直積測度と Fubini–Tonelli の定理：積分の順序交換と無限直積

0. この記事の要点

縦横に並んだ数表の合計を求めるとき、「行ごとに足してから全部足す」と「列ごとに足してから全部足す」で答えが変わってほしくありません。ところが無限に続く表や、連続的に広がる量では、この二通りの足し方が一致するとは限りません。この記事は、どんなときに足す順序を入れ替えてよいかを調べ、その条件を使って「二つの空間を掛け合わせた空間」の上で面積や体積の測り方を作ります。読み終えると、積分の順序交換を、条件を確かめて自信をもって使えるようになります。

• 2 変数関数の積分 $\iint f(x,y)\,dx\,dy$ を「先に $y$ で、次に $x$ で」積分してよいか、順序を入れ替えてよいか。リーマン積分では連続性などの条件が必要でしたが、ルベーグ積分では非負なら無条件に、可積分なら絶対可積分を確かめるだけで入れ替えられます。これが Tonelli の定理と Fubini の定理です。
• 舞台は、二つの測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$、$(Y,\mathcal{N},\nu)$ の直積 $(X\times Y,\ \mathcal{M}\otimes\mathcal{N},\ \mu\times\nu)$ です。$\mu,\nu$ が $\sigma$-有限なら、長方形 $A\times B$ に $\mu(A)\nu(B)$ を与える測度 $\mu\times\nu$ はただ一つ存在します。存在は切断の測度の積分 $\int \nu(E_x)\,d\mu(x)$ で定義して示し、一意性は 測度空間と Carathéodory の拡張定理 の π-λ 定理で示します。
• σ-有限性と可積分性は外せません。非 σ-有限な反例（ルベーグ測度×数え上げ測度）と、可積分でない関数の反例（$\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ の二つの累次積分が $\pm\pi/4$）を確かめます。
• 応用として、層ケーキ公式（関数の積分を、値が $t$ を超える部分の測度を $t$ で積分した形に書き直す式）、ガウス積分、畳み込み $f*g$ の $L^1$ ノルム評価と近似単位元（質量を一点に集中させていく関数の族のこと）による近似を示します。
• 最後に、可算個の確率空間の無限直積測度（無限回のコイン投げなど）を、Carathéodory の拡張定理と Fubini の定理だけで構成します。これが独立確率変数列の存在の根拠で、ガウス測度・Wiener 測度の構成の土台です。

この記事で使う事前知識

• 測度と前測度: 測度は集合に「大きさ」を与える対応で、互いに素な可算個の集合の和の大きさが、それぞれの大きさの和になるもの。前測度は、集合の代数の上でその性質をもつもの。
• σ-有限: 全体が、測度が有限な集合の可算個の和で覆える、という性質。→ 測度空間と Carathéodory の拡張定理
• Carathéodory の拡張定理: 代数の上の前測度を、σ-加法族の上の測度に延ばせる（前測度が σ-有限ならただ一通り）という定理。→ 測度空間と Carathéodory の拡張定理
• π-λ 定理: 積について閉じた族（π-系）で生成される σ-加法族の上では、測度の一致を π-系の上で確かめれば足りる（有限測度など σ-有限性の条件のもとで）、という道具。→ 測度空間と Carathéodory の拡張定理
• ほとんど至るところ（a.e.）: 零集合を除いて成り立つこと。
• 優収束定理: 関数列が可積分な関数で押さえられていれば、極限と積分を交換できる、という定理。→ ルベーグ積分の定義と収束定理

1. 動機 — 累次積分は交換できるか

微分積分学では、長方形上の連続関数 $f$ に対して

$$\int_a^b\Bigl(\int_c^d f(x,y)\,dy\Bigr)dx=\int_c^d\Bigl(\int_a^b f(x,y)\,dx\Bigr)dy$$

が成り立つ、という形で積分の順序交換を使いました。しかし解析学の多くの場面では、被積分関数は連続でなく（たとえば特性関数）、領域は長方形でなく、積分も区間でなく測度空間の上です。

• 確率論：$E[XY]$ を、$(X, Y)$ の同時分布から $\iint xy\,P_{(X,Y)}(dx\,dy)$ と書き、独立なら $E[X]E[Y]$ と分解する。
• 級数：$\sum_m\sum_n a_{mn}=\sum_n\sum_m a_{mn}$。数え上げ測度に関する積分の入れ替えと見る。
• 畳み込み：$(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)\,dy$ の $L^1$ ノルムの評価。

条件なしには交換できないことは、次の二重級数でわかります。$a_{mm}=1$、$a_{m,m+1}=-1$、その他 $0$ とすると、$\sum_n a_{mn}=0$ なのに $\sum_m a_{m1}=1$ なので、$\sum_m\sum_n a_{mn}=0\neq1=\sum_n\sum_m a_{mn}$。何が交換を許す条件なのか。ルベーグ積分の答えは明快で、「非負、または絶対可積分」です。以下、その理論を証明つきで組み立てます。

2. 直積可測空間

定義 2.1（直積 σ-加法族）↗

$(X,\mathcal{M})$、$(Y,\mathcal{N})$ を可測空間とする。$A\in\mathcal{M}$、$B\in\mathcal{N}$ に対する $A\times B\subset X\times Y$ を可測長方形という。可測長方形全体で生成される $X\times Y$ の σ-加法族を $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ と書き、直積 σ-加法族という。$E\subset X\times Y$ と $x\in X$、$y\in Y$ に対し、切断を $E_x=\{y\in Y\mid(x,y)\in E\}$、$E^{y}=\{x\in X\mid(x,y)\in E\}$ で定める。関数 $f$ には $f_x(y)=f(x,y)$、$f^{y}(x)=f(x,y)$ と書く。

