補間と古典的不等式：Riesz–Thorin・Marcinkiewicz から Hardy–Littlewood–Sobolev へ

0. この記事の要点

関数を別の関数に写す操作があって、「ある種類の関数」から「別の種類の関数」への大きさの評価が、2 つの場合だけ分かっているとします。この記事は、そのとき間の場合の評価も自動的に得られること（補間）を示し、その使い道として、積分で定まる量を別の量で抑える有名な不等式をいくつか導きます。読み終えると、Fourier 変換や Coulomb エネルギーに出てくる評価が、どの 2 つの簡単な評価から来ているかを説明できるようになります。

• Riesz–Thorin: 線形作用素が $L^{p_0}\to L^{q_0}$ と $L^{p_1}\to L^{q_1}$ で有界なら、間の指数でも有界で、ノルムは $M_0^{1-\theta}M_1^\theta$ 以下です。証明は Hadamard の三線定理です。系として Fourier 変換の Hausdorff–Young の不等式 $\|\hat f\|_{p'}\le(2\pi)^{n/p'}\|f\|_p$（$1\le p\le2$）が出ます。
• Marcinkiewicz: 2 つの指数で「弱型」評価しかなくても、間の指数では強型評価が出ます。劣線形作用素でもよいので、Hardy–Littlewood の極大関数に使えます。
• Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式: Riesz ポテンシャル $I_\alpha f=|x|^{\alpha-n}*f$ は $L^p\to L^q$（$\frac1q=\frac1p-\frac\alpha n$）で有界です。極大関数による Hedberg の評価で証明します。
• Sobolev 不等式（臨界指数）: $0\lt s\lt n/2$ について $\|u\|_{2n/(n-2s)}\le C\||\xi|^s\hat u\|_2$。$s=1$、$n\ge3$ が $\|u\|_{2n/(n-2)}\le C\|\nabla u\|_2$ です。$|x|^{\alpha-n}$ の Fourier 変換を Gauss 関数の重ね合わせで計算し、HLS に帰着します。格子 $\mathbb{Z}^d$ 上の離散版も示します。
• Hilbert の不等式: $\sum_{m,n\ge1}\frac{a_mb_n}{m+n}\le\pi\|a\|_2\|b\|_2$。重みつき Cauchy–Schwarz（Schur の判定法）の典型例で、定数 $\pi$ は最良です。

この記事で使う事前知識

• Hölder の不等式: $\int|fg|\le\|f\|_p\|g\|_{p'}$ という積分の評価。→ L^p 空間と関数解析への導入
• Hadamard の三線定理: 帯状の領域で正則で有界な関数について、両端の直線上での大きさの上限から、間の点での大きさの上限が分かるという定理。→ 最大値原理の一般化と正則関数族
• Plancherel の定理: Fourier 変換が $L^2$ ノルムを定数倍（$(2\pi)^{n/2}$ 倍）するだけで保つという性質。→ Fourier 変換
• 単関数: 有限個の値しかとらない可測関数。→ 単関数
• Sobolev 空間: 弱い意味の微分をもつ関数の空間で、前章で扱いました。→ Sobolev 空間

1. 動機

作用素論や散乱理論で使う評価の多くは「ある $L^p$ から $L^q$ への有界性」です。例えば

• Lieb–Thirring 不等式や Coulomb 系の安定性では、運動エネルギー $\|\nabla\psi\|_2^2$ で $\|\psi\|_6$ を抑える Sobolev 不等式が要ります（Lieb–Thirring 不等式）。
• Coulomb エネルギー $\iint\frac{\rho(x)\rho(y)}{|x-y|}dxdy$ を $\|\rho\|_{6/5}^2$ で抑えるのは Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式です。
• 散乱理論の局所減衰評価では、Fourier 変換の $L^p$ 有界性（Hausdorff–Young）が出てきます。

こうした評価を毎回一から示すのではなく、「両端の簡単な評価から間の評価を自動的に得る」のが補間の考え方です。$L^1\to L^\infty$ と $L^2\to L^2$ の評価は簡単に示せることが多く（前者は核の有界性、後者は Plancherel やスペクトル定理）、補間でその間がすべて得られます。

本章では $(X,\mu)$、$(Y,\nu)$ を σ-有限測度空間とし、$p'$ を $p$ の共役指数 $\frac1p+\frac1{p'}=1$ とします。Fourier 変換の正規化はℝⁿ 上のフーリエ変換 と同じく $\hat f(\xi)=\int e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx$ です。

2. 準備：分布関数と弱 Lᵖ

関数の「大きさ」を、値が $\lambda$ を超える場所の測度という形で測るのが分布関数です。以下の定義はそれを使った弱い大きさの測り方で、後の Marcinkiewicz の定理で使います。

定義 2.1（分布関数と弱 Lᵖ）↗

可測関数 $f$ について $d_f(\lambda)=\mu(\{|f|\gt\lambda\})$（$\lambda\gt0$）を分布関数という。$1\le p\lt\infty$ について

$$[f]_{p,\infty}=\sup_{\lambda\gt0}\lambda\,d_f(\lambda)^{1/p}$$

が有限な $f$ の全体を弱 $L^p$（$L^{p,\infty}$）という。作用素 $T$ が弱型 $(p,q)$ であるとは、$[Tf]_{q,\infty}\le A\|f\|_p$ となることをいい、強型 $(p,q)$ は $\|Tf\|_q\le A\|f\|_p$ をいう。$q=\infty$ の弱型は強型と同じものとする。

補題 2.2（層状表示と Chebyshev の不等式）✓

$0\lt p\lt\infty$ について $\int|f|^p\,d\mu=p\int_0^\infty\lambda^{p-1}d_f(\lambda)\,d\lambda$。また $d_f(\lambda)\le\lambda^{-p}\|f\|_p^p$、とくに $[f]_{p,\infty}\le\|f\|_p$。

