数学 › 複素関数論 › コーシーの積分定理と積分公式

正則関数の平均値の性質

系 6.5（「コーシーの積分定理と積分公式」§6）・ ✓公理まで証明済み

$f$ を $\overline{B}(a,r)$ を含む開集合上の正則関数（ $f'$ は連続）とする。このとき

f(a) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(a + re^{i\theta})\,d\theta .

すなわち正則関数の中心での値は、円周上の値の平均に等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 38 件、定義なども含めて 45 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式
- 積分路の変形定理✓定理 5.1・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
    Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    単連結領域定義 4.1・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- べき関数の円周上の積分✓補題 2.5・コーシーの積分定理と積分公式
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式

これを使っている定理証明で参照している 2 件

調和関数の平均値の性質✓系 3.3・調和関数と Poisson 積分
edge-of-the-wedge（象限・連続版・局所形）✓補題 4.3・Wightman 関数の解析性