可測長方形全体は π-系です：$(A\times B)\cap(A'\times B')=(A\cap A')\times(B\cap B')$。

命題 2.2（切断の可測性）✓

$E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ ならば、すべての $x\in X$ で $E_x\in\mathcal{N}$、すべての $y\in Y$ で $E^{y}\in\mathcal{M}$。$f:X\times Y\to\overline{\mathbb{R}}$ が $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$-可測ならば、$f_x$ は $\mathcal{N}$-可測、$f^{y}$ は $\mathcal{M}$-可測である。

証明（命題 2.2）

$x$ を固定し、$\mathcal{G}=\{E\subset X\times Y\mid E_x\in\mathcal{N}\}$ とおく。$(A\times B)_x$ は $x\in A$ なら $B$、そうでなければ $\emptyset$ だから、可測長方形は $\mathcal{G}$ に属する。$(E^{c})_x=(E_x)^{c}$、$(\bigcup E_n)_x=\bigcup (E_n)_x$ だから $\mathcal{G}$ は σ-加法族であり、$\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\subset\mathcal{G}$。関数については、$f_x^{-1}(S)=(f^{-1}(S))_x$ から従う。$E^{y}$、$f^{y}$ も同様。

∎

命題 2.3（ボレル集合族の直積）✓

$\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)=\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R})$ である。同様に $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})=\mathcal{B}(\mathbb{R})^{\otimes n}$。

証明（命題 2.3）

($\supset$) 射影 $\pi_1(x,y)=x$ は連続である。$\{A\subset\mathbb{R}\mid\pi_1^{-1}(A)\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\}$ は σ-加法族で、開集合を含む（連続写像による開集合の逆像は開）から、ボレル集合を含む。したがって $A\times\mathbb{R}$、同様に $\mathbb{R}\times B$ はボレル集合で、$A\times B=(A\times\mathbb{R})\cap(\mathbb{R}\times B)$ もボレル集合。($\subset$) $\mathbb{R}^2$ の開集合 $U$ は、$U$ に含まれる有理数端点の開長方形 $(a,b)\times(c,d)$ の可算和である（各点 $p\in U$ について、$p$ を含む有理数端点の開長方形で $U$ に含まれるものがとれる）。開長方形は可測長方形だから $U\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R})$。

∎

以降 $\mathbb{R}^2$ 上の連続関数 $(x,y)\mapsto x-y$ などとボレル関数との合成は $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)=\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}$-可測です（開集合の逆像が開集合であることから従います）。

3. 直積測度と Tonelli・Fubini の定理

次の補題は、直積測度を「切り口の測度を積分する」ことで定義するための準備です。切り口の測度 $\nu(E_x)$ が $x$ の関数として可測でなければ、それを積分できないからです。まず有限測度の場合に、可測長方形から出発して全体へ広げ、最後に σ-有限へ移ります。

補題 3.1（切断の測度の可測性）✓

$(X,\mathcal{M},\mu)$、$(Y,\mathcal{N},\nu)$ を $\sigma$-有限な測度空間とする。$E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ ならば、$x\mapsto\nu(E_x)$ は $\mathcal{M}$-可測、$y\mapsto\mu(E^{y})$ は $\mathcal{N}$-可測である。

証明（補題 3.1）

まず $\nu$ が有限測度のとき、$\mathcal{L}=\{E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\mid x\mapsto\nu(E_x)\text{ は可測}\}$ が λ-系であることを示す。$X\times Y\in\mathcal{L}$（$\nu(Y)$ は定数）。$E\in\mathcal{L}$ なら $\nu((E^{c})_x)=\nu(Y)-\nu(E_x)$ が可測。互いに素な $E_n\in\mathcal{L}$ なら $\nu((\bigsqcup E_n)_x)=\sum_n\nu((E_n)_x)$ は可測関数の級数の和で可測（命題 3.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）。可測長方形は $\nu((A\times B)_x)=\nu(B)\mathbf{1}_A(x)$ で $\mathcal{L}$ に属し、π-系だから、定理 4.4［測度空間と Carathéodory の拡張定理］ により $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}\subset\mathcal{L}$。

一般の σ-有限 $\nu$ では、$Y=\bigcup_k Y_k$（$Y_k$ は増加、$\nu(Y_k)<\infty$）とし、$\nu_k(B)=\nu(B\cap Y_k)$ は有限測度である。上により $x\mapsto\nu_k(E_x)$ は可測で、下からの連続性（命題 2.3［測度空間と Carathéodory の拡張定理］ (3)）から $\nu(E_x)=\lim_k\nu_k(E_x)$ も可測。

∎

定理 3.2（直積測度の存在と一意性）✓

$(X,\mathcal{M},\mu)$、$(Y,\mathcal{N},\nu)$ を $\sigma$-有限な測度空間とする。このとき $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ 上の測度 $\mu\times\nu$ で、すべての可測長方形で

$$(\mu\times\nu)(A\times B)=\mu(A)\,\nu(B)\qquad(\text{ただし }0\cdot\infty=0)$$

を満たすものがただ一つ存在する。さらに、すべての $E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ について

$$(\mu\times\nu)(E)=\int_X\nu(E_x)\,d\mu(x)=\int_Y\mu(E^{y})\,d\nu(y)$$

が成り立つ。

証明（定理 3.2）

(存在) 補題 3.1 により $\lambda(E)=\int_X\nu(E_x)\,d\mu(x)$ は定義できる。$\lambda(\emptyset)=0$。互いに素な $E_n\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ について $\nu((\bigsqcup E_n)_x)=\sum_n\nu((E_n)_x)$ であり、非負可測関数の項別積分（系 5.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］ (2)）により $\lambda(\bigsqcup E_n)=\sum_n\lambda(E_n)$。よって $\lambda$ は測度で、$\lambda(A\times B)=\int\nu(B)\mathbf{1}_A\,d\mu=\mu(A)\nu(B)$。同様に $\lambda'(E)=\int_Y\mu(E^{y})\,d\nu(y)$ も長方形で同じ値をとる測度である。

