# 滑らかな Feshbach 写像と作用素くりこみ群：等スペクトル性とくりこみ写像の縮小
> 射影の代わりに滑らかな 1 の分割を使う Bach–Chen–Fröhlich–Sigal の Feshbach 写像を定義し、非有界作用素での等スペクトル性と逆作用素の公式を証明する。Wick 単項式の作用素ノルム評価と尺度変換から、くりこみ写像 1 段で光子を出し入れする項が縮小することを示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/fock-space/operator-renormalization-group
## 0. この記事の要点
光のように質量のない粒子と結合した原子や電子では、光のエネルギーがいくらでも小さくなれるため、系の最低エネルギーがエネルギーの連続的な帯の端にくっついてしまい、通常の摂動の方法が使えません。この記事では、光のエネルギーを高い方から 1 段ずつ「消去」して、低エネルギー側だけの問題に縮めていく方法を扱います。読み終えると、その 1 段で光子を出し入れする相互作用がどれだけ小さくなるかを、式で見積もれるようになります。
- 質量ゼロの[ボソン](/physics/fock-space/symmetric-tensor-products#def-n-particle-spaces)と結合した系では、基底エネルギーが連続スペクトルの下端に埋まり、孤立固有値の解析摂動論（Kato）が使えません。Bach–Fröhlich–Sigal の**作用素くりこみ群**は、ボソンのエネルギー尺度を 1 段ずつ消去してこの困難を回避します。
- 消去の道具が**滑らかな Feshbach 写像** $F_\chi(H)=T+\chi W\chi-\chi W\bar\chi(T+\bar\chi W\bar\chi)^{-1}\bar\chi W\chi$ です。$\chi^2+\bar\chi^2=1$ を満たす滑らかな 1 の分割（0 から 1 へなめらかに移る関数の組で、二乗の和が常に 1 になるもの）を使い、$T$ が非有界でも成り立つ形で、$\mathrm{Ker}\,H\cong\mathrm{Ker}\,F_\chi(H)$（等スペクトル性）と $H^{-1}=QF^{-1}Q^\#+\bar\chi\bar R\bar\chi$ を証明します。射影を使う Feshbach–Schur 写像はその特別な場合です。
- 光子数を $m$ 個増やし $n$ 個減らす **Wick 単項式** $W_{m,n}[w]$ （生成・消滅作用素を並べた形の作用素）は、核の重み付きノルム $\|w\|_\alpha$ で作用素ノルムが抑えられ、$H_{\mathrm{f}}$ の関数で挟むと核が $\chi(r+\sum|\boldsymbol{k}_i|)$ だけ変わる閉じた構造を持ちます。
- くりこみ写像 $\mathcal{R}_\rho=\rho^{-1}\Gamma_\rho F_{\chi_\rho}(\cdot)\Gamma_\rho^*$ の 1 段で、$m+n\ge1$ の項の核は $\rho^{(m+n)(3/2+\alpha)-1}\le\rho^{1/2+\alpha}$ 倍に縮み、Feshbach 写像の非線形な補正は $4\|W\|^2/\rho^2$ で抑えられます。線形な結合が縮む条件 $\alpha>-1/2$ は、ちょうど赤外正則性 $\|\omega^{-1}w\|<\infty$ です。
- 定数項（相対的）と $H_{\mathrm{f}}$ の係数（周辺的）は縮まず、前者はスペクトル変数 $z$ の調整で、後者は正規化で処理します。この反復の全体像（Bach–Chen–Fröhlich–Sigal）と、[基底状態](/physics/fock-space/nelson-spin-boson#def-ground-state)の存在・解析性（Griesemer–Hasler）への応用を概観します。
## 1. 動機
[Feshbach–Schur 写像](/mathematics/functional-analysis/operator-convergence) は、Hilbert 空間を $\mathrm{Ran}\,P\oplus\mathrm{Ran}\,\bar P$ に分け、$\bar P$ 側を消去して固有値問題を $\mathrm{Ran}\,P$ 上の $z$ に依存する問題に縮約します（