証明（補題 2.2）

$|f(x)|^p=\int_0^{|f(x)|}p\lambda^{p-1}d\lambda=\int_0^\infty p\lambda^{p-1}\mathbf{1}_{\{|f|\gt\lambda\}}(x)\,d\lambda$ を $x$ で積分し、Tonelli の定理（定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）で順序を交換します。後半は $\lambda^p\mathbf{1}_{\{|f|\gt\lambda\}}\le|f|^p$ を積分したものです。

∎

弱 $L^p$ は $L^p$ より真に大きい空間です。$\mathbb{R}^n$ 上の $|x|^{-n/p}$ は $d(\lambda)=|B_1|\lambda^{-p}$ なので弱 $L^p$ に入りますが、$L^p$ には入りません。

補題 2.3（単関数によるノルムの双対表示）✓

$1\le q\le\infty$、$h$ を $Y$ 上の可測関数で、測度有限な集合上で可積分とする。このとき

$$\|h\|_q=\sup\Bigl\{\Bigl|\int hg\,d\nu\Bigr|\ \Big|\ g\text{ は測度有限な台をもつ単関数},\ \|g\|_{q'}\le1\Bigr\}$$

（両辺 $+\infty$ も許す）。

証明（補題 2.3）

右辺 $\le$ 左辺は Hölder の不等式（定理 4.2［L^p 空間と関数解析への導入］）です。逆向き: $1\lt q\lt\infty$ のとき、$Y_k\uparrow Y$（測度有限）と $h_k=h\mathbf{1}_{Y_k\cap\{|h|\le k\}}$ を取り、$\overline{\mathrm{sgn}\,h}\,|h_k|^{q-1}$ を単関数で下から近似したものを $\|h_k\|_q^{q-1}$ で割ると、$\int hg\to\|h_k\|_q$ に近づく $g$ が作れ、単調収束定理で $\|h_k\|_q\uparrow\|h\|_q$ です。$q=1$ では $g=\overline{\mathrm{sgn}\,h}\,\mathbf{1}_{Y_k}$ の単関数近似、$q=\infty$ では $\{|h|\gt\|h\|_\infty-\varepsilon\}\cap Y_k$ の正測度部分集合 $E$ について $g=\overline{\mathrm{sgn}\,h}\mathbf{1}_E/\nu(E)$ の近似を使います。

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3. Riesz–Thorin の補間定理

定理 3.1（Riesz–Thorin の補間定理）✓

$1\le p_0,p_1,q_0,q_1\le\infty$ とする。$T$ を、$X$ 上の測度有限な台をもつ単関数の空間から $Y$ 上の可測関数（測度有限な集合上で可積分）への線形写像で、

$$\|Tf\|_{q_0}\le M_0\|f\|_{p_0},\qquad\|Tf\|_{q_1}\le M_1\|f\|_{p_1}$$

を満たすとする。$0\lt\theta\lt1$ について $\frac1p=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac\theta{p_1}$、$\frac1q=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac\theta{q_1}$ とおくと、すべての単関数 $f$ で

$$\|Tf\|_q\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}\|f\|_p .$$

したがって $p\lt\infty$ なら、$T$ は $L^p\to L^q$ の有界作用素に一意に延び、ノルムは $M_0^{1-\theta}M_1^\theta$ 以下である。

証明の方針は次のとおりです。示したい量 $\int(Tf)g$ を、複素数 $z$ の関数 $F(z)$ の $z=\theta$ での値として実現します。そのために、$f,g$ の各項の大きさを $z$ に応じて冪乗した族 $f_z,g_z$ を作ります。指数 $P(z),Q(z)$ は、$z=\theta$ で元の $f,g$ に戻り、$\mathrm{Re}\,z=0$ と $1$ では $L^{p_0},L^{p_1}$ などのノルムがちょうど 1 になるように選んであります。すると帯の両端での大きさは仮定から分かり、間の $\theta$ での大きさは三線定理が与えます。

Hadamard の三線定理の使い方。帯 0 ≤ Re z ≤ 1 の左端では |F| ≤ M₀、右端では |F| ≤ M₁ と分かっていれば、途中の Re z = θ では |F| ≤ M₀^(1−θ) M₁^θ が出る。

証明（定理 3.1）

$\|f\|_p=1$ とし、補題 2.3 により、$\|g\|_{q'}=1$ の単関数 $g$ について $|\int(Tf)g|\le M_0^{1-\theta}M_1^\theta$ を示せば十分です。$f=\sum_ka_ke^{i\alpha_k}\mathbf{1}_{A_k}$、$g=\sum_jb_je^{i\beta_j}\mathbf{1}_{B_j}$（$a_k,b_j\gt0$、$A_k$ どうし・$B_j$ どうしは互いに素）と書きます。複素数 $z$ について

$$P(z)=p\Bigl(\frac{1-z}{p_0}+\frac z{p_1}\Bigr),\qquad Q(z)=q'\Bigl(\frac{1-z}{q_0'}+\frac z{q_1'}\Bigr)$$

とし（$p=\infty$ なら $P\equiv1$、$q'=\infty$ なら $Q\equiv1$ とおく）、$f_z=\sum_ka_k^{P(z)}e^{i\alpha_k}\mathbf{1}_{A_k}$、$g_z=\sum_jb_j^{Q(z)}e^{i\beta_j}\mathbf{1}_{B_j}$ とします。$P(\theta)=Q(\theta)=1$ なので $f_\theta=f$、$g_\theta=g$ です。

$$F(z)=\int(Tf_z)\,g_z\,d\nu=\sum_{j,k}a_k^{P(z)}b_j^{Q(z)}e^{i(\alpha_k+\beta_j)}\int T(\mathbf{1}_{A_k})\mathbf{1}_{B_j}\,d\nu$$

