CCR の表現：Stone–von Neumann の一意性と無限自由度の非同値表現

0. この記事の要点

量子力学では、位置と運動量が「$QP-PQ=i$」という関係を満たすと習います。この記事は、この関係を満たす組が本当に一通りしかないのか、という素朴な疑問を扱います。粒子が有限個なら答えは「一通りしかない」で、無限個の粒子（場）になると「一通りではない」です。読み終えると、この違いがどこから来るのか、それが相互作用や温度のある系の記述にどう響くのかが説明できるようになります。

• 正準交換関係（CCR）は、非有界作用素の交換子 $[Q,P]=i$ の形（Heisenberg 形式）では定義域の扱いが曖昧になるので、ユニタリ作用素の積の関係 $W(f)W(g)=e^{-i\sigma(f,g)/2}W(f+g)$（Weyl 形式）で定式化します。ここで $\sigma(f,g)=\mathrm{Im}\langle f,g\rangle$ です。
• Weyl 関係からは Heisenberg 関係が適当な定義域の上で従い、さらに「正準共役な作用素のスペクトルは $\mathbb{R}$ 全体」が出ます。逆は成り立ちません。下に有界なハミルトニアン（エネルギーを表す作用素）に Weyl の意味で共役な時間作用素が存在しないこと（Pauli の定理）もここから従います。
• 有限自由度 $\mathbb{C}^n$ の正則な Weyl 表現は、すべて Fock 表現（＝Schrödinger 表現）の直和にユニタリ同値です（Stone–von Neumann の一意性定理）。証明の鍵は Gauss 関数で平均した作用素 $P$ が $PW(w)P=e^{-|w|^2/4}P$ を満たす射影になることです。
• 「すべての消滅作用素で消えるベクトル」（真空ベクトル）があれば、それが生成する部分表現は Fock 表現です。数作用素が存在する表現は Fock 表現の直和に限られます（Dell’Antonio–Doplicher–Ruelle、Chaiken）。
• 無限自由度では一意性が破れます。各振動子の尺度を $Q_j\mapsto sQ_j$, $P_j\mapsto s^{-1}P_j$ と一斉に変えた表現や、各モードに有限の占有数を持たせた温度状態の表現は、どれも Fock 表現と互いに素です。証明には平均 $\frac1n\sum_{j\le n}W(te_j)$ の強極限という「巨視的観測量」を使います。

この記事で使う事前知識

• ボソン Fock 空間: 0 個、1 個、2 個、…の粒子の状態を全部まとめた Hilbert 空間。→ ボソン Fock 空間
• 真空: 粒子が 1 つもない状態で、消滅作用素をかけると 0 になるベクトル。→ 真空
• Segal 場: 生成作用素と消滅作用素の和 $\frac{1}{\sqrt2}(a(f)+a(f)^*)$ から作る自己共役作用素。→ Segal 場
• Weyl 作用素: Segal 場を指数にしたユニタリ作用素 $e^{i\Phi_{\mathrm{S}}(f)}$。→ Weyl 作用素
• 数作用素: 粒子の個数を数える作用素。→ 数作用素
• 密度行列: 混合状態（確率的に混ざった状態）を表す正の作用素で、トレースが 1 のもの。→ 密度行列

1. 動機

量子力学の教科書は「$[Q,P]=i$ を満たす作用素の組」を出発点にしますが、この関係を満たす組は本質的に一つしかないこと、すなわち $L^2(\mathbb{R})$ 上の位置と運動量しかないことは、暗黙のうちに仮定されています。この仮定を正当化するのが Stone–von Neumann の一意性定理です。ただし定理が正しく述べられるのは Weyl 形式に対してであり、Heisenberg 形式のままでは反例があります。

場の量子論では自由度が無限になり、この一意性が破れます。同じ CCR を満たしながら Fock 表現とユニタリ同値でない表現が無数にあり、相互作用のある場や温度のある系の「正しい」表現は一般に Fock 表現ではありません。van Hove 模型（van Hove 模型）で相互作用後の真空が Fock 空間からはみ出す現象や、Haag の定理はこの事情の現れです。本章では、有限自由度の一意性を証明したうえで、無限自由度でどのように壊れるかを具体的な表現で確かめます。次章 Bogoliubov 変換と Shale の定理 は、本章の非同値表現が「CCR を保つ線形変換が Fock 空間で実装できない」ことから生じる場合を系統的に扱います。

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