分布関数と弱 Lᵖ

可測関数 $f$ について $d_f(\lambda)=\mu(\{|f|\gt\lambda\})$（$\lambda\gt0$）を分布関数という。$1\le p\lt\infty$ について

が有限な $f$ の全体を弱 $L^p$（$L^{p,\infty}$）という。作用素 $T$ が弱型 $(p,q)$ であるとは、$[Tf]_{q,\infty}\le A\|f\|_p$ となることをいい、強型 $(p,q)$ は $\|Tf\|_q\le A\|f\|_p$ をいう。$q=\infty$ の弱型は強型と同じものとする。