Riesz–Thorin の補間定理

定理 3.1（「補間と古典的不等式」§3）・ ✓公理まで証明済み

$1\le p_0,p_1,q_0,q_1\le\infty$ とする。 $T$ を、 $X$ 上の測度有限な台をもつ単関数の空間から $Y$ 上の可測関数（測度有限な集合上で可積分）への線形写像で、

\|Tf\|_{q_0}\le M_0\|f\|_{p_0},\qquad\|Tf\|_{q_1}\le M_1\|f\|_{p_1}

を満たすとする。 $0\lt\theta\lt1$ について $\frac1p=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac\theta{p_1}$ 、 $\frac1q=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac\theta{q_1}$ とおくと、すべての単関数 $f$ で

\|Tf\|_q\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}\|f\|_p .

したがって $p\lt\infty$ なら、 $T$ は $L^p\to L^q$ の有界作用素に一意に延び、ノルムは $M_0^{1-\theta}M_1^\theta$ 以下である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 41 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

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