は（$T$ の線形性から）指数関数の有限和で、帯 $0\le\mathrm{Re}\,z\le1$ 上で有界連続、内部で正則です。$\mathrm{Re}\,z=0$ では $|a_k^{P(iy)}|=a_k^{p/p_0}$ なので $\|f_{iy}\|_{p_0}^{p_0}=\sum_ka_k^p\mu(A_k)=\|f\|_p^p=1$、同様に $\|g_{iy}\|_{q_0'}=1$ で、Hölder の不等式から $|F(iy)|\le\|Tf_{iy}\|_{q_0}\|g_{iy}\|_{q_0'}\le M_0$ です（指数が $\infty$ の場合も同様に確かめられる）。同じく $|F(1+iy)|\le M_1$ です。Hadamard の三線定理（定理 5.4［最大値原理の一般化と正則関数族］）から $|F(\theta)|\le M_0^{1-\theta}M_1^\theta$ で、$F(\theta)=\int(Tf)g$ です。延長は、単関数が $L^p$（$p\lt\infty$）で稠密なことから出ます。

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系 3.2（Hausdorff–Young の不等式）✓

$1\le p\le2$ とする。$f\in L^1\cap L^p(\mathbb{R}^n)$ について $\|\hat f\|_{p'}\le(2\pi)^{n/p'}\|f\|_p$。したがって $\mathcal{F}$ は $L^p\to L^{p'}$ の有界作用素に延びる。

証明（系 3.2）

$\|\hat f\|_\infty\le\|f\|_1$（$M_0=1$、$p_0=1$、$q_0=\infty$）と、Plancherel の定理（定理 4.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）$\|\hat f\|_2=(2\pi)^{n/2}\|f\|_2$（$M_1=(2\pi)^{n/2}$、$p_1=q_1=2$）を 定理 3.1 で補間します。$\frac1p=1-\theta+\frac\theta2$ から $\theta=2/p'$、$\frac1q=\frac\theta2=\frac1{p'}$ で、定数は $(2\pi)^{n\theta/2}=(2\pi)^{n/p'}$ です。

∎

Riesz–Thorin の定理を (1/p, 1/q) 平面で見る。2 点で有界なら、それを結ぶ線分上のすべての点で有界になる。Fourier 変換では (1, 0)（L¹ → L^∞）と (1/2, 1/2)（Plancherel）を結ぶ線分 1/q = 1 − 1/p が Hausdorff–Young の不等式である。

$p\gt2$ では Hausdorff–Young 型の評価は成り立ちません。$\hat f$ は一般に関数ですらなく、$L^p$（$p\gt2$）の元の Fourier 変換は本当に超関数になり得ます。最良定数は $1\lt p\lt2$ で $(2\pi)^{n/p'}$ より小さく（$p=1$、$p=2$ では $(2\pi)^{n/p'}$ が最良）、Gauss 関数で達成されます（Beckner, 1975）が、これは補間からは出ません。

例 3.3（Young の不等式の補間による証明）

$g\in L^q$ を固定し $Tf=f*g$ とします。$\|f*g\|_q\le\|f\|_1\|g\|_q$（Minkowski の積分不等式）と $\|f*g\|_\infty\le\|f\|_{q'}\|g\|_q$（Hölder）を補間すると、$\frac1p=1-\theta+\frac\theta{q'}$、$\frac1r=\frac{1-\theta}q$ について $\|f*g\|_r\le\|f\|_p\|g\|_q$ です。$\theta$ を消去すると $\frac1p+\frac1q=1+\frac1r$ で、これはフーリエ変換の章の Young の不等式（定理 5.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）です。

4. Marcinkiewicz の補間定理と極大関数

定理 4.1（Marcinkiewicz の補間定理）✓

$1\le p_0\lt p_1\le\infty$ とする。$T$ を $L^{p_0}+L^{p_1}$ から可測関数への写像で、劣線形 $|T(f+g)|\le|Tf|+|Tg|$、$|T(cf)|=|c||Tf|$ を満たし、弱型 $(p_0,p_0)$（定数 $A_0$）かつ弱型 $(p_1,p_1)$（定数 $A_1$）であるとする。このとき $p_0\lt p\lt p_1$ について $\|Tf\|_p\le A_p\|f\|_p$ で、$A_p$ は $p,p_0,p_1,A_0,A_1$ のみによる。

証明の方針は、関数 $f$ を高さ $c\lambda$ で上と下の 2 つに切り分けることです。高い部分は $L^{p_0}$ に、低い部分は $L^{p_1}$ に入るので、それぞれの弱型評価で $Tf$ が $\lambda$ を超える場所の測度を抑えられます。あとは $\lambda$ で積分（層状表示）すれば $L^p$ ノルムが出ます。

証明（定理 4.1）

$f\in L^p$、$\lambda\gt0$、$c\gt0$ について $f_0=f\mathbf{1}_{\{|f|\gt c\lambda\}}$、$f_1=f\mathbf{1}_{\{|f|\le c\lambda\}}$ とおきます。$|f_0|^{p_0}\le(c\lambda)^{p_0-p}|f|^p$ なので $f_0\in L^{p_0}$、同様に $f_1\in L^{p_1}$ です。劣線形性から $d_{Tf}(\lambda)\le d_{Tf_0}(\lambda/2)+d_{Tf_1}(\lambda/2)$ です。

$p_1=\infty$ の場合. $c=1/(2A_1)$ とすると $|Tf_1|\le A_1c\lambda=\lambda/2$ a.e. なので $d_{Tf_1}(\lambda/2)=0$ です。補題 2.2 と弱型 $(p_0,p_0)$ から

$$\|Tf\|_p^p\le p\int_0^\infty\lambda^{p-1}\Bigl(\frac{2A_0}\lambda\Bigr)^{p_0}\int_{\{|f|\gt c\lambda\}}|f|^{p_0}d\mu\,d\lambda=p(2A_0)^{p_0}\int|f|^{p_0}\int_0^{|f|/c}\lambda^{p-p_0-1}d\lambda\,d\mu$$

（Tonelli）で、内側は $\frac{(|f|/c)^{p-p_0}}{p-p_0}$ なので、$\|Tf\|_p^p\le\frac{p(2A_0)^{p_0}(2A_1)^{p-p_0}}{p-p_0}\|f\|_p^p$ です。

$p_1\lt\infty$ の場合. $c=1$ とし、両方の弱型評価を使うと

$$\|Tf\|_p^p\le p(2A_0)^{p_0}\int|f|^{p_0}\int_0^{|f|}\lambda^{p-p_0-1}d\lambda\,d\mu+p(2A_1)^{p_1}\int|f|^{p_1}\int_{|f|}^\infty\lambda^{p-p_1-1}d\lambda\,d\mu$$

