Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式

定理 5.2（「補間と古典的不等式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$0\lt\alpha\lt n$ 、 $1\lt p\lt n/\alpha$ 、 $\frac1q=\frac1p-\frac\alpha n$ とする。 $\|I_\alpha f\|_q\le C\|f\|_p$ 。同値な形として、 $0\lt\lambda\lt n$ 、 $1\lt p,r\lt\infty$ 、 $\frac1p+\frac1r+\frac\lambda n=2$ ならば

\Bigl|\iint_{\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n}\frac{f(x)\,g(y)}{|x-y|^\lambda}\,dx\,dy\Bigr|\le C\|f\|_p\|g\|_r .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 26 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hedberg の評価✓補題 5.1・補間と古典的不等式
極大関数の有界性✓定理 4.4・補間と古典的不等式
- 有限 Vitali 被覆補題✓補題 4.3・補間と古典的不等式
- Marcinkiewicz の補間定理✓定理 4.1・補間と古典的不等式
  - 層状表示と Chebyshev の不等式✓補題 2.2・補間と古典的不等式
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Sobolev 不等式（臨界指数）✓定理 6.2・補間と古典的不等式

Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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関連するノック 2 問

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