# Haag–Ruelle の散乱理論：Wightman 公理から漸近状態・S 行列・厳密な LSZ を導く
> 孤立した質量殻をもつ Wightman 理論で、Klein–Gordon 波束で均した場の積が時刻 ±∞ で収束し、極限が Fock 空間の内積をもつことを証明する。波動作用素と S 行列、漸近完全性を定式化し、S 行列要素を Wightman 関数の極限で表す厳密な LSZ を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/axiomatic-qft/haag-ruelle-scattering
## 0. この記事の要点
粒子が衝突して散らばる実験では、衝突の前と後の粒子は互いに遠く離れていて、ほぼ自由に飛んでいると考えます。ところが、相互作用する場の理論では、「粒子」とは何かがもともと自明ではありません。この記事は、公理だけを出発点にして、遠い過去と未来の「自由に飛ぶ粒子」の状態を場から取り出し、衝突前後を結ぶ S 行列を定める方法（Haag–Ruelle の理論）を説明します。読み終えると、S 行列がどういう極限として定義されるかが分かります。
- 1 粒子の質量殻 $H_m$ が他のエネルギー運動量スペクトルから孤立していれば、運動量空間で $H_m$ の近くにだけ台をもつ試験関数で場を均すことで、真空から**ちょうど 1 粒子状態**を作る作用素が得られます。
- その試験関数にさらに [Klein–Gordon 方程式](/physics/quantum-mechanics-2/relativistic-quantum-mechanics#def-klein-gordon)の時間発展を逆向きにかけた $F_t$（$\tilde F_t(p)=\tilde h(p)\hat g(\boldsymbol{p})e^{i(p^0-\omega(\boldsymbol p))t}$）を使うと、$\phi(F_t)\Omega$ は時刻 $t$ に依らず、速度の台が互いに交わらない波束の積 $\phi(F_{1,t})\cdots\phi(F_{n,t})\Omega$ は $t\to\pm\infty$ で**収束**します（Cook の方法）。
- 収束の鍵は「速度の異なる波束は時間とともに空間的に離れ、局所可換性によって[交換子](/physics/quantum-mechanics/operators-and-observables#def-commutator)が $|t|^{-N}$ で消える」ことです。証明はクラスター定理を使わず、非停留位相の評価と、試験関数を局在部分と残りに分ける議論だけで済みます。
- 極限ベクトルの内積は[ボソン Fock 空間](/physics/fock-space/boson-fock-space#def-boson-fock-space)のパーマネント（符号をつけない行列式）になり、等長な**波動作用素** $W^\pm:\mathcal{F}_{\mathrm b}(\mathcal{H}_1)\to\mathcal{H}$ と **S 行列** $S=W^{+*}W^-$ が定まります。ここではエネルギー運動量の移動についての補題（前章）が、交換子を真空に当てた結果を 1 粒子の内積に変えます。
- **厳密な LSZ**: S 行列要素は、波束で均した場の [Wightman 関数](/physics/axiomatic-qft/wightman-axioms#def-wightman-functions)の $t\to\infty$ の極限です。また $\phi(F_t)$, $\phi(\bar F_t)$ は漸近的に生成・消滅作用素として振る舞います。**漸近完全性**（$W^\pm$ がユニタリ。散乱状態で全空間が尽くされること）は公理からは従わず、一般化自由場が反例です。
## 1. 動機
教科書的な散乱理論は、「相互作用は遠い過去と未来では切れていて、粒子は自由に飛んでいる」という描像から出発します。しかし [PCT 定理・スピン統計定理・Haag の定理](/physics/axiomatic-qft/pct-spin-statistics-haag) の Haag の定理によれば、相互作用する場を自由場の Fock 空間に載せる相互作用表示は存在しません。では、粒子・散乱状態・S 行列は、相互作用する理論の**中から**どうやって取り出せるのでしょうか。
Haag（1958）と Ruelle（1962）の答えは、場そのものではなく、**エネルギー運動量で 1 粒子殻に絞り込み、Klein–Gordon 波束で時空に広げた場**を使うことでした。こうして作った作用素 $B_t$ は真空に当てると時刻に依らない 1 粒子状態を作り、速度の異なる $n$ 個の波束の積は、時刻 $\pm\infty$ で $n$ 個の自由粒子のように振る舞う状態に収束します。その内積が Fock 空間と同じであることから、漸近的な Fock 構造と S 行列が、相互作用表示を経由せずに公理だけから得られます。
[構成的場の理論の地図](/physics/axiomatic-qft/constructive-qft-map) の