で、$p_0\lt p\lt p_1$ から内側の積分はそれぞれ $\frac{|f|^{p-p_0}}{p-p_0}$、$\frac{|f|^{p-p_1}}{p_1-p}$ です。よって $\|Tf\|_p^p\le p\bigl(\frac{(2A_0)^{p_0}}{p-p_0}+\frac{(2A_1)^{p_1}}{p_1-p}\bigr)\|f\|_p^p$ です。

∎

Riesz–Thorin と比べると、Marcinkiewicz は仮定が弱い（弱型・劣線形）代わりに、定数が $p\to p_0,p_1$ で発散し、非対角 $(p,q)$ の扱いには工夫が要ります。典型的な応用が極大関数です。

定義 4.2（Hardy–Littlewood の極大関数）↗

$f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ について $Mf(x)=\sup_{r\gt0}\frac1{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}|f(y)|\,dy$ とおく。

$\{Mf\gt t\}$ は開集合です。$\frac1{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}|f|\gt t$ なら、$x'$ が $x$ に十分近いとき $B(x',r+|x-x'|)\supset B(x,r)$ 上の平均も $t$ を超えるからです。とくに $Mf$ は可測です。$\mathbb{R}$ 上の版は Radon–Nikodym の定理と微分 の 定理 5.2［符号付き測度と Radon–Nikodym の定理］ で扱いました。ここでは $\mathbb{R}^n$ で示します。

補題 4.3（有限 Vitali 被覆補題）✓

$\mathbb{R}^n$ の開球の有限族 $B_1,\ldots,B_N$ から、互いに素な部分族 $B_{i_1},\ldots,B_{i_k}$ で $\bigcup_iB_i\subset\bigcup_j3B_{i_j}$ となるものが選べる（$3B$ は同じ中心で半径 3 倍の球）。

証明（補題 4.3）

半径最大の球を選び、それと交わる球を除き、残りで同じ操作を繰り返します。除かれた球 $B$ は、それより半径が小さくない選ばれた球 $B'$ と交わるので、三角不等式から $B\subset3B'$ です。

∎

定理 4.4（極大関数の有界性）✓

1. （弱型 $(1,1)$）$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ なら $|\{Mf\gt t\}|\le\frac{3^n}t\|f\|_1$。
2. $1\lt p\le\infty$ なら $\|Mf\|_p\le C_{n,p}\|f\|_p$。

証明（定理 4.4）

1: $K\subset\{Mf\gt t\}$ をコンパクトとします。各 $x\in K$ に $\int_{B_x}|f|\gt t|B_x|$ となる中心 $x$ の球 $B_x$ があり、有限個で $K$ を覆えます。補題 4.3 で互いに素な $B_1,\ldots,B_k$ を選ぶと $|K|\le3^n\sum_j|B_j|\le\frac{3^n}t\sum_j\int_{B_j}|f|\le\frac{3^n}t\|f\|_1$ です。開集合 $\{Mf\gt t\}$ はコンパクト集合（閉立方体の有限和）の増大列で尽くせるので、測度の下からの連続性から結論を得ます。2: $\|Mf\|_\infty\le\|f\|_\infty$ は明らかで、$M$ は劣線形なので、定理 4.1（$p_0=1$、$p_1=\infty$）を使います。

∎

$p=1$ では強型は成り立ちません。$f\ne0$ なら $|x|$ が大きいところで $Mf(x)\ge c|x|^{-n}$ なので $Mf\notin L^1$ です。

5. Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式

$0\lt\alpha\lt n$ について、Riesz ポテンシャルを $I_\alpha f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}}dy$ とします。$|x|^{\alpha-n}$ は原点の近くで可積分ですが無限遠では可積分でないので、$I_\alpha$ はどの $L^p\to L^p$ でも有界ではありません。スケーリング $f_\lambda(x)=f(\lambda x)$ を考えると $I_\alpha f_\lambda=\lambda^{-\alpha}(I_\alpha f)_\lambda$ なので、$L^p\to L^q$ の有界性には $\frac1q=\frac1p-\frac\alpha n$ が必要です。

補題 5.1（Hedberg の評価）✓

$0\lt\alpha\lt n$、$1\le p\lt n/\alpha$ とする。$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$、$f\ne0$ について、各 $x$ で

$$|I_\alpha f(x)|\le C\,Mf(x)^{1-\alpha p/n}\,\|f\|_p^{\alpha p/n}$$

（$C$ は $n,\alpha,p$ のみによる）。

この補題のねらいは、積分 $I_\alpha f(x)$ を、1 点での極大関数の値と $\|f\|_p$ だけで抑えることです。核 $|y|^{\alpha-n}$ は原点に近いほど大きいので、$x$ の近く（半径 $R$ 以内）は同心の殻に刻んで極大関数で、遠く（$R$ 以上）は Hölder の不等式で抑えます。$R$ は、近い側の上限 $R^\alpha Mf(x)$ と遠い側の上限 $R^{\alpha-n/p}\|f\|_p$ が等しくなるように選びます。

証明（補題 5.1）

$R\gt0$ を後で選び、$|y|\lt R$ と $|y|\ge R$ で分けます。前者は $2^{-k-1}R\le|y|\lt2^{-k}R$（$k\ge0$）の殻に分けると

$$\int_{|y|\lt R}\frac{|f(x-y)|}{|y|^{n-\alpha}}dy\le\sum_{k\ge0}(2^{-k-1}R)^{\alpha-n}\int_{B(x,2^{-k}R)}|f|\le\sum_{k\ge0}(2^{-k-1}R)^{\alpha-n}|B_1|(2^{-k}R)^nMf(x)=C_1R^\alpha Mf(x)$$