(一意性と二つの式の一致) $X=\bigcup X_n$、$Y=\bigcup Y_n$（$X_n,Y_n$ は増加、$\mu(X_n),\nu(Y_n)<\infty$）とすると、$E_n=X_n\times Y_n$ は可測長方形で増加し、$\bigcup E_n=X\times Y$、$\lambda(E_n)=\mu(X_n)\nu(Y_n)<\infty$。長方形全体は π-系で $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ を生成するから、定理 4.5［測度空間と Carathéodory の拡張定理］ により、長方形上で $\mu(A)\nu(B)$ となる測度は $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ 上でただ一つ。したがって $\lambda=\lambda'$ がその測度であり、$\mu\times\nu$ と定める。

∎

定理 3.3（Tonelli の定理）✓

$(X,\mathcal{M},\mu)$、$(Y,\mathcal{N},\nu)$ を $\sigma$-有限な測度空間、$f:X\times Y\to[0,\infty]$ を $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$-可測とする。このとき $x\mapsto\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)$ は $\mathcal{M}$-可測、$y\mapsto\int_X f(x,y)\,d\mu(x)$ は $\mathcal{N}$-可測で

$$\int_{X\times Y}f\,d(\mu\times\nu)=\int_X\Bigl(\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\Bigr)d\mu(x)=\int_Y\Bigl(\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\Bigr)d\nu(y)$$

が成り立つ（値は $+\infty$ でもよい）。

証明（定理 3.3）

$f=\mathbf{1}_E$（$E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$）のときは 定理 3.2 そのもの：$\int_Y\mathbf{1}_E(x,y)\,d\nu(y)=\nu(E_x)$ である。非負係数の有限一次結合（単関数）では、積分の線型性（系 5.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］ (1)）から従う。一般の $f$ は、定理 3.7［ルベーグ積分の定義と収束定理］ の単関数 $0\le s_1\le s_2\le\cdots\uparrow f$（各 $s_n$ は $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$-可測な単関数）をとる。$s_n$ について三つの等式が成り立ち、各 $x$ で $s_n(x,\cdot)\uparrow f(x,\cdot)$ だから単調収束定理（定理 5.2［ルベーグ積分の定義と収束定理］）により $\int_Y s_n(x,y)\,d\nu\uparrow\int_Y f(x,y)\,d\nu$。左辺の関数は可測な関数の増加極限だから可測（命題 3.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）。再び単調収束定理を $x$ について、および $\mu\times\nu$ について適用すると、三つの量の $n\to\infty$ の極限がそれぞれ三つの積分になる。

∎

可測集合 E の切断。縦の太線が E_x（x を固定して y 方向に切った断面）、横の細線が E^y。測度 μ×ν(E) は、断面の測度 ν(E_x) を x で積分したものであり、E^y について μ(E^y) を y で積分しても同じ値になる。

定理 3.4（Fubini の定理）✓

$(X,\mathcal{M},\mu)$、$(Y,\mathcal{N},\nu)$ を $\sigma$-有限な測度空間とし、$f:X\times Y\to\mathbb{C}$（または $\mathbb{R}$）を $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$-可測で $\int|f|\,d(\mu\times\nu)<\infty$ とする。このとき

1. $\mu$-ほとんどすべての $x$ で $f_x\in L^1(\nu)$、$\nu$-ほとんどすべての $y$ で $f^{y}\in L^1(\mu)$。
2. $g(x)=\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)$（上の例外集合では $0$ と定める）は $L^1(\mu)$ に、$h(y)=\int_X f(x,y)\,d\mu(x)$ は $L^1(\nu)$ に属する。
3. $\displaystyle\int_{X\times Y}f\,d(\mu\times\nu)=\int_X g\,d\mu=\int_Y h\,d\nu$。

証明（定理 3.4）

$f$ が実数値のときに示す（複素数値は実部・虚部に分けて足せばよい）。$f=f^{+}-f^{-}$ とする。

定理 3.3 を $|f|$ に適用すると $\int_X\bigl(\int_Y|f(x,y)|\,d\nu\bigr)d\mu=\int|f|\,d(\mu\times\nu)<\infty$。可測関数 $H(x)=\int_Y|f_x|\,d\nu$ の積分が有限だから $H<\infty$ $\mu$-a.e.（命題 6.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］ (3)）、すなわち $N=\{H=\infty\}$ は零集合で、$x\notin N$ で $f_x\in L^1(\nu)$。これが (1) の前半で、後半も同様。

$G^{\pm}(x)=\int_Y f^{\pm}_x\,d\nu$ は 定理 3.3 により可測で $\int_X G^{\pm}\,d\mu=\int f^{\pm}\,d(\mu\times\nu)<\infty$。$x\notin N$ では $G^{\pm}(x)\le H(x)<\infty$ で、$g(x)=G^{+}(x)-G^{-}(x)$。$g$ は可測で $|g|\le G^{+}+G^{-}$ だから $g\in L^1(\mu)$、かつ

$$\int_X g\,d\mu=\int_X G^{+}\,d\mu-\int_X G^{-}\,d\mu=\int f^{+}\,d(\mu\times\nu)-\int f^{-}\,d(\mu\times\nu)=\int f\,d(\mu\times\nu).$$

