Plancherel の定理

定理 4.1（「ℝⁿ 上のフーリエ変換」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f\in L^1\cap L^2$ なら $\hat f\in L^2$ で $\|\hat f\|_2^2=(2\pi)^n\|f\|_2^2$ 、すなわち $\|Uf\|_2=\|f\|_2$ 。
$U$ は $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上のユニタリ作用素に一意に拡張され、その逆は $W$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 107 件、定義なども含めて 127 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
    第二可算な LCH 空間の開集合は σ-コンパクト✓補題 5.2・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間
    コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間この先をたどる →
    一点コンパクト化の性質✓定理 3.2・局所コンパクト空間この先をたどる →
    コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性この先をたどる →
    ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性この先をたどる →
  - ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 11 件

Paley–Wiener の定理（上半平面）✓定理 3.2・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
Hausdorff–Young の不等式✓系 3.2・補間と古典的不等式
標本化定理（Whittaker–Shannon–Kotelnikov）✓定理 2.1・標本化定理とウェーブレット
熱半群の積分核✓命題 5.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
逆 Laplace 変換の積分公式（Bromwich）✓定理 7.6・線形微分方程式系
熱核による勾配の特徴づけ✓補題 6.6・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
Kontorovich–Lebedev 変換の Plancherel の等式✓定理 7.6・Bessel・Airy・Whittaker 関数
原子・イオンに対する HVZ 定理✓定理 6.1・多体系と HVZ 定理
放射エネルギーの低周波スペクトル✓命題 7.1・電磁放射
Nelson 模型は結合の局在を満たす✓補題 5.8・pull-through 公式と基底状態の一般論
遷移の核関数✓補題 5.3・時間発展と時間依存摂動論

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