です（$\sum_k2^{-k\alpha}\lt\infty$）。後者は Hölder の不等式で $\|f\|_p\,\||y|^{\alpha-n}\mathbf{1}_{|y|\ge R}\|_{p'}$ 以下で、$(n-\alpha)p'\gt n$（$\alpha\lt n/p$ と同値）なので、$\||y|^{\alpha-n}\mathbf{1}_{|y|\ge R}\|_{p'}=C_2R^{\alpha-n/p}$ です（スケーリングで $R=1$ に帰着。$p=1$ では $\sup_{|y|\ge R}|y|^{\alpha-n}=R^{\alpha-n}$）。$Mf(x)=\infty$ なら主張は自明で、$Mf(x)=0$ ならすべての $r$ で $\int_{B(x,r)}|f|=0$、すなわち $f=0$ a.e. となり仮定に反します。それ以外では $R=(\|f\|_p/Mf(x))^{p/n}$ と選ぶと、両項とも $Mf(x)^{1-\alpha p/n}\|f\|_p^{\alpha p/n}$ の定数倍になります。

∎

定理 5.2（Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式）✓

$0\lt\alpha\lt n$、$1\lt p\lt n/\alpha$、$\frac1q=\frac1p-\frac\alpha n$ とする。$\|I_\alpha f\|_q\le C\|f\|_p$。同値な形として、$0\lt\lambda\lt n$、$1\lt p,r\lt\infty$、$\frac1p+\frac1r+\frac\lambda n=2$ ならば

$$\Bigl|\iint_{\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n}\frac{f(x)\,g(y)}{|x-y|^\lambda}\,dx\,dy\Bigr|\le C\|f\|_p\|g\|_r .$$

証明（定理 5.2）

補題 5.1 を $q$ 乗して積分すると、$q(1-\alpha p/n)=p$（$\frac1q=\frac1p-\frac\alpha n$ から）なので

$$\|I_\alpha f\|_q^q\le C^q\|f\|_p^{\alpha pq/n}\int(Mf)^p\le C'\|f\|_p^{\alpha pq/n+p}=C'\|f\|_p^q$$

です（定理 4.4 の 2、$p\gt1$）。二重積分の形は、$\alpha=n-\lambda$ とおくと $\frac1{r'}=1-\frac1r=\frac1p-\frac\alpha n$ なので、Hölder の不等式で $|\int g\,I_\alpha f|\le\|g\|_r\|I_\alpha f\|_{r'}$ とすれば得られます（$\alpha\lt n/p$ は $r\gt1$ と同値）。

∎

$n=3$、$\lambda=1$、$p=r=6/5$ が Coulomb エネルギーの評価 $\iint\frac{\rho(x)\rho(y)}{|x-y|}\le C\|\rho\|_{6/5}^2$ です。最良定数は $p=r$ の場合に Lieb（1983）が求め、$(1+|x|^2)^{-(2n-\lambda)/2}$ が最大化関数になります。$p=1$ では弱型評価しか成り立ちません（演習 8.1）。

6. Sobolev 不等式：臨界指数と離散版

6.1. Riesz ポテンシャルの Fourier 変換

補題 6.1（$|x|^{-β}$ の Fourier 変換）✓

$0\lt\beta\lt n$ とする。すべての $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ について

$$\int_{\mathbb{R}^n}|x|^{-\beta}\hat f(x)\,dx=c_{n,\beta}\int_{\mathbb{R}^n}|\xi|^{\beta-n}f(\xi)\,d\xi,\qquad c_{n,\beta}=2^{n-\beta}\pi^{n/2}\frac{\Gamma((n-\beta)/2)}{\Gamma(\beta/2)} .$$

すなわち超関数として $\mathcal{F}(|x|^{-\beta})=c_{n,\beta}|\xi|^{\beta-n}$。

証明（補題 6.1）

$\Gamma(a)=\int_0^\infty t^{a-1}e^{-t}dt$ で $t$ を $t|x|^2$ に置換すると、$x\ne0$ で $|x|^{-\beta}=\Gamma(\beta/2)^{-1}\int_0^\infty t^{\beta/2-1}e^{-t|x|^2}dt$ です。$\int|x|^{-\beta}|\hat f|\,dx\lt\infty$（$\beta\lt n$）なので Fubini の定理が使え、

$$\int|x|^{-\beta}\hat f(x)\,dx=\frac1{\Gamma(\beta/2)}\int_0^\infty t^{\beta/2-1}\int e^{-t|x|^2}\hat f(x)\,dx\,dt .$$

乗法公式（定理 4.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の 3）と Gauss 関数の Fourier 変換（命題 3.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］ を尺度変換したもの）$\mathcal{F}(e^{-t|x|^2})(\xi)=(\pi/t)^{n/2}e^{-|\xi|^2/(4t)}$ から、内側は $\int(\pi/t)^{n/2}e^{-|\xi|^2/(4t)}f(\xi)\,d\xi$ です。再び Fubini の定理で $t$ 積分を先に行い、$t=|\xi|^2/(4s)$ と置換すると

$$\int_0^\infty t^{(\beta-n)/2-1}e^{-|\xi|^2/(4t)}dt=\Bigl(\frac{|\xi|^2}4\Bigr)^{(\beta-n)/2}\int_0^\infty s^{(n-\beta)/2-1}e^{-s}ds=2^{n-\beta}|\xi|^{\beta-n}\Gamma\Bigl(\frac{n-\beta}2\Bigr)$$

なので主張を得ます（被積分関数はすべて非負か絶対可積分）。

∎

6.2. 臨界指数の Sobolev 不等式

定理 6.2（Sobolev 不等式（臨界指数））✓

$0\lt s\lt n/2$、$q=\frac{2n}{n-2s}$ とする。$u\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$（または $|\xi|^s\hat u\in L^2$ となる $u\in L^2$）について

$$\|u\|_q\le C_{n,s}\Bigl((2\pi)^{-n}\int|\xi|^{2s}|\hat u(\xi)|^2d\xi\Bigr)^{1/2}.$$

とくに $n\ge3$、$s=1$ では $\|u\|_{2n/(n-2)}\le C_n\|\nabla u\|_2$（$u\in H^1(\mathbb{R}^n)$）。

