数学 › 特殊関数と漸近解析 › Bessel・Airy・Whittaker 関数

Kontorovich–Lebedev の反転公式とユニタリ性

定理 7.8（「Bessel・Airy・Whittaker 関数」§7） ・ ✓公理まで証明済み

  1. K:L2((0,∞),dx/x)→H\mathcal{K}:L^2\bigl((0,\infty),dx/x\bigr)\to H はユニタリである。すなわち HH の任意の元 gg に対し Kf=g\mathcal{K}f=g となる ff がただ一つ存在し、∥f∥=∥g∥H\|f\|=\|g\|_H。
  2. f=K−1gf=\mathcal{K}^{-1}g は
f=lim⁡N→∞2π2∫0Ng(τ) Kiτ(⋅) τsinh⁡(πτ) dτ(L2(dx/x) の意味)f=\lim_{N\to\infty}\frac{2}{\pi^2}\int_0^N g(\tau)\,K_{i\tau}(\cdot)\,\tau\sinh(\pi\tau)\,d\tau\quad(L^2(dx/x)\text{ の意味})

で与えられる。 3. （各点での反転）さらに ∫0∞∣g(τ)∣ τsinh⁡(πτ) (1+τ)e−πτ/2 dτ<∞\displaystyle\int_0^\infty|g(\tau)|\,\tau\sinh(\pi\tau)\,(1+\tau)e^{-\pi\tau/2}\,d\tau<\infty ならば、ff は連続な関数と一致し、すべての x>0x>0 で

f(x)=2π2∫0∞g(τ) Kiτ(x) τsinh⁡(πτ) dτf(x)=\frac{2}{\pi^2}\int_0^\infty g(\tau)\,K_{i\tau}(x)\,\tau\sinh(\pi\tau)\,d\tau

が絶対収束する。とくに f∈Cf\in\mathcal{C} なら g=Kfg=\mathcal{K}f はこの条件をみたす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 150 件、定義なども含めて 175 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。