$h$ についても同様で、(2)(3) を得る。

∎

次の例の (a) では、図のように対角線 $D$ を縦に切ると 1 点、横に切っても 1 点ですが、測り方（数え上げ測度とルベーグ測度）が異なるため、先に測る方向で答えが変わります。

正方形 [0,1]×[0,1] の対角線 D。x を固定した縦の断面は 1 点 {x} で、数え上げ測度では 1。y を固定した横の断面も 1 点 {y} だが、ルベーグ測度では 0。

例 3.5（仮定が外れると順序交換は壊れる）

(a) σ-有限でない場合。 $X=Y=[0,1]$、$\mu=m$（ルベーグ測度のボレル集合への制限）、$\nu$ を数え上げ測度（$\sigma$-有限でない）とし、$D=\{(x,x)\mid x\in[0,1]\}$ とする。$D$ は $(x,y)\mapsto x-y$ の連続性により閉集合で、命題 2.3 から $\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}$ に属する。ところが

$$\int_X\Bigl(\int_Y\mathbf{1}_D\,d\nu\Bigr)d\mu=\int_0^1 1\,dm=1,\qquad\int_Y\Bigl(\int_X\mathbf{1}_D\,d\mu\Bigr)d\nu=\int_Y 0\,d\nu=0.$$

（各 $x$ で $\{y\mid(x,y)\in D\}=\{x\}$ の数え上げ測度は $1$。各 $y$ で $\{x\mid(x,y)\in D\}=\{y\}$ のルベーグ測度は $0$。）Tonelli の定理の等式が破れる。

(b) 可積分でない場合。 $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ を $(0,1)^2$ 上で考える。$\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{y}{x^2+y^2}=\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ だから $\int_0^1 f(x,y)\,dy=\dfrac{1}{1+x^2}$ であり、$\int_0^1\!\int_0^1 f\,dy\,dx=\int_0^1\dfrac{dx}{1+x^2}=\dfrac{\pi}{4}$。$f(y,x)=-f(x,y)$ だから順序を変えると $-\dfrac{\pi}{4}$。定理 3.3 により $\int|f|\,d(m\times m)=\infty$（もし有限なら 定理 3.4 で二つの累次積分が一致するはず）。

4. 応用

例 4.1（層ケーキ公式）

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を $\sigma$-有限な測度空間、$f:X\to[0,\infty)$ を可測とする。このとき

$$\int_X f\,d\mu=\int_0^{\infty}\mu(\{f>t\})\,dt .$$

$E=\{(x,t)\mid 0\le t<f(x)\}$ は $\mathcal{M}\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R})$ に属する（$(x,t)\mapsto f(x)-t$ は可測。命題 3.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］ (3)）。$\mathbf{1}_E(x,t)$ を $t\in[0,\infty)$ で積分すると $f(x)$、$x$ で積分すると $\mu(\{f>t\})$ だから、定理 3.3（ルベーグ測度は $\sigma$-有限）により等式を得る。この公式は、確率変数 $X\ge0$ について $E[X]=\int_0^\infty P(X>t)\,dt$ を与え、関数 $f$ の積分を「$f$ の優位集合の測度の積分」で書く見方（注意 5.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）の証明になる。

例 4.2（ガウス積分）

$I=\int_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx$ とすると $I=\sqrt{\pi}/2$ である。$0<I<\infty$ は $e^{-x^2}\le e^{-x}$（$x\ge1$）などから明らか。$y>0$ を固定し、$x=sy$ と置換すると $I=\int_0^\infty e^{-s^2y^2}y\,ds$。ゆえに

$$I^2=\int_0^\infty e^{-y^2}\Bigl(\int_0^\infty e^{-s^2y^2}y\,ds\Bigr)dy=\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty y\,e^{-y^2(1+s^2)}\,ds\,dy .$$

被積分関数は非負連続だから、Tonelli で積分順序を交換できる。$y$ で先に積分すると $\int_0^\infty y\,e^{-y^2(1+s^2)}dy=\dfrac{1}{2(1+s^2)}$ だから $I^2=\int_0^\infty\dfrac{ds}{2(1+s^2)}=\dfrac{\pi}{4}$。極座標を使わず、順序交換だけでガウス積分が求まる。

5. 畳み込みと近似単位元

畳み込みは、二つの関数 $f,g$ から「$f$ を反転して動かしながら $g$ に重ね、重なりを積分する」ことで新しい関数を作る操作です。この節ではまず、畳み込みがきちんと定義でき $L^1$ に入ることを Fubini–Tonelli から示し、次に、畳み込みで関数を「ならして」元の関数に近づける方法（近似単位元）を扱います。

以下、$\mathbb{R}$ にルベーグ測度 $m$（ボレル集合への制限）を考え、関数はボレル可測とします。ルベーグ可測関数はボレル可測関数とほとんど至るところ等しく（補題 6.7［可測集合とルベーグ測度］。ルベーグ可測集合がボレル集合と零集合の差を除いて一致する 命題 6.6［可測集合とルベーグ測度］ から従います）、$L^1$ の元の代表元としてはボレル可測関数で十分です。ルベーグ測度の平行移動不変性（系 4.7［可測集合とルベーグ測度］）から、ボレル可測な $f\ge0$ について $\int f(x-y)\,dx=\int f(x)\,dx$（$y$ は定数）が成り立つことを使います（特性関数 $\mathbf{1}_E(x-y)=\mathbf{1}_{E+y}(x)$ から単関数、単調収束定理へ）。

