平均値の性質をもつ連続関数は調和

定理 5.1（「調和関数と Poisson 積分」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega$ を開集合、 $u:\Omega\to\mathbb{R}$ を連続で、 $\overline{D}(a,r)\subset\Omega$ をみたす任意の円板で平均値の性質 $u(a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+re^{i\theta})d\theta$ をもつものとする。このとき $u$ は調和である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 68 件、定義なども含めて 83 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

円板の Dirichlet 問題✓定理 4.4・調和関数と Poisson 積分
- Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
- 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
    極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性この先をたどる →
- Dirichlet 問題の一意性✓系 3.5・調和関数と Poisson 積分
  - 調和関数の最大値原理✓定理 3.4・調和関数と Poisson 積分
調和関数の平均値の性質✓系 3.3・調和関数と Poisson 積分
- 円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分
  - コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
- 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
- 正則関数の平均値の性質✓系 6.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式
    積分路の変形定理✓定理 5.1・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    べき関数の円周上の積分✓補題 2.5・コーシーの積分定理と積分公式
    ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
調和関数の最大値原理✓定理 3.4・調和関数と Poisson 積分

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調和関数の一様収束極限✓系 5.2・調和関数と Poisson 積分

平均値の性質をもつ連続関数は調和

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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