数学 › 複素関数論 › 調和関数と Poisson 積分
Harnack の不等式
を円板 上の調和関数とする。このとき の で
が成り立つ。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 66 件、定義なども含めて 81 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
Poisson 積分公式✓定理 4.3・調和関数と Poisson 積分
円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分
コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
- Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
- Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
調和関数の平均値の性質✓系 3.3・調和関数と Poisson 積分
- 円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分（上で展開済み）
実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式 この先をたどる →
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式 この先をたどる →
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
- 複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式 この先をたどる →
シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
正則関数の平均値の性質✓系 6.5・コーシーの積分定理と積分公式
コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式
- 積分路の変形定理✓定理 5.1・コーシーの積分定理と積分公式 この先をたどる →
- 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式 この先をたどる →
- べき関数の円周上の積分✓補題 2.5・コーシーの積分定理と積分公式
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- 下に有界な調和関数✓系 5.4・調和関数と Poisson 積分
- Harnack の原理✓定理 5.5・調和関数と Poisson 積分