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Paley–Wiener の定理（指数型整関数）

定理 3.3（「Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換」§3） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 169 件、定義なども含めて 197 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 上半平面の Poisson 核✓命題 2.2・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換

  • 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換

      • L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
      • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
    • Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換

      • 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
  • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
    • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理

      • ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • Lᵖ での近似単位元✓補題 2.1・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換

    • 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換

      • $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
  • 近似単位元による近似✓定理 5.5・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• 境界で 0 の有界調和関数✓補題 2.3・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換

  • 調和関数の鏡像原理✓定理 7.4・調和関数と Poisson 積分

    • 円板の Dirichlet 問題✓定理 4.4・調和関数と Poisson 積分 この先をたどる →
    • Dirichlet 問題の一意性✓系 3.5・調和関数と Poisson 積分

      • 調和関数の最大値原理✓定理 3.4・調和関数と Poisson 積分
    • 調和関数の最大値原理✓定理 3.4・調和関数と Poisson 積分
  • 下に有界な調和関数✓系 5.4・調和関数と Poisson 積分

    • Harnack の不等式✓定理 5.3・調和関数と Poisson 積分 この先をたどる →
• Paley–Wiener の定理（上半平面）✓定理 3.2・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換

  • Plancherel の定理✓定理 4.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
    • L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
    • Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
    • Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 標本化定理（Whittaker–Shannon–Kotelnikov）✓定理 2.1・標本化定理とウェーブレット
• 台の両立不可能性✓命題 3.2・標本化定理とウェーブレット

関連するノック 3 問

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