PCT 定理・スピン統計定理・Haag の定理：複素 Lorentz 群と Wightman 関数の解析性

0. この記事の要点

粒子と反粒子の質量は等しいのか、スピンが半整数の粒子はなぜ反交換関係に従うのか。この章は、こうした問いが個別のモデルの事情ではなく、場が時空の中で局所的にふるまうという要請から一般に答えられることを示します。道具は、座標に複素数を許して考える解析接続です。読み終えると、PCT 定理とスピン統計定理がどの仮定からどう出るか、そして相互作用表示がなぜ成り立たないかを、証明の骨組みごとに説明できるようになります。

• 複素 Lorentz 群 $L_+(\mathbb{C})$ は連結で、実 Lorentz 群では恒等成分に属さない全反転 $-1$（時空反転 PT）を含みます。これが PCT 定理の幾何学的な源です。
• Bargmann–Hall–Wightman の定理: 前方管上の $\mathcal{L}^\uparrow_+$ 不変な正則関数は、拡大管へ一価に解析接続され、$L_+(\mathbb{C})$ 不変になります。拡大管に含まれる実点（Jost 点）は「差のベクトルの正係数結合がすべて空間的」な点として特徴づけられます。
• PCT 定理（Jost）: Wightman 関数の PCT 対称性 $W_n(x_1,\dots,x_n)=W_n(-x_n,\dots,-x_1)$ は、Jost 点での弱局所可換性（離れた点の場の順序を入れ替えてよいという条件の、弱い版）と同値で、さらに真空を保つ反ユニタリ作用素 $\Theta$ の存在と同値です。局所可換性は弱局所可換性を含むので、すべての Wightman 理論は PCT 対称です。
• スピン統計定理: 整数スピンの場を反交換関係で、半整数スピンの場を交換関係で局所化しようとすると、場は $0$ になります。証明は 2 点関数の $-1$ 不変性と正値性だけで済みます。
• Jost–Schroer の定理: 2 点関数が質量 $m>0$ の自由場と同じなら、その場は自由場です。
• Haag の定理: 時刻 $0$ の場が自由場の時刻 $0$ の場とユニタリ同値なら、その場は自由場です。したがって相互作用表示は（Euclid 共変な無限体積の理論では）存在しません。

この記事で使う事前知識

• 前方管: 虚部の符号を替えたものが光円錐の内部（未来向き）に入る複素ベクトルの組の集合で、Wightman 関数が正則になる領域。→ Wightman 公理と再構成定理
• Wightman 関数: 場の積の真空期待値で、時空の点の関数として見たもの。→ Wightman 関数
• 反ユニタリ作用素: 内積の複素共役を保つ反線形な全単射。時間反転の実装に使う。→ 反ユニタリ作用素
• ユニタリ同値: ユニタリ作用素で一方を他方に写せること。→ ユニタリ同値
• 一致の定理: 連結な領域で正則な関数は、開集合の上で一致すれば全体で一致するという性質。複素解析の基本事項で、本章の証明で繰り返し使う。

1. 動機

ディラック場の量子化 では、Dirac 場を交換関係で量子化するとエネルギーが下に有界でなくなり、因果律も破れることを見ました。スカラー場を反交換関係で量子化しようとしても同様に破綻します。これは個別のモデルの事情なのでしょうか、それとも相対論的な量子論一般の性質なのでしょうか。同じ問いは C, P, T にも立てられます。弱い相互作用は P も C も破りますが、3 つを組み合わせた PCT（以下では文献の慣習に従い PCT と書きます）はどんな局所的な理論でも保存されると言われます。

Wightman 公理の立場からは、どちらの問いにも構造的な答えが出ます。鍵は 前章 で見た「Wightman 関数は前方管の正則関数の境界値である」という事実です。正則関数の不変性は実 Lorentz 群から複素 Lorentz 群へ自動的に広がり、複素 Lorentz 群は連続変形で $x\mapsto-x$ に達します。この $-1$ 不変性から、PCT とスピン統計の両方が出てきます。

本章の後半では、同じ解析性の議論を使って Haag の定理を証明します。これは、教科書的な摂動論の出発点である相互作用表示（自由場の Fock 空間の上に相互作用する場を載せる）が、そのままでは数学的に成り立たないことを示す定理です。摂動論がそれでも機能する理由と、くりこみ・構成的場の理論との関係もあわせて述べます。

ここから先は有料（買い切り ¥200）の内容です。

この章は博士課程以上・研究水準の内容です。続き（定義・定理・証明・例・演習）は ¥200 の買い切りで、他の有料章と 100 本ノックも含めてすべて読めます。無料の章は最後まで読めます。

購入する ログイン