反転公式

定理 3.3（「ℝⁿ 上のフーリエ変換」§3）・ ✓公理まで証明済み

$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ かつ $\hat f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ なら、ほとんど至るところ

f(x)=\frac1{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}\hat f(\xi)\,e^{ix\cdot\xi}\,d\xi.

とくに $f\in L^1$ で $\hat f=0$ なら $f=0$ ほとんど至るところ（Fourier 変換は $L^1$ 上で単射）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 107 件、定義なども含めて 127 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
    広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 13 件

0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Hermite 関数は完全✓定理 7.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
上半平面の Poisson 核✓命題 2.2・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
共通の信号からの接続（原稿 Proposition 2.1 の述べ直し）✓命題 5.1・リーマン予想 III
Ξ の積分表示✓補題 5.4・リーマン予想 II
逆 Laplace 変換の積分公式（Bromwich）✓定理 7.6・線形微分方程式系
ねじれた包含✓命題 7.2・冨田–竹崎の定理の証明
エセーンの平滑化不等式✓補題 5.8・大数の法則と中心極限定理
Kontorovich–Lebedev の反転公式とユニタリ性✓定理 7.8・Bessel・Airy・Whittaker 関数
Klein–Gordon 波束の一様減衰✓補題 2.2・場の量子論の模型の散乱理論
Schrödinger 表現と Fock 表現の同値✓補題 6.2・CCR の表現

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閉包の状態

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