赤外問題：Bloch–Nordsieck の厳密解・コヒーレント赤外表現・TRK 和則

0. この記事の要点

動いている電荷は、まわりに光（電磁場の量子）をまとっています。この「まとっている光」を数えようとすると、波長の長い（エネルギーの小さい）光ほど際限なく多く、数が無限大になってしまいます。それでも、電荷が急に止まったときに放たれる光の全エネルギーは、きちんと有限の分布を持ちます。この記事は、数が発散するのにエネルギーは発散しない理由を厳密に示し、その裏にある「電荷のまとう光は通常の Fock 空間に収まらない」という事実を述べます。読み終えると、赤外発散が計算の失敗ではなく、表現が複数あることの現れだと説明できるようになります。

• 速度 $\boldsymbol{v}$ で等速運動する古典的な点電荷と横波光子の系は、電荷とともに動く座標（電荷と一緒に動く観測者から見た座標）では分散関係 $\omega_{\boldsymbol{v}}(\boldsymbol{k})=|\boldsymbol{k}|-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{k}$（光子の波数とエネルギーの関係）の van Hove 模型になります。赤外切断 $\sigma$（波数が $\sigma$ より小さい光子を捨てる操作）を付けると基底状態（電荷の「衣」）はコヒーレント状態 $\psi_{h_{\boldsymbol{v}}^\sigma}$ で、$\|h_{\boldsymbol{v}}^\sigma\|^2\sim A_{\boldsymbol{v}}\log(1/\sigma)$ と発散し、$\sigma=0$ では Fock 空間に基底状態がありません。
• 時刻 $0$ に速度が $\boldsymbol{v}\to\boldsymbol{v}'$ と急に変わると、放射は振幅 $\rho=h_{\boldsymbol{v}}-h_{\boldsymbol{v}'}$ のコヒーレント状態として厳密に求まり、光子数は平均 $\|\rho^\sigma\|^2\sim A\log(1/\sigma)$ の Poisson 分布に従います。光子を 1 個も出さない確率は $\sigma^{A}$ の速さで $0$ に行きます（Bloch–Nordsieck の厳密版）。
• 一方、全放射エネルギーの分布は $\sigma\to0$ で確率測度に弱収束し、その Laplace 変換は $\exp(-\int(1-e^{-t|\boldsymbol{k}|})|\rho|^2)$、エネルギーが $E$ 以下である確率は $E^{A+o(1)}$ です。仮想光子による減衰と実光子の放射が全次数で打ち消し合う仕組みが、ここで定理になります。
• 赤外切断を外した衣 $\rho\notin L^2$ は Weyl 関係のコヒーレント赤外表現 $\pi_\rho(W(f))=e^{\mathrm{i}\sqrt2\mathrm{Re}\langle\rho,f\rangle}W(f)$ を定め、$\pi_\rho$ と $\pi_{\rho'}$ がユニタリ同値であるための必要十分条件は $\rho-\rho'\in L^2$ です。異なる速度の電荷は互いに非同値な表現に住みます（Faddeev–Kulish の漸近空間、すなわち衣を着せた電荷の散乱状態を集めた空間の数学的な核心）。
• 束縛された電子では Thomas–Reiche–Kuhn（TRK）和則 $\sum_n(E_n-E_0)|\langle\varphi_n,x_j\varphi_0\rangle|^2=1/2M$ が成り立ち、軟光子の放出振幅が $E_n-E_0$ に比例して消えるため赤外発散が起きません。自由に動く電荷の有効質量と赤外くりこみは、Chen・Fröhlich–Pizzo・Bach–Chen–Faupin–Fröhlich–Sigal の多重スケール解析の骨格を示します。

この記事で使う事前知識

• コヒーレント状態: 生成作用素の指数関数で真空をずらして作る、光子数が Poisson 分布に従う状態。→ コヒーレント状態
• Weyl 作用素: 場の演算子 $\Phi_{\mathrm{S}}(u)$ から $e^{\mathrm{i}\Phi_{\mathrm{S}}(u)}$ として作るユニタリ作用素で、真空をコヒーレント状態に動かす。→ Weyl 作用素
• van Hove ハミルトニアン: 光子場の自由エネルギーに、光子場の 1 次式（線形な結合）を足しただけの厳密に解けるハミルトニアン。→ van Hove ハミルトニアン
• 基底状態: ハミルトニアンのスペクトルの下端を与える固有ベクトル。→ 基底状態
• 表現の同値: 2 つの表現がユニタリ作用素でそっくり写り合うこと。→ 同値
• 前章の内容: 赤外切断を外すと基底状態が消える問題と pull-through 公式。→ pull-through 公式と基底状態の一般論

1. 動機

QED の 1 ループ では、電子の弾性散乱の断面積が光子質量 $\mu\to0$ で負の無限大の補正を受け、軟光子の放射を包含的に数えると $\ln\mu$ が打ち消し合うこと（定理 7.4［QED の 1 ループ］）を見ました。そこでは 1 ループの計算と、全次数への指数化の議論の紹介にとどめました。

Bloch と Nordsieck（1937）がこの問題を最初に解いたとき、電子の反跳を無視し、電子を「与えられた軌道を動く古典的な電流」で置き換えました。こうすると光子場は外部の源に線形に結合するだけになり、van Hove 模型 と同じように厳密に解けます。この章の前半は、その解を Fock 空間の言葉で書き直し、「光子を 1 個も出さない確率は $0$、しかし全放射エネルギーの分布は well-defined」という結論を定理として証明します。

後半では、赤外発散が表現論の問題でもあることを示します。運動する電荷の衣は Fock 空間に収まらず、速度ごとに互いに非同値な Weyl 関係の表現を作ります。前章の非存在定理（定理 4.1［pull-through 公式と基底状態の一般論］）の裏側にあるのはこの事実です。最後に、束縛された電子ではこの困難が起きない理由を TRK 和則で確かめ、自由な電子の有効質量と赤外くりこみの研究の骨格をまとめます。

Bloch–Nordsieck の設定。時刻 0 に電荷の速度が v から v′ に変わる。古い衣 h_v のうち新しい衣 h_v′ で説明できない部分 ρ = h_v − h_v′ が、光円錐に沿って広がる放射になる。

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