標本化定理（Whittaker–Shannon–Kotelnikov）

定理 2.1（「標本化定理とウェーブレット」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega\gt0$ とし、 $f\in L^2(\mathbb{R})$ が $\hat f=0$ a.e. on $\mathbb{R}\setminus[-\Omega,\Omega]$ を満たすとする（ $f$ は定理 3.3［Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換］の連続な代表元で考える）。 $h=\pi/\Omega$ とおくと

f(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(nh)\,\mathrm{sinc}(\Omega x-n\pi),\qquad\|f\|_2^2=h\sum_{n\in\mathbb{Z}}|f(nh)|^2

で、級数は $L^2$ でも $\mathbb{R}$ 上一様にも収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 181 件、定義なども含めて 209 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数
- Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数
  - Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    平行移動の連続性✓補題 2.2・フーリエ級数この先をたどる →
- 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
  - 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
  - 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
Paley–Wiener の定理（指数型整関数）✓定理 3.3・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
- 上半平面の Poisson 核✓命題 2.2・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
  - 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
    Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
    Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Lᵖ での近似単位元✓補題 2.1・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
    平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
  - 近似単位元による近似✓定理 5.5・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 境界で 0 の有界調和関数✓補題 2.3・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
  - 調和関数の鏡像原理✓定理 7.4・調和関数と Poisson 積分
    円板の Dirichlet 問題✓定理 4.4・調和関数と Poisson 積分この先をたどる →
    Dirichlet 問題の一意性✓系 3.5・調和関数と Poisson 積分この先をたどる →
    調和関数の最大値原理✓定理 3.4・調和関数と Poisson 積分
  - 下に有界な調和関数✓系 5.4・調和関数と Poisson 積分
    Harnack の不等式✓定理 5.3・調和関数と Poisson 積分この先をたどる →
- Paley–Wiener の定理（上半平面）✓定理 3.2・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
  - Plancherel の定理✓定理 4.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
Plancherel の定理✓定理 4.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
- L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
- Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

標本化定理（Whittaker–Shannon–Kotelnikov）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）