対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間：対称化作用素・次元公式・パウリの排他律

0. この記事の要点

電子や光子のように、見分けがつかない粒子が何個かあるとき、2 個を入れ替えても状態は物理的に変わらないはずです。この要請を満たす状態だけを集めると、入れ替えで符号が変わらないもの（ボソン）と、符号が反転するもの（フェルミオン）の 2 種類が残ります。この記事は、その 2 つの状態の集まりを数学的にきちんと作り、基底の数え方、同じ状態に 2 個入れないというパウリの排他律、各粒子に同じ操作を施す作用素の扱いまでを順に示します。読み終えると、$n$ 個の同種粒子の状態空間の大きさを自分で数えられるようになります。

• $n$ 重テンソル積 $\otimes^n\mathcal{H}$ には対称群 $\mathfrak{S}_n$ が置換作用素 $U_\sigma$ としてユニタリに作用します。その平均 $S_n=\frac{1}{n!}\sum_\sigma U_\sigma$（対称化）と符号付き平均 $A_n=\frac{1}{n!}\sum_\sigma \mathrm{sgn}(\sigma)U_\sigma$（反対称化）は直交射影（ベクトルを部分空間へ垂直に落とす写像）で、$n\ge 2$ なら互いに直交します。
• 値域 $\otimes_{\mathrm{s}}^n\mathcal{H}=\mathrm{Ran}(S_n)$ と $\wedge^n\mathcal{H}=\mathrm{Ran}(A_n)$ がボソン・フェルミオンの $n$ 粒子空間です。$\mathcal{H}=L^2(\mathbb{R}^d)$ のとき、それぞれ $L^2(\mathbb{R}^{dn})$ の対称関数・反対称関数の空間と同一視されます。
• 正規直交基底は「占有数」（各 1 粒子状態に粒子が何個いるか）で番号づけられ、$\dim\mathcal{H}=d$ なら $\dim\otimes_{\mathrm{s}}^n\mathcal{H}=\binom{d+n-1}{n}$、$\dim\wedge^n\mathcal{H}=\binom{d}{n}$ です。
• $A_n(f_1\otimes\cdots\otimes f_n)=0$ と $f_1,\dots,f_n$ の線形従属は同値です（Gram 行列式、すなわち内積を並べた行列の行列式）。特に $n>\dim\mathcal{H}$ なら $\wedge^n\mathcal{H}=\{0\}$ で、これがパウリの排他律の数学的な形です。
• 自己共役な 1 粒子作用素 $T$ に対し、$\sum_j 1\otimes\cdots\otimes T\otimes\cdots\otimes 1$ は代数的テンソル積の上で本質的自己共役（閉包を取ると自己共役になる、という性質）で、その閉包は対称・反対称部分空間で簡約されます（射影と可換になり、各部分空間の中で閉じて働きます）。これが次章以降の $\mathrm{d}\Gamma(T)$ の $n$ 粒子成分です。

この記事で使う事前知識

• Hilbert 空間: 内積を持ち、極限について閉じている（完備な）ベクトル空間。→ Hilbert 空間
• 直交射影: 自分自身を 2 回掛けても変わらず、自己共役でもある作用素。ベクトルを閉部分空間へ垂直に落とします。→ 直交射影
• 正規直交基底: 互いに直交する単位ベクトルの組で、その線形結合で空間全体が（極限まで込めて）張れるもの。→ 正規直交基底
• 閉部分空間: 極限を取っても外に出ない部分空間。射影の値域として現れます。→ 閉部分空間
• 次元: 基底に含まれるベクトルの個数。→ 次元
• 置換の符号: 2 個を入れ替える操作（互換）の回数が偶数なら $+1$、奇数なら $-1$。

1. 動機

量子力学で 1 個の粒子の状態空間が Hilbert 空間 $\mathcal{H}$（たとえば $L^2(\mathbb{R}^3)$）のとき、区別できる $n$ 個の粒子の状態空間はテンソル積 $\otimes^n\mathcal{H}$、関数で書けば $L^2(\mathbb{R}^{3n})$ です。ところが電子や光子のような同種粒子は原理的に区別できません。粒子 $1$ と粒子 $2$ を入れ替えた状態が物理的に同じ状態を表すなら、波動関数は入れ替えで高々位相因子しか変わらず、2 回入れ替えると元に戻ることから位相は $\pm 1$ に限られます。$+1$ を選ぶ粒子がボソン、$-1$ を選ぶ粒子がフェルミオンです（3 次元空間ではこの二択しか現れないことが、スピンと統計の関係とあわせて知られています）。

したがって同種 $n$ 粒子の状態空間は $\otimes^n\mathcal{H}$ そのものではなく、置換について対称なベクトル全体、または反対称なベクトル全体という部分空間です。この記事はその部分空間を射影 $S_n$, $A_n$ の値域として正確に定義し、基底・次元・関数による実現・作用素の制限を整えます。

場の量子論では粒子数そのものが保存されないため（なぜ場の量子論が必要か？）、すべての $n$ をまとめた直和 $\bigoplus_n\otimes_{\mathrm{s}}^n\mathcal{H}$、すなわち Fock 空間を考えることになります。それが次章 ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 の主題です。正準量子化で現れる生成・消滅作用素（スカラー場の正準量子化）を、定義域まで込めて正確に扱う準備がこの章です。

ここから先は有料（買い切り ¥200）の内容です。

この章は博士課程以上・研究水準の内容です。続き（定義・定理・証明・例・演習）は ¥200 の買い切りで、他の有料章と 100 本ノックも含めてすべて読めます。無料の章は最後まで読めます。

購入する ログイン