定義 5.1（畳み込み）↗

$f,g\in L^1(\mathbb{R})$ に対し、

$$(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x-y)\,g(y)\,dy$$

を $f$ と $g$ の畳み込みという（被積分関数が可積分になる $x$ でだけ定義する）。

定理 5.2（畳み込みの $L^1$ ノルム）✓

$f,g\in L^1(\mathbb{R})$ のとき、ほとんどすべての $x$ で $y\mapsto f(x-y)g(y)$ は可積分で、$f*g\in L^1(\mathbb{R})$、

$$\|f*g\|_1\le\|f\|_1\,\|g\|_1$$

が成り立つ。さらに $f*g=g*f$ a.e. である。

証明（定理 5.2）

$F(x,y)=f(x-y)g(y)$ は、ボレル関数 $f$ と連続写像 $(x,y)\mapsto x-y$ の合成（命題 2.3 により $\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}$-可測）と $g\circ\pi_2$ の積だから可測。定理 3.3 と平行移動不変性により

$$\int\!\!\int|F|\,dx\,dy=\int|g(y)|\Bigl(\int|f(x-y)|\,dx\Bigr)dy=\|f\|_1\|g\|_1<\infty .$$

定理 3.4 により、a.e. $x$ で $F(x,\cdot)\in L^1$、$f*g\in L^1$ で、$\|f*g\|_1\le\int\!\!\int|F|\,dy\,dx=\|f\|_1\|g\|_1$。交換則は、$y\mapsto x-y$ の置換（平行移動と反転に対するルベーグ測度の不変性）で $\int f(x-y)g(y)\,dy=\int f(z)g(x-z)\,dz$ から従う。

∎

定義 5.3（近似単位元）↗

$\varphi\in L^1(\mathbb{R})$ で $\int\varphi\,dx=1$ を満たすものと $\varepsilon>0$ に対し、$\varphi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\varphi(x/\varepsilon)$ とおく。$\{\varphi_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ を（$\varphi$ から作る）近似単位元という。$\int\varphi_\varepsilon=1$ で、$\varepsilon\to0$ のとき質量が原点に集中していく。

次の補題は、近似単位元の定理の証明で使う二つの事実です。(1) は、可積分な関数を、台がコンパクトな連続関数でいくらでも近く（$L^1$ ノルムで）近似できるという主張で、(2) は、関数を少しずらしても $L^1$ ノルムでは少ししか変わらないという主張です。証明は、まず集合の指示関数の場合に示し、そこから一般の関数へ進みます。

補題 5.4（$C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性）✓

(1) 任意の $f\in L^1(\mathbb{R})$ と $\eta>0$ に対し、コンパクト台をもつ連続関数 $g$ で $\|f-g\|_1<\eta$ となるものが存在する。(2) $f\in L^1(\mathbb{R})$ について、$\tau_h f(x)=f(x-h)$ とおくと、$h\to0$ で $\|\tau_hf-f\|_1\to0$。

証明（補題 5.4）

(1) 単関数近似定理（定理 3.7［ルベーグ積分の定義と収束定理］）と優収束定理（定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］、優関数 $2|f|$）により、$f$ は可積分な単関数で $L^1$ 近似できる。よって $f=\mathbf{1}_E$（$E$ は有限測度のボレル集合）の場合に示せばよい。$N$ を $m(E\setminus[-N,N])<\eta/4$ となるようにとり、$E'=E\cap[-N,N]$ を考える。ルベーグ外測度の定義から（可算個の開区間による被覆）、開集合 $G\supset E'$ で $m(G\setminus E')<\eta/4$ となるものがある。$G\subset(-N-1,N+1)$ としてよい（共通部分をとる）。同様に有界集合 $[-N,N]\setminus E$ に対して開集合 $G'\supset[-N,N]\setminus E$、$m(G'\setminus([-N,N]\setminus E))<\eta/4$ をとり、$K=[-N,N]\setminus G'$ とおくと、$K$ は有界閉でコンパクト、$K\subset E'$、かつ $E'\setminus K\subset G'\setminus([-N,N]\setminus E)$ だから $m(E'\setminus K)<\eta/4$。$g(x)=\dfrac{d(x,G^{c})}{d(x,G^{c})+d(x,K)}$（$d$ は集合までの距離）は連続で、$K$ 上 $1$、$G^{c}$ 上 $0$、$0\le g\le1$、台は $\overline{G}\subset[-N-1,N+1]$ に含まれる。$|\mathbf{1}_{E}-g|\le\mathbf{1}_{E\setminus E'}+\mathbf{1}_{G\setminus K}$ で、$m(G\setminus K)\le m(G\setminus E')+m(E'\setminus K)<\eta/2$ だから $\|\mathbf{1}_E-g\|_1<\eta/4+\eta/2<\eta$。

(2) $g\in C_c$ の場合：$\operatorname{supp}g\subset[-R,R]$ とし、$|h|\le1$ なら $\tau_hg-g$ は $[-R-1,R+1]$ の外で $0$、$g$ は一様連続だから $\|\tau_hg-g\|_1\le(2R+2)\sup_x|g(x-h)-g(x)|\to0$。一般の $f$ には、(1) の $g$ と平行移動不変性 $\|\tau_hf-\tau_hg\|_1=\|f-g\|_1$ により $\|\tau_hf-f\|_1\le2\|f-g\|_1+\|\tau_hg-g\|_1<2\eta+\|\tau_hg-g\|_1$。

