滑らかな Feshbach 写像と作用素くりこみ群：等スペクトル性とくりこみ写像の縮小

0. この記事の要点

光のように質量のない粒子と結合した原子や電子では、光のエネルギーがいくらでも小さくなれるため、系の最低エネルギーがエネルギーの連続的な帯の端にくっついてしまい、通常の摂動の方法が使えません。この記事では、光のエネルギーを高い方から 1 段ずつ「消去」して、低エネルギー側だけの問題に縮めていく方法を扱います。読み終えると、その 1 段で光子を出し入れする相互作用がどれだけ小さくなるかを、式で見積もれるようになります。

• 質量ゼロのボソンと結合した系では、基底エネルギーが連続スペクトルの下端に埋まり、孤立固有値の解析摂動論（Kato）が使えません。Bach–Fröhlich–Sigal の作用素くりこみ群は、ボソンのエネルギー尺度を 1 段ずつ消去してこの困難を回避します。
• 消去の道具が滑らかな Feshbach 写像 $F_\chi(H)=T+\chi W\chi-\chi W\bar\chi(T+\bar\chi W\bar\chi)^{-1}\bar\chi W\chi$ です。$\chi^2+\bar\chi^2=1$ を満たす滑らかな 1 の分割（0 から 1 へなめらかに移る関数の組で、二乗の和が常に 1 になるもの）を使い、$T$ が非有界でも成り立つ形で、$\mathrm{Ker}\,H\cong\mathrm{Ker}\,F_\chi(H)$（等スペクトル性）と $H^{-1}=QF^{-1}Q^\#+\bar\chi\bar R\bar\chi$ を証明します。射影を使う Feshbach–Schur 写像はその特別な場合です。
• 光子数を $m$ 個増やし $n$ 個減らす Wick 単項式 $W_{m,n}[w]$ （生成・消滅作用素を並べた形の作用素）は、核の重み付きノルム $\|w\|_\alpha$ で作用素ノルムが抑えられ、$H_{\mathrm{f}}$ の関数で挟むと核が $\chi(r+\sum|\boldsymbol{k}_i|)$ だけ変わる閉じた構造を持ちます。
• くりこみ写像 $\mathcal{R}_\rho=\rho^{-1}\Gamma_\rho F_{\chi_\rho}(\cdot)\Gamma_\rho^*$ の 1 段で、$m+n\ge1$ の項の核は $\rho^{(m+n)(3/2+\alpha)-1}\le\rho^{1/2+\alpha}$ 倍に縮み、Feshbach 写像の非線形な補正は $4\|W\|^2/\rho^2$ で抑えられます。線形な結合が縮む条件 $\alpha>-1/2$ は、ちょうど赤外正則性 $\|\omega^{-1}w\|<\infty$ です。
• 定数項（相対的）と $H_{\mathrm{f}}$ の係数（周辺的）は縮まず、前者はスペクトル変数 $z$ の調整で、後者は正規化で処理します。この反復の全体像（Bach–Chen–Fröhlich–Sigal）と、基底状態の存在・解析性（Griesemer–Hasler）への応用を概観します。

この記事で使う事前知識

• Feshbach–Schur 写像: 空間を 2 つの部分に分け、片方を消去して、残りの部分の上の（スペクトル変数 $z$ に依存する）作用素に縮約する操作。→ 作用素の収束と摂動
• ボソン Fock 空間と消滅作用素: 粒子数の異なる状態を一つにまとめた空間と、粒子を 1 個減らす作用素 $a(\boldsymbol{k})$。→ ボソン Fock 空間
• 関数計算: 自己共役作用素 $A$ と関数 $f$ から、作用素 $f(A)$ をつくる方法。固有値を関数に通して並べ直すイメージです。
• Neumann 級数: $(1+K)^{-1}=\sum(-K)^n$（$\|K\|<1$）という逆作用素の展開。
• 赤外正則性: 低エネルギーの光子との結合が十分おとなしく、$\|\omega^{-1}f\|<\infty$ となる条件。→ pull-through 公式と基底状態の一般論

1. 動機

Feshbach–Schur 写像 は、Hilbert 空間を $\mathrm{Ran}\,P\oplus\mathrm{Ran}\,\bar P$ に分け、$\bar P$ 側を消去して固有値問題を $\mathrm{Ran}\,P$ 上の $z$ に依存する問題に縮約します（定理 7.2［作用素の収束と摂動］）。場の模型に使うなら、$P$ を「ボソンのエネルギーが $\rho$ 以下」の部分空間への射影 $\mathbf{1}_{[0,\rho]}(H_{\mathrm{f}})$ に取るのが自然です。$\mathrm{Ran}\,\bar P$ ではボソンのエネルギーが $\rho$ 以上あるので、$\bar P(H-z)\bar P$ は $z$ が基底エネルギーの近くなら逆を持つはずです。

しかし鋭い射影 $\mathbf{1}_{[0,\rho]}(H_{\mathrm{f}})$ は、生成・消滅作用素との交換で扱いにくくなります。$a(\boldsymbol{k})\mathbf{1}_{[0,\rho]}(H_{\mathrm{f}})=\mathbf{1}_{[0,\rho]}(H_{\mathrm{f}}+|\boldsymbol{k}|)a(\boldsymbol{k})$ は不連続な関数を含み、核の滑らかさや評価が保てないのです。Bach–Chen–Fröhlich–Sigal（2003）は、射影を $\chi^2+\bar\chi^2=1$ を満たす滑らかな関数 $\chi,\bar\chi$ に置き換えた滑らかな Feshbach 写像を導入し、等スペクトル性が同じように成り立つことを示しました。

縮約したら、ボソンのエネルギーの尺度を $\rho$ 倍に引き伸ばして $[0,1]$ に戻します。これがくりこみ写像 $\mathcal{R}_\rho$ で、統計力学の Wilson のくりこみ群（くりこみ理論入門）の作用素版です。光子を出し入れする項が尺度変換で縮む（非関連である）なら、反復するうちに相互作用が消え、自由な作用素の固有値問題に帰着します。どの項が縮むかは前々章の赤外条件と正確に対応しており、この章はその対応を定理として示します。

滑らかな 1 の分割。χ_ρ はボソンのエネルギー r が 3ρ/4 以下で 1、ρ 以上で 0、χ̄_ρ = √(1 − χ_ρ²) はその逆。両者が同時に正になる区間 (3ρ/4, ρ) があるのが射影との違いで、ここで生成・消滅作用素との交換が滑らかに扱える。

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