証明の流れは 3 段です。(1) $\|u\|_q$ を、試験関数 $\varphi$ との積分 $\int\bar\varphi u$ の評価に置き換えます（双対性）。(2) Plancherel の定理で周波数側に移し、Cauchy–Schwarz の不等式で $|\xi|^{-2s}|\hat\varphi|^2$ の積分に帰着します。(3) その積分を 補題 6.1 で $|x|^{2s-n}$ を核とする二重積分に直し、HLS 不等式で抑えます。

証明（定理 6.2）

$u\in\mathcal{S}$ とし、右辺の括弧を $\|u\|_{\dot H^s}^2$ と書きます。$\varphi\in\mathcal{S}$ について、Plancherel の定理（内積の形）と Cauchy–Schwarz の不等式から

$$\Bigl|\int\bar\varphi u\Bigr|=(2\pi)^{-n}\Bigl|\int\overline{\hat\varphi}\hat u\Bigr|\le\|u\|_{\dot H^s}\Bigl((2\pi)^{-n}\int|\xi|^{-2s}|\hat\varphi|^2d\xi\Bigr)^{1/2}$$

です。$\psi(x)=\int\overline{\varphi(y-x)}\varphi(y)\,dy$（$\psi\in\mathcal{S}$、$\hat\psi=|\hat\varphi|^2$）に 補題 6.1（$\beta=2s$、変数の役を入れ替えて $\int|\xi|^{-2s}\hat\psi(\xi)d\xi=c_{n,2s}\int|x|^{2s-n}\psi(x)dx$）を使うと

$$\int|\xi|^{-2s}|\hat\varphi|^2d\xi=c_{n,2s}\iint\frac{\overline{\varphi(z)}\varphi(y)}{|y-z|^{n-2s}}\,dy\,dz\le c_{n,2s}C\|\varphi\|_{q'}^2$$

で、最後は HLS 不等式（定理 5.2、$\lambda=n-2s$、$p=r=q'$。$\frac2{q'}+\frac{n-2s}n=2$ は $q=\frac{2n}{n-2s}$ と同値）です。したがって $|\int\bar\varphi u|\le C\|u\|_{\dot H^s}\|\varphi\|_{q'}$ で、$\mathcal{S}$ は $L^{q'}$ で稠密なので、$L^q$ と $L^{q'}$ の双対性（補題 2.3）から $\|u\|_q\le C\|u\|_{\dot H^s}$ です。$|\xi|^s\hat u\in L^2$ の一般の $u$ には、$\hat u$ を切り落として $\mathcal{S}$ で近似し、Fatou の補題で移ります。$s=1$ では $(2\pi)^{-n}\int|\xi|^2|\hat u|^2=\|\nabla u\|_2^2$ です。

∎

$s=1$ の結果は前章の 定理 4.3［Sobolev 空間］（$p=2$）と同じですが、こちらは $s$ が分数でもよく、$n=1,2$ でも $s\lt n/2$ なら使えます。最良定数は Aubin と Talenti（1976）により求められ、最大化関数は $(1+|x|^2)^{-(n-2)/2}$ です（Lieb の HLS 最良定数から $s=1$ の場合も出ます）。$s=n/2$ は臨界で、$\|u\|_\infty\le C\|u\|_{\dot H^{n/2}}$ は成り立ちません（前章 演習 10.3［Sobolev 空間］）。

6.3. 離散版

格子場の理論では、$\mathbb{Z}^d$ 上の関数 $u$ と差分 $\nabla_iu(x)=u(x+e_i)-u(x)$ についての評価が要ります。$\|u\|_p=(\sum_{x\in\mathbb{Z}^d}|u(x)|^p)^{1/p}$ とし、$\|\nabla u\|_p^p=\sum_x\sum_i|\nabla_iu(x)|^p$ とします。

定理 6.3（離散 Sobolev 不等式）✓

$d\ge3$ とする。有限台の $u:\mathbb{Z}^d\to\mathbb{C}$ について

$$\|u\|_{2d/(d-2)}\le C_d\,\|\nabla u\|_2 .$$

また $\ell^p(\mathbb{Z}^d)\subset\ell^q(\mathbb{Z}^d)$（$p\le q$）で $\|u\|_q\le\|u\|_p$。

証明（定理 6.3）

$p=1$ 版. 各 $i$ で $u(x)=-\sum_{k\ge0}\nabla_iu(x+ke_i)$（有限台）なので $|u(x)|\le g_i(\hat x_i)=\sum_{t\in\mathbb{Z}}|\nabla_iu(x_1,\ldots,t,\ldots,x_d)|$ です。前章の Gagliardo の補題（補題 4.2［Sobolev 空間］）の証明は Tonelli の定理と Hölder の不等式しか使わないので、数え上げ測度でもそのまま成り立ち、$\|u\|_{d/(d-1)}\le\prod_i\|\nabla_iu\|_1^{1/d}\le\sum_i\|\nabla_iu\|_1$ です。

$p=2$ 版. $\gamma=\frac{2(d-1)}{d-2}$ とし、$v=|u|^\gamma$ に $p=1$ 版を使います。平均値の定理から $\bigl||a|^\gamma-|b|^\gamma\bigr|\le\gamma(|a|^{\gamma-1}+|b|^{\gamma-1})|a-b|$ なので

$$\|u\|_{\gamma d/(d-1)}^\gamma\le\gamma\sum_i\sum_x\bigl(|u(x+e_i)|^{\gamma-1}+|u(x)|^{\gamma-1}\bigr)|\nabla_iu(x)|\le2\gamma\sqrt d\,\|u\|_{2(\gamma-1)}^{\gamma-1}\|\nabla u\|_2$$

（Cauchy–Schwarz）。$\gamma d/(d-1)=2(\gamma-1)=\frac{2d}{d-2}$ なので、割って結論を得ます。包含 $\ell^p\subset\ell^q$ は、$\|u\|_p\le1$ なら各 $|u(x)|\le1$ で $|u(x)|^q\le|u(x)|^p$ となることから出ます。