∎

定理 5.5（近似単位元による近似）✓

$\{\varphi_\varepsilon\}$ を近似単位元とする。

1. $f\in L^1(\mathbb{R})$ ならば $\|\varphi_\varepsilon*f-f\|_1\to0$（$\varepsilon\to0$）。
2. $\varphi\ge0$ とする。$f$ が有界かつ一様連続ならば、$\sup_x|(\varphi_\varepsilon*f)(x)-f(x)|\to0$。

証明（定理 5.5）

(1) $\int\varphi_\varepsilon(y)\,dy=1$ より $(\varphi_\varepsilon*f)(x)-f(x)=\int\varphi_\varepsilon(y)\bigl(f(x-y)-f(x)\bigr)dy$。Tonelli（定理 3.3）とミンコフスキー型の評価（絶対値を積分の外に出して順序交換）により

$$\|\varphi_\varepsilon*f-f\|_1\le\int|\varphi_\varepsilon(y)|\,\|\tau_yf-f\|_1\,dy=\int|\varphi(z)|\,\|\tau_{\varepsilon z}f-f\|_1\,dz .$$

被積分関数は $2\|f\|_1|\varphi(z)|$ で押さえられ、補題 5.4 (2) により各 $z$ で $\varepsilon\to0$ のとき $0$ に収束する。優収束定理により右辺は $0$ に収束する。

(2) $\eta>0$ をとる。$f$ の一様連続性から $\delta$ を、$|t|\le\delta\Rightarrow|f(x-t)-f(x)|<\eta$（全 $x$）ととる。$\varphi\ge0$、$\int\varphi=1$ だから $\int_{|z|>\delta/\varepsilon}\varphi\,dz\to0$（$\varepsilon\to0$、優収束定理）。

$$|(\varphi_\varepsilon*f)(x)-f(x)|\le\int\varphi(z)\,|f(x-\varepsilon z)-f(x)|\,dz\le\eta+2\|f\|_\infty\int_{|z|>\delta/\varepsilon}\varphi(z)\,dz .$$

右辺は $x$ によらず、$\varepsilon\to0$ で上極限が $\eta$ 以下。$\eta$ は任意。

∎

例 5.6（移動平均と熱核）

$\varphi=\tfrac12\mathbf{1}_{[-1,1]}$ ならば $\varphi_\varepsilon*f(x)=\dfrac{1}{2\varepsilon}\int_{x-\varepsilon}^{x+\varepsilon}f(y)\,dy$ は幅 $2\varepsilon$ の移動平均で、定理 5.5 は「平均の幅を縮めると $L^1$ で元の関数に近づく」ことを意味する。$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$（ガウス積分の値は 例 4.2 から $\int e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}$）なら $\varphi_\varepsilon$ は平均 $0$、分散 $\varepsilon^{2}$ の正規分布の密度で、$\varphi_{\sqrt{2t}}$ は熱方程式の基本解である。$\varphi_\varepsilon$ の導関数がすべて有界なので、$f\in L^1$ のとき $f*\varphi_\varepsilon$ は積分記号下の微分（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）により無限回微分可能で、$\varepsilon\to0$ で $f$ を近似する。これが関数の「ならし」の原理である。

6. 確率測度の無限直積

$(X_i,\mathcal{M}_i,P_i)$（$i=1,2,\ldots$）を確率空間とする。有限個の積は、帰納的に $P_1\times\cdots\times P_n:=(P_1\times\cdots\times P_{n-1})\times P_n$ で定義する。確率測度は有限だから $\sigma$-有限であり、定理 3.2 の一意性から、$P_1\times\cdots\times P_n$ は長方形 $A_1\times\cdots\times A_n$ に $\prod P_i(A_i)$ を与える唯一の測度である。この性質は $(P_1\times\cdots\times P_j)\times(P_{j+1}\times\cdots\times P_n)$ も満たすから（$\mathcal{M}_1\otimes\cdots\otimes\mathcal{M}_n$ は二つのまとまりの直積 σ-加法族と一致する）、$j<n$ について $P_1\times\cdots\times P_n=(P_1\times\cdots\times P_j)\times(P_{j+1}\times\cdots\times P_n)$ が成り立つ。また、定理 3.3 から、$E\in\mathcal{M}_1\otimes\cdots\otimes\mathcal{M}_n$ と $j<n$ について、

$$(P_1\times\cdots\times P_n)(E)=\int(P_{j+1}\times\cdots\times P_n)(E_{x_1,\ldots,x_j})\,d(P_1\times\cdots\times P_j)(x_1,\ldots,x_j)\tag{$*$}$$

が成り立つ（直前の等式と 定理 3.2 による）。ここで $E_{x_1,\dots,x_j}=\{(x_{j+1},\ldots,x_n)\mid(x_1,\ldots,x_n)\in E\}$ である。

$X=\prod_{i=1}^\infty X_i$ 上で、柱集合を $C=B\times\prod_{i>n}X_i$（$n\ge1$、$B\in\mathcal{M}_1\otimes\cdots\otimes\mathcal{M}_n$）と定め、柱集合全体を $\mathcal{C}$ とする。$\mathcal{C}$ は代数である（二つの柱集合は共通の $n$ で表せ、補集合・共通部分は $B$ の側でとればよい）。無限直積 σ-加法族 $\bigotimes_i\mathcal{M}_i$ は $\sigma(\mathcal{C})$ で定める。

定理 6.1（確率測度の無限直積）✓

上の設定で、$\bigotimes_i\mathcal{M}_i$ 上の確率測度 $P$ で、すべての $n$ と $A_i\in\mathcal{M}_i$ について

$$P\Bigl(A_1\times\cdots\times A_n\times\prod_{i>n}X_i\Bigr)=\prod_{i=1}^{n}P_i(A_i)$$

