# Wightman 関数の解析性：前方管・edge-of-the-wedge・BHW の定理と Jost–Schroer の定理の証明
> 錐に台をもつ超関数の Fourier–Laplace 変換で前方管への解析接続を示し、edge-of-the-wedge の定理、Bargmann–Hall–Wightman の定理、Jost 点の特徴づけを証明する。応用として Jost–Schroer の定理を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/axiomatic-qft/wightman-analyticity
## 0. この記事の要点
場の量子論で測定される量（Wightman 関数）は、時空の座標を実数だけでなく複素数にまで広げて考えることができます。この記事では、「エネルギーが負にならない」「空間的に離れた 2 点の測定は互いに邪魔しない」という物理の条件が、複素数への拡張を通じてどんな制約を生むかを、順に証明します。核になる発想は、1 変数でいえば「上半平面と下半平面でそれぞれ定義された関数が、実軸の上で同じ値につながるなら、実軸をまたいで 1 つの関数になる」という事実の、多変数・超関数版です。読み終えると、解析接続・Bargmann–Hall–Wightman の定理・Jost 点の特徴づけの 3 つの定理と、自由場を特徴づける Jost–Schroer の定理の証明を追えるようになります。
- 緩増加超関数（急減少関数に作用する連続な線形汎関数）の Fourier 変換が閉凸錐に台をもつとき、その超関数は双対錐（錐の各ベクトルと鋭角または直角をなすベクトル全体）で決まる[管状領域](/mathematics/complex-analysis/several-complex-variables#def-tube)の**正則関数の境界値**であり、正則関数は境界からの距離の逆数の多項式で抑えられます（Fourier–Laplace 変換）。これで [Wightman 関数](/physics/axiomatic-qft/wightman-axioms#def-wightman-functions)の前方管への解析接続が、評価式も含めて閉じます。
- **edge-of-the-wedge の定理**: 向かい合う 2 つの楔（実方向の広がりに、虚方向の錐を足した領域）$E\pm iC$ で正則な関数が、実の「刃」（楔の底になる実の集合）$E$ で同じ超関数を境界値にもつなら、両者は $E$ の複素近傍を通って 1 つの正則関数につながります。証明は解析的円板の上の Cauchy の公式（Rudin の方法）と、超関数の場合の軟化です。
- **Bargmann–Hall–Wightman（BHW）の定理**: 前方管上の実 Lorentz 不変な正則関数は、拡大管（前方管を[複素 Lorentz 群](/physics/axiomatic-qft/pct-spin-statistics-haag#def-complex-lorentz-group)で動かしてできる領域）へ一価に延び、複素 Lorentz 群で不変になります。一価性の核心は「$\Lambda\mathcal{T}_1\cap\mathcal{T}_1\neq\emptyset$ となる $\Lambda$ 全体が連結」という 1 変数の事実に帰着し、それを複素ブーストと安定化部分群 $SO(3,\mathbb{C})$ の連結性で示します。
- **Jost 点**（実の点で、拡大管に入るもの）: 実点が拡大管に属するのは、差のベクトルの非負結合がすべて空間的なときで、そのときに限ります。十分性は凸集合の分離定理で「すべての点を右楔に入れる Lorentz 系」を作って示します。
- **Jost–Schroer の定理**（$m>0$）: 2 点関数が自由場と同じなら場は自由場です。[Klein–Gordon 方程式](/physics/quantum-mechanics-2/relativistic-quantum-mechanics#def-klein-gordon)、エネルギー運動量の移動に関する補題、edge-of-the-wedge から出る一意性定理を組み合わせて、[交換子](/physics/quantum-mechanics/operators-and-observables#def-commutator)が c 数（作用素ではなく単なる数）になることを示します。
## 1. 動機
[PCT 定理・スピン統計定理・Haag の定理](/physics/axiomatic-qft/pct-spin-statistics-haag) では、Wightman 関数を複素 Lorentz 群で回し、$x\mapsto-x$ を連続変形で実現することで PCT とスピン統計の関係を導きました。そこで使った道具のうち、次の 3 つは主張だけを述べて証明を文献に回していました。
1. Wightman 関数の前方管への解析接続のうち、境界値への収束と多項式評価（[Wightman 公理と再構成定理](/physics/axiomatic-qft/wightman-axioms) の