# 赤外問題：Bloch–Nordsieck の厳密解・コヒーレント赤外表現・TRK 和則
> 速度が急に変わる古典的な電荷が放つ光子を厳密に解き、放出光子数が赤外で対数発散する一方、全放射エネルギーの分布は切断を外しても収束し E^A 型の冪則に従うことを示す。帯電粒子の衣が Fock 表現と非同値なコヒーレント表現を与えることと、TRK 和則・有効質量の位置づけも述べる。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/fock-space/infrared-problem
## 0. この記事の要点
動いている電荷は、まわりに光（電磁場の量子）をまとっています。この「まとっている光」を数えようとすると、波長の長い（エネルギーの小さい）光ほど際限なく多く、数が無限大になってしまいます。それでも、電荷が急に止まったときに放たれる光の全エネルギーは、きちんと有限の分布を持ちます。この記事は、数が発散するのにエネルギーは発散しない理由を厳密に示し、その裏にある「電荷のまとう光は通常の Fock 空間に収まらない」という事実を述べます。読み終えると、赤外発散が計算の失敗ではなく、表現が複数あることの現れだと説明できるようになります。
- 速度 $\boldsymbol{v}$ で等速運動する古典的な点電荷と横波光子の系は、電荷とともに動く座標（電荷と一緒に動く観測者から見た座標）では分散関係 $\omega_{\boldsymbol{v}}(\boldsymbol{k})=|\boldsymbol{k}|-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{k}$（光子の波数とエネルギーの関係）の [van Hove 模型](/physics/fock-space/van-hove-model#def-van-hove-hamiltonian)になります。赤外切断 $\sigma$（波数が $\sigma$ より小さい光子を捨てる操作）を付けると[基底状態](/physics/fock-space/nelson-spin-boson#def-ground-state)（電荷の「衣」）は[コヒーレント状態](/physics/fock-space/segal-field-weyl#def-coherent-state) $\psi_{h_{\boldsymbol{v}}^\sigma}$ で、$\|h_{\boldsymbol{v}}^\sigma\|^2\sim A_{\boldsymbol{v}}\log(1/\sigma)$ と発散し、$\sigma=0$ では Fock 空間に基底状態がありません。
- 時刻 $0$ に速度が $\boldsymbol{v}\to\boldsymbol{v}'$ と急に変わると、放射は振幅 $\rho=h_{\boldsymbol{v}}-h_{\boldsymbol{v}'}$ のコヒーレント状態として厳密に求まり、光子数は平均 $\|\rho^\sigma\|^2\sim A\log(1/\sigma)$ の Poisson 分布に従います。光子を 1 個も出さない確率は $\sigma^{A}$ の速さで $0$ に行きます（**Bloch–Nordsieck の厳密版**）。
- 一方、全放射エネルギーの分布は $\sigma\to0$ で確率測度に弱収束し、その Laplace 変換は $\exp(-\int(1-e^{-t|\boldsymbol{k}|})|\rho|^2)$、エネルギーが $E$ 以下である確率は $E^{A+o(1)}$ です。仮想光子による減衰と実光子の放射が全次数で打ち消し合う仕組みが、ここで定理になります。
- 赤外切断を外した衣 $\rho\notin L^2$ は Weyl 関係の**コヒーレント赤外表現** $\pi_\rho(W(f))=e^{\mathrm{i}\sqrt2\mathrm{Re}\langle\rho,f\rangle}W(f)$ を定め、$\pi_\rho$ と $\pi_{\rho'}$ がユニタリ[同値](/physics/fock-space/ccr-representations#def-representation-equivalence)であるための必要十分条件は $\rho-\rho'\in L^2$ です。異なる速度の電荷は互いに非同値な表現に住みます（Faddeev–Kulish の漸近空間、すなわち衣を着せた電荷の散乱状態を集めた空間の数学的な核心）。
- 束縛された電子では Thomas–Reiche–Kuhn（TRK）和則 $\sum_n(E_n-E_0)|\langle\varphi_n,x_j\varphi_0\rangle|^2=1/2M$ が成り立ち、軟光子の放出振幅が $E_n-E_0$ に比例して消えるため赤外発散が起きません。自由に動く電荷の[有効質量](/physics/fock-space/pauli-fierz-model#def-effective-mass)と赤外くりこみは、Chen・Fröhlich–Pizzo・Bach–Chen–Faupin–Fröhlich–Sigal の多重スケール解析の骨格を示します。
## 1. 動機
[QED の 1 ループ](/physics/qft/qed-one-loop) では、電子の弾性散乱の断面積が光子質量 $\mu\to0$ で負の無限大の補正を受け、軟光子の放射を包含的に数えると $\ln\mu$ が打ち消し合うこと（