を満たすものがただ一つ存在する。これを $\prod_i P_i$ と書く。

証明の方針は、柱集合（有限個の座標だけで決まる集合）の上で確率を定め、Carathéodory の拡張定理で全体へ延ばすことです。拡張定理を使うには、柱集合の上の確率が可算加法的であることを示す必要があります。それは「柱集合の減少列で確率が一定以上のものは、共通部分が空にならない」ことに言い換えられ、座標を一つずつ選んでいく帰納法で示します。

証明（定理 6.1）

(前測度の定義) 柱集合 $C=B\times\prod_{i>n}X_i$ に対し $P_0(C)=(P_1\times\cdots\times P_n)(B)$ と定める。$C=B'\times\prod_{i>m}X_i$（$m>n$）とも書けるとき $B'=B\times X_{n+1}\times\cdots\times X_m$ で、$(*)$ から $(P_1\times\cdots\times P_m)(B')=(P_1\times\cdots\times P_n)(B)\cdot1$ だから、$P_0$ は表し方によらない。また $P_0$ は $\mathcal{C}$ 上で有限加法的で $P_0(X)=1$ である。

(可算加法性) 互いに素な $A_k\in\mathcal{C}$ で $A=\bigsqcup A_k\in\mathcal{C}$ とする。$E_N=A\setminus\bigsqcup_{k\le N}A_k\in\mathcal{C}$ は減少列で $\bigcap_N E_N=\emptyset$、$P_0(A)=\sum_{k\le N}P_0(A_k)+P_0(E_N)$ だから、$P_0(E_N)\to0$ が示せれば $P_0(A)=\sum_kP_0(A_k)$ を得る。したがって次を示せば十分である：

主張. $C_1\supset C_2\supset\cdots$ が柱集合の減少列で $P_0(C_k)\ge\varepsilon>0$（すべての $k$）ならば $\bigcap_kC_k\neq\emptyset$。

$C_k$ が最初の $n_k$ 個の座標だけで決まるとする。$k(j)=\max\{k\mid n_k\le j\}$（そのような $k$ がなければ $D_j=X$）とおき、$D_j=C_{k(j)}$ と置き換える。$D_j$ は減少列で、$P_0(D_j)\ge\varepsilon$、$\bigcap_jD_j=\bigcap_kC_k$（各 $n_k$ は有限だから $j$ が大きければ $k(j)\ge k$）で、$D_j$ は最初の $j$ 個の座標だけで決まる。そこで最初から $C_k=B_k\times\prod_{i>k}X_i$（$B_k\in\mathcal{M}_1\otimes\cdots\otimes\mathcal{M}_k$）と仮定してよい。$j\le k$ と $(x_1,\ldots,x_j)\in X_1\times\cdots\times X_j$ に対し

$$g_k^{(j)}(x_1,\ldots,x_j)=(P_{j+1}\times\cdots\times P_k)\bigl((B_k)_{x_1,\ldots,x_j}\bigr)$$

とおく（$k=j$ のときは $\mathbf{1}_{B_j}(x_1,\ldots,x_j)$）。これは 補題 3.1 により可測である。$C_{k+1}\subset C_k$ から $B_{k+1}\subset B_k\times X_{k+1}$ だから、$g_{k+1}^{(j)}\le g_k^{(j)}$。したがって極限 $g^{(j)}=\lim_kg_k^{(j)}$ が存在して可測。$(*)$ を $E=B_k$ に使うと、$k>j$ で

$$g_k^{(j)}(x_1,\ldots,x_j)=\int g_k^{(j+1)}(x_1,\ldots,x_{j+1})\,dP_{j+1}(x_{j+1})$$

（左辺は $(P_{j+1}\times\cdots\times P_k)$ を $x_{j+1}$ で切って積分したもの）。$0\le g_k^{(j+1)}\le1$ で単調減少だから、優収束定理（定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］）により $k\to\infty$ で

$$g^{(j)}(x_1,\ldots,x_j)=\int g^{(j+1)}(x_1,\ldots,x_{j+1})\,dP_{j+1}(x_{j+1}).\tag{$**$}$$

同様に $j=0$（変数なし）では $g^{(0)}=\lim_kP_0(C_k)\ge\varepsilon$。

点 $x_1^*,x_2^*,\ldots$ を、$g^{(j)}(x_1^*,\ldots,x_j^*)\ge\varepsilon/2^{j}$ がすべての $j\ge0$ で成り立つように帰納的に選ぶ。$j=0$ は上のとおり。$j$ まで選べたとして、$(**)$ より $\int g^{(j+1)}(x_1^*,\ldots,x_j^*,x)\,dP_{j+1}(x)\ge\varepsilon/2^{j}$ である。もし全 $x$ で $g^{(j+1)}(x_1^*,\ldots,x_j^*,x)<\varepsilon/2^{j+1}$ ならば積分は $\varepsilon/2^{j+1}$ 以下となり矛盾するから、$g^{(j+1)}(x_1^*,\ldots,x_j^*,x_{j+1}^*)\ge\varepsilon/2^{j+1}$ となる $x_{j+1}^*$ がある。

こうして得た $x^*=(x_j^*)_j$ について、各 $j$ で $\mathbf{1}_{B_j}(x_1^*,\ldots,x_j^*)=g_j^{(j)}(x_1^*,\ldots,x_j^*)\ge g^{(j)}(x_1^*,\ldots,x_j^*)>0$。指示関数だから値は $1$、すなわち $x^*\in C_j$。ゆえに $x^*\in\bigcap_jC_j$。これで主張が示された。

