数学 › 未解決問題と大定理 › リーマン予想 III

共通の信号からの接続（原稿 Proposition 2.1 の述べ直し）

命題 5.1（「リーマン予想 III」§5） ・ ✓公理まで証明済み

σ0<1\sigma_0\lt1 を実数、II を空でない集合とする。各 η∈I\eta\in I に対し、LηL_\eta を半平面 Re⁡s>σ0\operatorname{Re}s\gt\sigma_0 上の有理型関数で、1/Lη1/L_\eta が Re⁡s>1\operatorname{Re}s\gt1 で正則、Re⁡s≥2\operatorname{Re}s\ge2 で有界であるものとする。

β∗:=sup⁡({σ0}∪{Re⁡ρ: Re⁡ρ>σ0, ある η∈I について Lη(ρ)=0})\beta_{*}:=\sup\Bigl(\{\sigma_0\}\cup\bigl\{\operatorname{Re}\rho:\ \operatorname{Re}\rho\gt\sigma_0,\ \text{ある }\eta\in I\text{ について }L_\eta(\rho)=0\bigr\}\Bigr)

とおく（σ0≤β∗≤1\sigma_0\le\beta_{*}\le1）。b,cb,c を実数とし、C(s):=s+cC(s):=s+c とする。

このとき、β∗>σ0\beta_{*}\gt\sigma_0 であって、しかも次の条件を満たす実数 ω,κ\omega,\kappa と、各 η∈I\eta\in I についての Hη,Jη,Kη,ZηH_\eta,J_\eta,K_\eta,Z_\eta が存在する、ということは起こらない。

  1. 0<ω<β∗−σ00\lt\omega\lt\beta_{*}-\sigma_0、κ>0\kappa\gt0。この 2 つは η\eta によらない。
  2. HηH_\eta は Re⁡s>σ0\operatorname{Re}s\gt\sigma_0 で正則で、そこで ∣Hη(s)−1∣≤12|H_\eta(s)-1|\le\frac12。
  3. Kη>0K_\eta\gt0、Zη≥1Z_\eta\ge1 は定数、Jη:[Zη,∞)→CJ_\eta:[Z_\eta,\infty)\to\mathbb{C} は関数で、Z>0Z\gt0 に対して
fη(Z):=12πi∫Re⁡s=2ZC(s) e(s−b)2 Hη(s)Lη(s) dsf_\eta(Z):=\frac1{2\pi i}\int_{\operatorname{Re}s=2}Z^{C(s)}\,e^{(s-b)^2}\,\frac{H_\eta(s)}{L_\eta(s)}\,ds

とおくと、すべての Z≥ZηZ\ge Z_\eta で

∣Jη(Z)∣≤Kη ZC(σ0)+ω,∣Jη(Z)−fη(Z)∣≤Kη ZC(β∗)−κ.|J_\eta(Z)|\le K_\eta\,Z^{C(\sigma_0)+\omega},\qquad|J_\eta(Z)-f_\eta(Z)|\le K_\eta\,Z^{C(\beta_{*})-\kappa}.

言い換えると、「β∗>σ0\beta_{*}\gt\sigma_0 ならば 1〜3 を満たすものが構成できる」ことが示されれば、β∗=σ0\beta_{*}=\sigma_0、すなわちどの LηL_\eta も Re⁡s>σ0\operatorname{Re}s\gt\sigma_0 に零点をもたない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 149 件、定義なども含めて 175 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。