数学 › 特殊関数と漸近解析 › Bessel・Airy・Whittaker 関数

xn+1/2e−xx^{n+1/2}e^{-x} の変換

補題 7.7（「Bessel・Airy・Whittaker 関数」§7） ・ ✓公理まで証明済み

n=0,1,2,…n=0,1,2,\dots について fn(x)=xn+1/2e−x∈L2(dx/x)f_n(x)=x^{n+1/2}e^{-x}\in L^2(dx/x) とすると、Kfn∈H\mathcal{K}f_n\in H で（K\mathcal{K} は拡張後のもの）ほとんどすべての τ\tau で

(Kfn)(τ)=∫0∞xn−1/2e−xKiτ(x) dx=cn Qn(τ)cosh⁡(πτ),Qn(τ)=∏j=0n−1((j+12)2+τ2)(\mathcal{K}f_n)(\tau)=\int_0^\infty x^{n-1/2}e^{-x}K_{i\tau}(x)\,dx=c_n\,\frac{Q_n(\tau)}{\cosh(\pi\tau)},\qquad Q_n(\tau)=\prod_{j=0}^{n-1}\Bigl(\bigl(j+\tfrac12\bigr)^2+\tau^2\Bigr)

となる。ここで cn>0c_n>0 は τ\tau によらない定数である（c0=π3/2/2c_0=\pi^{3/2}/\sqrt2）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 40 件、定義なども含めて 48 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件