# ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素：閉性・正準交換関係・数作用素による評価
> ボソン Fock 空間と真空・有限粒子部分空間を定義し、消滅・生成作用素を最大定義域で構成して閉性と共役関係を証明する。正準交換関係、数作用素による相対評価、真空の巡回性と一意性までを定義域込みで示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/fock-space/boson-fock-space
## 0. この記事の要点
同じ種類の粒子が 0 個の状態、1 個の状態、2 個の状態、…をまとめて一つの空間に入れ、粒子を 1 個増やす操作と 1 個減らす操作を数学的に正確に作るのが、この記事の話です。粒子の数が決まっていない状況（たとえば光を出し入れする系）を扱うには、この二つの操作が基本の道具になります。読み終えると、この二つの操作がどの状態に対して意味を持つのか、互いにどんな関係にあるのか、粒子数でどこまで大きさを抑えられるのかが分かります。
- ボソン Fock 空間は $\mathcal{F}_{\mathrm{b}}(\mathcal{H})=\bigoplus_{n=0}^\infty\otimes_{\mathrm{s}}^n\mathcal{H}$ で、真空 $\Omega=(1,0,0,\dots)$ と、有限個の成分しか持たない有限粒子部分空間 $\mathcal{F}_0$ が基本的な道具です。
- 消滅作用素 $a(f)$ は部分内積 $L_f^*$（$f$ を最初の成分に掛ける操作の共役）を使って $(a(f)\psi)^{(n)}=\sqrt{n+1}\,L_f^*\psi^{(n+1)}$、生成作用素は $(a(f)^*\psi)^{(n)}=\sqrt{n}\,S_n(f\otimes\psi^{(n-1)})$ で、いずれも最大定義域の上の閉作用素です。両者は互いに共役で、$\mathcal{F}_0$ は両方の芯（その上での作用から作用素全体が決まる部分空間）です。$a(f)$ は $f$ について反線形、$a(f)^*$ は線形です。
- $\mathcal{F}_0$ 上で正準交換関係 $[a(f),a(g)^*]=\langle f,g\rangle$、$[a(f),a(g)]=[a(f)^*,a(g)^*]=0$ が成り立ちます。対称化がなければこれは成り立ちません。
- 数作用素 $N$ について $\|a(f)\psi\|\le\|f\|\|N^{1/2}\psi\|$、$\|a(f)^*\psi\|\le\|f\|\|(N+1)^{1/2}\psi\|$ が $D(N^{1/2})$ 上で成り立ちます。これが以後の相互作用模型の解析で最も頻繁に使う評価です。
- $a(f_1)^*\cdots a(f_n)^*\Omega=\sqrt{n!}\,S_n(f_1\otimes\cdots\otimes f_n)$ であり、これらの線形包は稠密です（真空の巡回性）。また、すべての $a(f)$ で消える状態は真空の定数倍に限られます。
## 1. 動機
調和振動子 1 個の量子論は、$[a,a^*]=1$ を満たす消滅・生成作用素と、$a\Omega=0$ となる[基底状態](/physics/fock-space/nelson-spin-boson#def-ground-state) $\Omega$ から組み立てられます。自由場は「波数 $k$ ごとに 1 個ずつ、無限個の調和振動子」の集まりで、正準量子化では $[a_k,a_{k'}^*]=\delta(k-k')$ のような関係が書かれます（[スカラー場の正準量子化](/physics/qft/canonical-quantization)）。しかし $a_k$ そのものは作用素として意味を持たず、意味を持つのはテスト関数で平均した $a(f)=\int\overline{f(k)}a_k\,dk$ です。この記事は、この $a(f)$ を Hilbert 空間上の作用素として正確に構成します。
構成で避けられないのが非有界性です。$[a(f),a(f)^*]=\|f\|^2$ を有界作用素で実現できないことは、Wintner–Wielandt の定理（