数学 › フーリエ解析と超関数 › 補間と古典的不等式

$|x|^{-β}$ の Fourier 変換

補題 6.1（「補間と古典的不等式」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 116 件、定義なども含めて 136 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数

  • 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数

    • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  • 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数

    • 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
    • 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
  • 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
  • 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    • Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
    • Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換

      • 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
  • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
• Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換

  • L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    • 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

    • 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

      • 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
      • 広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
    • 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• Coulomb 項の運動量表示✓補題 5.1・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb
• Sobolev 不等式（臨界指数）✓定理 6.2・補間と古典的不等式

関連するノック 1 問

• フーリエ解析と超関数 第 56 問