数学 › 複素関数論 › 最大値原理の一般化と正則関数族

Hadamard の三線定理

定理 5.4（「最大値原理の一般化と正則関数族」§5）・ ✓公理まで証明済み

$f$ を $\overline{S}$ 上の有界な連続関数で $S$ 上正則とし、 $M_0=\sup_y|f(iy)|$ 、 $M_1=\sup_y|f(1+iy)|$ とおく。このとき $0\le x\le1$ について

|f(x+iy)|\le M_0^{\,1-x}M_1^{\,x}\qquad(y\in\mathbb{R})

が成り立つ。すなわち $M(x)=\sup_y|f(x+iy)|$ について $\log M(x)$ は $[0,1]$ 上で凸である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 35 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Phragmén–Lindelöf の定理（帯領域）✓定理 5.1・最大値原理の一般化と正則関数族
- 境界値による最大値原理✓定理 3.1・最大値原理の一般化と正則関数族
  - 最大値原理✓定理 7.7・正則関数の強力な性質
    ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
    絶対値が定数の正則関数は定数✓命題 7.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数は小さな部分で決まる✓系 7.4・正則関数の強力な性質この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Hadamard の三円定理✓系 5.6・最大値原理の一般化と正則関数族
Riesz–Thorin の補間定理✓定理 3.1・補間と古典的不等式
Heinz–Kato の不等式✓定理 4.1・作用素不等式と積分作用素

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