∎

離散と連続の違いは包含の向きに現れます。$\mathbb{R}^n$ では $L^p$ どうしに包含関係はありませんが（局所的な特異性と無限遠の減衰が別々に効く）、$\mathbb{Z}^d$ には局所的な特異性がないので $\ell^p$ は $p$ について単調に増えます。離散 Sobolev 不等式の内容は「無限遠での減衰」の部分だけで、$d\ge3$ で格子 Laplacian の Green 関数 $(-\Delta)^{-1}(x,y)$ が有界になることと同値な情報です。

7. Hilbert の不等式と Schur の判定法

補題 7.1（Schur の判定法）✓

$K:X\times Y\to[0,\infty)$ を可測とする。正の可測関数 $h_1$（$X$ 上）、$h_2$（$Y$ 上）と定数 $C_1,C_2$ が

$$\int_YK(x,y)h_2(y)^2\,d\nu(y)\le C_1h_1(x)^2,\qquad\int_XK(x,y)h_1(x)^2\,d\mu(x)\le C_2h_2(y)^2$$

を満たすならば、$\bigl|\iint K(x,y)f(x)g(y)\,d\mu\,d\nu\bigr|\le\sqrt{C_1C_2}\,\|f\|_2\|g\|_2$。

証明（補題 7.1）

$K|fg|=\bigl(K^{1/2}|f(x)|\frac{h_2(y)}{h_1(x)}\bigr)\bigl(K^{1/2}|g(y)|\frac{h_1(x)}{h_2(y)}\bigr)$ と分けて Cauchy–Schwarz の不等式を使うと、

$$\iint K|fg|\le\Bigl(\int|f(x)|^2h_1(x)^{-2}\int Kh_2^2\,d\nu\,d\mu\Bigr)^{1/2}\Bigl(\int|g(y)|^2h_2(y)^{-2}\int Kh_1^2\,d\mu\,d\nu\Bigr)^{1/2}\le\sqrt{C_1C_2}\|f\|_2\|g\|_2$$

です（Tonelli の定理）。

∎

定理 7.2（Hilbert の不等式）✓

$a=(a_m)_{m\ge1}$、$b=(b_n)_{n\ge1}\in\ell^2$ について

$$\Bigl|\sum_{m,n\ge1}\frac{a_mb_n}{m+n}\Bigr|\le\pi\|a\|_2\|b\|_2 ,$$

定数 $\pi$ は最良である。連続版として、$f,g\in L^2(0,\infty)$ について $\bigl|\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty\frac{f(x)g(y)}{x+y}dxdy\bigr|\le\pi\|f\|_2\|g\|_2$。

証明（定理 7.2）

補題 7.1 を数え上げ測度、$K(m,n)=\frac1{m+n}$、$h_1(m)=m^{-1/4}$、$h_2(n)=n^{-1/4}$ に使います。$x\mapsto\frac{x^{-1/2}}{m+x}$ は $(0,\infty)$ で減少なので、和を積分で上から抑えて

$$\sum_{n\ge1}K(m,n)h_2(n)^2=\sum_{n\ge1}\frac{n^{-1/2}}{m+n}\le\int_0^\infty\frac{x^{-1/2}}{m+x}dx=m^{-1/2}\int_0^\infty\frac{t^{-1/2}}{1+t}dt=\pi\,h_1(m)^2$$

です（$t=x/m$、最後の積分は $t=u^2$ で $2\int_0^\infty\frac{du}{1+u^2}=\pi$）。$K$ は対称なので $C_2=\pi$ も同様で、Schur の判定法から定数 $\pi$ を得ます。連続版は同じ計算で和を積分に替えたもの（等号つきで $\int_0^\infty\frac{y^{-1/2}}{x+y}dy=\pi x^{-1/2}$）です。最良性は 命題 8.2 で示します。

∎

なお $h_1^2=m^{-1/2}$ という冪は、核 $\frac1{m+n}$ が $-1$ 次の斉次（変数を $t$ 倍すると $t^{-1}$ 倍になる）であることから、和を積分に替えたとき両辺の冪がそろう指数として選ばれています。

連続版の核 $\frac1{x+y}$ は $-1$ 次の斉次関数で、Mellin 変換で対角化されます。最良定数 $\pi=\int_0^\infty\frac{t^{-1/2}}{1+t}dt$ は核の Mellin 変換の $\mathrm{Re}=1/2$ 上での最大値で、これは次々章 Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理 で一般の斉次核作用素のノルム公式として扱います。

8. 演習

演習 8.1標準

$0\lt\alpha\lt n$ とする。(a) $I_\alpha$ は $L^1\to L^{n/(n-\alpha)}$ の強型ではないことを示せ。(b) 弱型 $(1,\frac n{n-\alpha})$ であることを示せ。

解答

(a) $\phi\ge0$、$\int\phi=1$ の $C_c^\infty$ 関数を取り $\phi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\phi(x/\varepsilon)$ とすると $\|\phi_\varepsilon\|_1=1$ で、$I_\alpha\phi_\varepsilon\to|x|^{\alpha-n}$ が $x\ne0$ で各点収束します。強型なら Fatou の補題から $\||x|^{\alpha-n}\|_{n/(n-\alpha)}\le C$ ですが、$|x|^{-n}$ は可積分でないので矛盾です。

(b) $\|f\|_1=1$ とし、$R\gt0$ で核を $K_1=|x|^{\alpha-n}\mathbf{1}_{|x|\lt R}$ と $K_\infty=|x|^{\alpha-n}\mathbf{1}_{|x|\ge R}$ に分けます。$|K_\infty*f|\le R^{\alpha-n}$ なので、$R^{\alpha-n}=\lambda/2$ と選ぶと $\{|I_\alpha f|\gt\lambda\}\subset\{|K_1*f|\gt\lambda/2\}$ で、Chebyshev の不等式と $\|K_1*f\|_1\le\|K_1\|_1=CR^\alpha$ から測度は $\le2CR^\alpha/\lambda=C'\lambda^{-n/(n-\alpha)}$ です。

