数学 › 複素関数論 › 調和関数と Poisson 積分

調和関数の鏡像原理

定理 7.4（「調和関数と Poisson 積分」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega,\Omega^+,I$ を定理 7.2 と同じとする。 $u:\Omega^+\cup I\to\mathbb{R}$ が連続で、 $\Omega^+$ 上調和、 $I$ 上で $u=0$ とする。このとき

\tilde{u}(z)=\begin{cases}u(z)&(z\in\Omega^+\cup I)\\-u(\bar{z})&(z\in\Omega\cap H^-)\end{cases}

は $\Omega$ 上調和である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 38 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

円板の Dirichlet 問題✓定理 4.4・調和関数と Poisson 積分
- Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
- 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
    極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性この先をたどる →
- Dirichlet 問題の一意性✓系 3.5・調和関数と Poisson 積分（上で展開済み）
Dirichlet 問題の一意性✓系 3.5・調和関数と Poisson 積分
- 調和関数の最大値原理✓定理 3.4・調和関数と Poisson 積分
調和関数の最大値原理✓定理 3.4・調和関数と Poisson 積分

これを使っている定理証明で参照している 1 件

境界で 0 の有界調和関数✓補題 2.3・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換

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