円板の Dirichlet 問題

定理 4.4（「調和関数と Poisson 積分」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を周期 $2\pi$ の連続関数とする。

u(re^{i\psi})=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r(\psi-\theta)\,\varphi(\theta)\,d\theta\ \ (0\le r<1),\qquad u(e^{i\psi})=\varphi(\psi)

で $\overline{\mathbb{D}}$ 上の関数 $u$ を定める。このとき $u$ は $\overline{\mathbb{D}}$ 上連続で、 $\mathbb{D}$ 上調和である。また、この性質をもつ関数は他にない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 29 件、定義なども含めて 37 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数・整関数定義 3.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性
    背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
    近傍・除外近傍・集積点定義 2.1・極限と連続性
Dirichlet 問題の一意性✓系 3.5・調和関数と Poisson 積分
- 調和関数の最大値原理✓定理 3.4・調和関数と Poisson 積分

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Fourier 係数が絶対収束する連続周期関数✓補題 7.2・整関数とガンマ関数
平均値の性質をもつ連続関数は調和✓定理 5.1・調和関数と Poisson 積分
調和関数の鏡像原理✓定理 7.4・調和関数と Poisson 積分
劣調和性の同値な特徴付け✓定理 5.2・Jensen の公式と劣調和関数

円板の Dirichlet 問題

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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