Poisson 核の性質

$0\le r<1$ のとき次が成り立つ。

1. $P_r(\theta)=\operatorname{Re}\dfrac{1+re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}=\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}r^{|n|}e^{in\theta}$（級数は $\theta$ について一様収束）。
2. $P_r(\theta)>0$、$\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}P_r(\theta)\,d\theta=1$。
3. $\dfrac{1-r}{1+r}\le P_r(\theta)\le\dfrac{1+r}{1-r}$。
4. $0<\delta\le|\theta|\le\pi$、$\tfrac12\le r<1$ ならば $P_r(\theta)\le\dfrac{2(1-r)}{1-\cos\delta}$。