず、回転波近似が破れる強結合領域（超強結合・深強結合）が実験で実現されてからは、そのスペクトルの構造が改めて研究されてきました。この章では、ここまでに作った Fock 空間の道具（Weyl 作用素、van Hove 模型の対角化、Kato–Rellich、ミニマックス原理）だけで、自己共役性・パリティ分解・固有値の位置を厳密に定めます。

量子 Rabi 模型の固有値の配置（Δ が ω より小さい場合）。基準の値 nω − g²/ω（点線）の上下 Δ/2 の帯 I_n に、パリティ + と − の固有値がちょうど 1 つずつ入る。

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