命題 8.2（Hilbert の不等式の定数 π は最良）✓

$a_m=m^{-1/2-\varepsilon}$（$\varepsilon\gt0$）とすると、$\varepsilon\downarrow0$ のとき $\liminf\ \sum_{m,n}\frac{a_ma_n}{m+n}\Big/\|a\|_2^2\ge\pi$ である。したがって 定理 7.2 の定数 $\pi$ は小さくできない。

証明（命題 8.2）

$\|a\|_2^2=\sum_mm^{-1-2\varepsilon}\ge\int_1^\infty x^{-1-2\varepsilon}dx=\frac1{2\varepsilon}$ で、$\sum_mm^{-1-2\varepsilon}=\frac1{2\varepsilon}+O(1)$ です。$m$ を固定すると、被積分関数が減少なので $\sum_n\frac{n^{-1/2-\varepsilon}}{m+n}\ge\int_1^\infty\frac{x^{-1/2-\varepsilon}}{m+x}dx=m^{-1/2-\varepsilon}\int_{1/m}^\infty\frac{t^{-1/2-\varepsilon}}{1+t}dt$ で、$\int_{1/m}^\infty\ge I_\varepsilon-\int_0^{1/m}t^{-1/2-\varepsilon}dt=I_\varepsilon-\frac{m^{-1/2+\varepsilon}}{1/2-\varepsilon}$、ここで $I_\varepsilon=\int_0^\infty\frac{t^{-1/2-\varepsilon}}{1+t}dt$ です。$\varepsilon\lt1/4$ では被積分関数が $(0,1)$ で $t^{-3/4}$、$(1,\infty)$ で $t^{-3/2}$ 以下なので、優収束定理により $I_\varepsilon\to\int_0^\infty\frac{t^{-1/2}}{1+t}dt=\pi$ です（$t=u^2$ とおくと $2\int_0^\infty\frac{du}{1+u^2}=\pi$）。よって左辺 $\ge I_\varepsilon\sum_mm^{-1-2\varepsilon}-C\sum_mm^{-3/2}$ で、$\|a\|_2^2$ で割ると下極限は $\pi$ 以上になります。

∎

演習 8.3標準

$a_m=b_m=m^{-1/2-\varepsilon}$（$\varepsilon\gt0$）として $\sum_{m,n}\frac{a_mb_n}{m+n}\Big/\|a\|_2^2\to\pi$（$\varepsilon\downarrow0$）を示し、定理 7.2 の定数 $\pi$ が最良であることを確かめよ。

解答

$\|a\|_2^2=\sum_mm^{-1-2\varepsilon}=\frac1{2\varepsilon}+O(1)$ です。$m$ を固定すると、$\sum_n\frac{n^{-1/2-\varepsilon}}{m+n}\ge\int_1^\infty\frac{x^{-1/2-\varepsilon}}{m+x}dx=m^{-1/2-\varepsilon}\int_{1/m}^\infty\frac{t^{-1/2-\varepsilon}}{1+t}dt$（被積分関数は減少）で、$\int_{1/m}^\infty\ge\int_0^\infty-\int_0^{1/m}t^{-1/2-\varepsilon}dt\ge I_\varepsilon-\frac{m^{-1/2+\varepsilon}}{1/2-\varepsilon}$、$I_\varepsilon=\int_0^\infty\frac{t^{-1/2-\varepsilon}}{1+t}dt\to\pi$ です。よって左辺 $\ge I_\varepsilon\sum_mm^{-1-2\varepsilon}-C\sum_mm^{-3/2}$ で、$\|a\|_2^2$ で割ると $\varepsilon\downarrow0$ で下極限が $\pi$ 以上になります。

演習 8.4易

$[f+g]_{p,\infty}\le2\bigl([f]_{p,\infty}+[g]_{p,\infty}\bigr)$ を示せ。また $\mathbb{R}$ 上で $f=|x|^{-1}$、$g=|x-1|^{-1}$ について $[f+g]_{1,\infty}\gt[f]_{1,\infty}+[g]_{1,\infty}$ を示し、$[\cdot]_{1,\infty}$ がノルムでないことを確かめよ。

解答

$\{|f+g|\gt\lambda\}\subset\{|f|\gt\lambda/2\}\cup\{|g|\gt\lambda/2\}$ なので $d_{f+g}(\lambda)\le d_f(\lambda/2)+d_g(\lambda/2)$、よって $\lambda d_{f+g}(\lambda)^{1/p}\le\lambda(d_f(\lambda/2)+d_g(\lambda/2))^{1/p}\le2([f]+[g])$（$(a+b)^{1/p}\le a^{1/p}+b^{1/p}$）です。

$d_f(\lambda)=2/\lambda$ なので $[f]_{1,\infty}=[g]_{1,\infty}=2$ です。$\lambda=4$ とすると、$(0,1)$ 上では $f+g=\frac1{x(1-x)}\ge4$（等号は $x=1/2$ のみ）、$x\gt1$ では $\frac1x+\frac1{x-1}\gt4$ が $1\lt x\lt\frac{3+\sqrt5}4$ と同値、$x\lt0$ でも対称です。よって $d_{f+g}(4)=1+2\cdot\frac{\sqrt5-1}4=\frac{1+\sqrt5}2$ で、$[f+g]_{1,\infty}\ge4\cdot\frac{1+\sqrt5}2\approx6.47\gt4$ です。

参考文献

• E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971 — 第 V 章（Riesz–Thorin・Marcinkiewicz）。
• L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, 3rd ed., Springer, 2014 — 第 1 章（補間）、第 2 章（極大関数）、第 1.4 節（弱 Lᵖ）。
• E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 1970 — 第 I 章（極大関数）、第 V 章（Riesz ポテンシャルと HLS）。
• E. H. Lieb, M. Loss, Analysis, 2nd ed., American Mathematical Society, 2001 — 第 4 章（HLS 不等式と最良定数）、第 5 章（Riesz ポテンシャルの Fourier 変換）。
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, 2nd ed., Cambridge University Press, 1952 — 第 IX 章（Hilbert の不等式）。
• L. I. Hedberg, “On certain convolution inequalities”, Proc. Amer. Math. Soc. 36 (1972), 505–510.