Harnack の原理

定理 5.5（「調和関数と Poisson 積分」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega$ を領域、 $u_1\le u_2\le\cdots$ を $\Omega$ 上の調和関数の単調増加列とする。このとき次のいずれか一方が成り立つ。

$u_n\to\infty$ が局所一様に成り立つ。
$u_n$ は局所一様収束し、極限は調和関数である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 72 件、定義なども含めて 87 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Harnack の不等式✓定理 5.3・調和関数と Poisson 積分
- Poisson 積分公式✓定理 4.3・調和関数と Poisson 積分
  - 円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分
    コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
  - Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
- Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
- 調和関数の平均値の性質✓系 3.3・調和関数と Poisson 積分
  - 円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分（上で展開済み）
  - 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - 正則関数の平均値の性質✓系 6.5・コーシーの積分定理と積分公式
    コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
調和関数の一様収束極限✓系 5.2・調和関数と Poisson 積分
- 平均値の性質をもつ連続関数は調和✓定理 5.1・調和関数と Poisson 積分
  - 円板の Dirichlet 問題✓定理 4.4・調和関数と Poisson 積分
    Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
    実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
    Dirichlet 問題の一意性✓系 3.5・調和関数と Poisson 積分この先をたどる →
  - 調和関数の平均値の性質✓系 3.3・調和関数と Poisson 積分（上で展開済み）
  - 調和関数の最大値原理✓定理 3.4・調和関数と Poisson 積分

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Harnack の原理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）