(結論) $P_0$ は代数 $\mathcal{C}$ 上の前測度で有限（$P_0(X)=1$）だから、定理 4.2［測度空間と Carathéodory の拡張定理］ と 系 4.6［測度空間と Carathéodory の拡張定理］ により $\sigma(\mathcal{C})$ 上にただ一つの拡張 $P$ がある。長方形の条件を満たす測度は、柱集合の値を決めるから $P_0$ の拡張にほかならず、一意である。

∎

例 6.2（無限回のコイン投げ）

$X_i=\{0,1\}$、$P_i(\{1\})=p$、$P_i(\{0\})=1-p$（すべての $i$）とすると、$\Omega=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ 上に確率測度 $P=\prod_iP_i$ が存在する。$\xi_i(\omega)=\omega_i$ は独立同分布（ベルヌーイ）確率変数列で、任意の有限列 $(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_n)$ に対し $P(\xi_1=\epsilon_1,\ldots,\xi_n=\epsilon_n)=\prod p^{\epsilon_i}(1-p)^{1-\epsilon_i}$。確率空間とコルモゴロフの公理 の 例 3.6［確率空間とコルモゴロフの公理］ で「存在する」とだけ述べた確率空間は、この定理が与える。同じ構成で、任意の確率分布列 $\mu_1,\mu_2,\ldots$（たとえば $N(0,1)$）に対し、座標関数が独立で分布 $\mu_i$ をもつ確率空間が得られる。独立な標準正規確率変数列の存在は、ガウス過程やブラウン運動の構成の出発点になる。

7. 演習

演習 7.1易

$a_{mn}\ge0$ または $\sum_{m,n}|a_{mn}|<\infty$ のとき $\sum_m\sum_na_{mn}=\sum_n\sum_ma_{mn}$ を示せ。また、§1 の $a_{mm}=1$、$a_{m,m+1}=-1$ の例ではどの仮定が破れているか。

解答

$X=Y=\mathbb{N}$ に数え上げ測度（$\sigma$-有限）を入れると、$\sum_{m,n}$ の累次和は累次積分で、定理 3.3（$a_{mn}\ge0$）と 定理 3.4（$\sum|a_{mn}|<\infty$）がそのまま交換を保証する。§1 の例では $\sum_{m,n}|a_{mn}|=\infty$（各 $m$ に $|1|$ と $|-1|$ が現れる）、かつ負の項があるから、Tonelli も Fubini も適用できない。

演習 7.2標準

$\sigma$-有限な $(X,\mu)$、$(Y,\nu)$ と $E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ について、$(\mu\times\nu)(E)=0$ ならば、$\mu$-ほとんどすべての $x$ で $\nu(E_x)=0$ であることを示せ。

解答

定理 3.2 により $0=(\mu\times\nu)(E)=\int\nu(E_x)\,d\mu(x)$。$x\mapsto\nu(E_x)$ は非負可測で積分が $0$ だから、命題 6.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］ (1) により $\nu(E_x)=0$ a.e.。

演習 7.3標準

$\displaystyle\int_0^1\!\!\int_0^1\frac{dx\,dy}{1-xy}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ を示せ。

解答

$(x,y)\in(0,1)^2$ で $0\le xy<1$ だから、等比級数 $\dfrac{1}{1-xy}=\sum_{n\ge0}(xy)^n$ が成り立つ。各項は非負可測関数だから、項別積分（系 5.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］ (2)）と 定理 3.3 により

$$\int\!\!\int\frac{dx\,dy}{1-xy}=\sum_{n\ge0}\int_0^1\!\!\int_0^1x^ny^n\,dx\,dy=\sum_{n\ge0}\frac{1}{(n+1)^2}=\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}.$$

（バーゼル問題により、この値は $\pi^2/6$ である。）

演習 7.4標準

$f,g\in L^1(\mathbb{R})$ とし、$f=0$ a.e. on $(-\infty,0)$、$g=0$ a.e. on $(-\infty,0)$ とする。$f*g=0$ a.e. on $(-\infty,0)$ であり、$x>0$ では $(f*g)(x)=\int_0^xf(x-y)g(y)\,dy$ となることを示せ。

解答

$N_f=\{z<0\mid f(z)\ne0\}$、$N_g=\{z<0\mid g(z)\ne0\}$ は零集合である。固定した $x$ について、$y<0$ で $g(y)\ne0$ となる $y$ は $N_g$ の元、$y>x$ で $f(x-y)\ne0$ となる $y$ は $x-N_f$ の元（$N_f$ を反転・平行移動した零集合）で、どちらも零集合だから、$y\in[0,x]$ の外では $f(x-y)g(y)=0$ が a.e. $y$ で成り立つ。したがって $x>0$ なら $(f*g)(x)=\int_0^xf(x-y)g(y)\,dy$、$x\le0$ なら積分域 $[0,x]$ が空か 1 点だから $(f*g)(x)=0$（1 点の測度は $0$）。

参考文献

• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed., Wiley, 1999 — Chapter 2 §2.5（直積測度、Fubini–Tonelli）、§8.2（畳み込みと近似単位元）。
• W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1987 — Chapter 8（積空間上の積分）。
• P. Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995 — 積測度とコルモゴロフの存在定理を扱う節。
• E. M. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis, Princeton University Press, 2005 — Chapter 2（Fubini の定理）、Chapter 3（近似単位元）。
• 伊藤清三『ルベーグ積分入門』裳華房、1963 — 直積測度とフビニの定理を扱う章。