pull-through 公式と基底状態の一般論：赤外条件・Γ̌(j) 局所化・Gérard の存在定理

0. この記事の要点

物質の粒子が光のような場と相互作用すると、最もエネルギーの低い状態（基底状態）が本当に存在するのかは、自明ではありません。場の量子は波長の長いものほど安いエネルギーでいくらでも作れるため、粒子のまわりに量子が無限個まとわりついて、状態として成り立たなくなるおそれがあるからです。この章は、粒子と場の結合が一般の形をしているときに、「場の量子の個数が有限に収まるか」と「基底状態があるかないか」を、結合の長波長での強さだけから判定する方法を示します。読み終えると、有限個に収まる場合には個数の上限が、収まらない場合には基底状態が存在しないことが、同じ道具で導けるようになります。

• 粒子系 $(\mathcal{K},K)$ とボソン場 $H_{\mathrm{b}}=\mathrm{d}\Gamma(\omega)$ を結合作用素 $V:\mathcal{K}\to L^2(\mathbb{R}^d;\mathcal{K})$（粒子の状態に、場の各波数ごとの係数を対応させる有界な線形写像）で線形に結合した $H=K+H_{\mathrm{b}}+\Phi(V)$ は、$\|\omega^{-1/2}V\|<\infty$ なら結合の大きさによらず $D(K+H_{\mathrm{b}})$ 上で自己共役で、下に有界です。Nelson 模型と spin-boson 模型はその特別な場合です。
• 一般の pull-through 公式：$E=\inf\sigma(H)$ の固有ベクトル $\Psi$ は、ほとんどすべての $\boldsymbol{k}$ で $a(\boldsymbol{k})\Psi=-\frac{1}{\sqrt2}(H-E+\omega(\boldsymbol{k}))^{-1}(V\Psi)(\boldsymbol{k})$ を満たします。$\Psi$ のボソン数が有限であることを先に仮定せず、$\omega$ の値域を細かく分割する議論で示します。
• 帰結として、赤外正則 $\|\omega^{-1}V\|<\infty$ なら基底状態のボソン数の期待値は $\|\omega^{-1}V\|^2/2$ 以下です。逆に結合が「定数部分 $c\otimes1$ ＋軽い残り」に分かれ $c/\omega\notin L^2$ なら、基底状態は存在しません（Dereziński–Gérard 型）。質量ゼロで閉じ込められた Nelson 模型に基底状態がないことが、ここから厳密に従います。
• ボソンに質量 $m>0$ があるときは、ボソンの位置による局所化 $\check\Gamma(j)$ を使って $\sigma_{\mathrm{ess}}(H)\subset[E+m,\infty)$（HVZ 型の評価）を示し、基底状態が存在することを導きます。
• 質量ゼロ・赤外正則なら、質量 $m\downarrow0$ の基底状態の列が pull-through 公式による一様評価と Rellich のコンパクト性で強収束する部分列を持ち、極限が基底状態になります（Gérard の定理）。正の基底状態があれば、Doob 変換（基底状態を重みにして作用素を作り替える操作）で $H-E$ は Markov 半群の生成作用素に写ります。

この記事で使う事前知識

• 基底状態: ハミルトニアンの最低エネルギーに対応する固有ベクトル。→ 基底状態
• 数作用素 $N$: ボソンの個数を測る作用素で、$n$ 粒子成分に $n$ を掛けます。→ 数作用素
• $\mathrm{d}\Gamma(\omega)$: 1 個のボソンのエネルギー $\omega(\boldsymbol{k})$ を、各粒子成分に足し合わせて Fock 空間に持ち上げた作用素で、場の自由エネルギーを表します。→ 第二量子化作用素 dΓ(A)（$\mathrm{d}\Gamma(1)=N$ が数作用素）
• Nelson 模型・spin-boson 模型: 粒子（またはスピン）がボソン場と線形に結合する模型で、この章の一般論の特別な場合です。→ Nelson 模型と spin-boson 模型
• 本質スペクトル: スペクトルから、孤立した有限重複の固有値を除いた部分。$E=\inf\sigma(H)$ が本質スペクトルの下端より真に小さければ、$E$ は固有値になり基底状態が存在します。

1. 動機

これまでの 3 つの章で、場の模型の基底状態について次のことを見てきました。van Hove 模型 では基底状態が存在する必要十分条件が $\omega^{-1}v\in L^2$ で、その証明の要は「基底状態に消滅作用素を施すと、もとのベクトルの定数倍になる」という計算でした。Nelson 模型と spin-boson 模型 では、同じ計算を形式的に行うと $a(\boldsymbol{k})\Psi$ がレゾルベントで書け（pull-through 公式）、ボソン数の評価と赤外条件の意味が見えることを述べました。ただしそこでは、有質量の場合の HVZ 型定理、質量ゼロでの基底状態の存在、赤外特異な場合の非存在は、主張と筋道の紹介にとどめました。Pauli–Fierz 模型 の基底状態の存在も同じ型の議論に帰着します。

この章は、それらを一般の枠組みでまとめて証明します。鍵は 3 つです。

1. pull-through 公式を厳密にする。 形式的な計算 $[a(\boldsymbol{k}),H]=\omega(\boldsymbol{k})a(\boldsymbol{k})+\cdots$ は、点ごとの $a(\boldsymbol{k})$ が作用素として定義できないので、そのままでは使えません。試験関数 $f$ で塗った $a(f)$ に対する恒等式を作り、$\omega$ の値の小さな区間ごとに評価して $f$ を点に縮めます。
2. ボソンの位置で局所化する。 有質量のボソンは、粒子から遠く離れると 1 個あたり $m$ 以上のエネルギーを持ち去ります。ボソンを「近く」と「遠く」に振り分ける等長作用素 $\check\Gamma(j)$ で、この直観を不等式にします。
3. コンパクト性を作る。 質量ゼロでは本質スペクトルの下端と基底エネルギーが一致し、2 の議論は使えません。代わりに、有質量の基底状態の列に pull-through 公式を当てると、ボソンの運動量分布とその微分が一様に抑えられます。これが Rellich の定理の仮定になります。

Γ̌(j) によるボソンの局所化。ボソンの位置 y が粒子の近く（|y| ≲ R）にあれば j₀、遠く（|y| ≳ R）にあれば j_∞ の重みで振り分け、元の Fock 空間を「近いボソン」と「遠いボソン」の 2 つの Fock 空間のテンソル積へ等長に写す。遠いボソンは粒子と結合せず、有質量なら 1 個あたり m 以上のエネルギーを持つ。

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